Laurea triennale in Fisica. Canale 3, lettere Gs-Pi.
Orario: Martedi' 10-12
Mercoledi' 16-18 (a partire dal 13/11 e fino alla fine del corso)
Giovedi' 8-10
Venerdi 13-15
Tutte le lezioni in Aula Cabibbo, edificio Enrico Fermi (nuovo edificio di Fisica CU033), primo piano.

Docenti: Paolo Piazza (Martedi', Mercoledi' e Giovedi'), Vito Felice Zenobi (Venerdi').
Attenzione: Non sono permessi cambi di canale.
Orario di ricevimento di Paolo Piazza (durante lo svolgimento del corso, altrimenti per appuntamento): Lunedi' 15.30 - 16.30, oppure per appuntamento.

Libro di Testo:
[A-dF] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III edizione, ed. McGraw-Hill.
Facoltativo: [A-dF-es] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Esercizi di Geometria", ed. McGraw-Hill

Per approfondimenti:
[A] Marco Abate: Geometria. McGraw Hill Libri Italia. 1999
[S] Edoardo Sernesi: Geometria 1 (Seconda Edizione). Bollati Boringhieri.

E-learning. E` attiva una pagina e-learning, con titolo: Geometria. Laurea triennale in Fisica. 2023-2024.
Questa pagina e-learning verra` utilizzata principalmente per annunci, comunicazioni etc.
Importante: tutti gli studenti sono pregati di iscriversi.

PROVE D' ESAME:
L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) ed una prova orale (consistente nella discussione dei temi piu` rilevanti illustrati nel corso).
L'esame scritto e` superato con un punteggio di almeno 18/30 (ovvero, con una votazione inferiore non si accede all'orale).
Gli studenti che hanno ottenuto una votazione di almeno 26/30 dovranno obbligatoriamente sostenere una prova orale. Coloro invece che hanno superato l'esame con una votazione inferiore possono chiedere, previo discussione del proprio elaborato, di verbalizzare il voto.
La prova orale, ove prevista, potra` svolgersi all'interno della stessa sessione d'esame (ovvero, per chi supera lo scritto di gennaio potra` essere espletata entro febbraio, per chi supera quello di giugno entro luglio), a discrezione dello studente.
Lo studente che ha superato la prova scritta puo` decidere di ripeterla: in quel caso, il presentarsi ad uno degli appelli scritti successivi implica la rinuncia al voto dello scritto precedente (qualunque esso sia).
Uno studente che non supera la prova scritta puo` presentarsi ad un appello successivo, senza limitazioni.
La prova scritta ha una durata massima di tre ore, durante la quale non e` consentito l'uso di cellulari, calcolatrici e altri strumenti elettronici, che devono essere spenti.
Non e` consentito l'uso di libri o appunti con l'eccezione di un singolo foglio A4 (fronte/retro) sul quale lo studente puo` scrivere tutto cio` che ritiene opportuno.
Gli studenti devono presentarsi, OBBLIGATORIAMENTE muniti di un documento d'identita`, all'ora stabilita nei pressi dell'Aula che sara` loro comunicata: sara` cura dei docenti sistemarli all'interno.
Il documento deve essere posizionato sul banco per il riconoscimento. I fogli saranno distribuiti dai docenti. Alla fine della prova, lo studente dovra` consegnare ESCLUSIVAMENTE i fogli di bella.
Lo studente puo` anche decidere durante la prova di ritirarsi: in quel caso, dovra` firmare un foglio per la rinuncia e consegnare tutti i fogli ricevuti, che saranno immediatamente cestinati.
Per sostenere l'esame e` NECESSARIO iscriversi su INFOSTUD all'appello desiderato. La prenotazione agli appelli si chiude vari giorni PRIMA della data dello scritto corrispondente per permettere, data l'alta numerosita`, di preparare la prova e la logistica necessaria.
Non saranno ammessi a sostenere l'esame studenti non iscritti all'appello.

CALENDARIO ESAMI.

DIARIO DELLE LEZIONI.

PRIMA SETTIMANA.
Martedi' 26 Settembre. Simbolismo matematico. Nozione di gruppo, anello, campo.
L'insieme dei vettori applicati in un punto O; sua struttura di gruppo commutativo.
Giovedi' 28 Settembre. Gli insiemi di numeri N,Z,Q,R.
Il campo dei numeri complessi. La moltiplicazione per uno scalare in V^2_O.
Venerdi' 29 Settembre. Proprieta` della moltiplicazione per uno scalare in V^2_O. Definizione di spazio vettoriale. Ritorno a V^2_O: basi e coordinate associate.
L'isomorfism F_B fra V^2_O e R^2. Rette.
Referenze. Per il simbolismo matematico ed alcune nozioni di logica elementare cliccate qui.
Per la nozione di gruppo, anello e campo (insieme ad alcuni esercizi) cliccate qui.
Per una bellissima frase di Galileo Galilei, cliccate qui
Per i numeri complessi: cliccate qui.
Per i vettori applicati in un punto: studiare da p. 20 a p. 27 riga 3.
Leggete poi p. 28, 29, 30, 31 concentrandovi sul caso del piano e tralasciando la parte nello spazio.
Per la nozione di spazio vettoriale, studiate la definizione 4.2.
Esercizi: svolgere gli esercizi 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 4.1, 4.2, 4.3 del libro di testo.
Svolgere il primo foglio di esercizi.
Soluzione esercizi:
soluzioni esercizi del libro di testo
soluzioni del primo foglio di esercizi

SECONDA SETTIMANA.
Martedi' 3 Ottobre (Zenobi). Ancora su equazioni di rette e piani (vettoriali/parametriche e cartesiane)
Svolgimento in classe del primo foglio di esercizi.
Referenze. Sezione 2.3 in [A-dF]
Giovedi' 5 Ottobre. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite. Soluzioni. Matrice dei coefficienti. Lemma fondamentale. Esempi.
Referenze. Definizioni 3.1,3.2, 3.3, 3.4. Esempi 3.5, 3.6. Definizioni 3.6, 3.7. Lemma 3.2 (Lemma Fondamentale).
Esempi 3.1, 3.2, 3.3.
Venerdi' 6 Ottobre. Ulteriore esempio di sistema triangolare superiore quadrato. Dimostrazione Lemma fondamentale.
Metodo di Gauss. Enunciato del teorema di esistenza e unicita` per sistemi triangolari quadrati.
Referenze. Sezione 3.3, fino all'Esempio 3.13 incluso. Proposizione 3.1, possibilmente con la dimostrazione.
Esercizi. Svolgere il secondo foglio di esercizi, del 6/10/2023.
Soluzione di alcuni esercizi del secondo foglio: cliccate qui.

TERZA SETTIMANA.
Martedi' 10 Ottobre. Dimostrazione dettagliata della Proposizione 3.1. Spazi vettoriali. Esempi. Sottospazi. Esempi.
Giovedi' 12 Ottobre. Sottospazi. Combinazione lineare di k vettori. Span di k vettori. Lo Span di k-vettori e` un sottospazio.
Sistemi lineari e compatibilita` in termini dello span delle colonne. Dipendenza ed indipendenza lineare. Definizione di base.
Venerdi' 13 Ottobre (Zenobi). Soluzione esercizi del secondo foglio. Ulteriori esercizi sulla risoluzione di sistemi quadrati, anche con parametro.
Esercizi su dipendenza ed indipendenza lineare.
Referenze. Sezioni 4.1, 4.2 e 4.3 fino a p. 66 inclusa.
Esercizi. Svolgere il terzo foglio di esercizi, del 13/10/2023.
Soluzione terzo foglio di esercizi,

QUARTA SETTIMANA.
Martedi' 17 Ottobre. Coordinate associate ad una base. Esistenza di una base in uno spazio vettoriale finitamente generato.
Giovedi' 19 Ottobre. Teorema del completamento e sua dimostrazione. Dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato.
Venerdi' 20 Ottobre (Zenobi). Soluzione del terzo foglio di esercizi. Ancora sul teorema del completamento e suoi corollari.
Intersezione e somma di stoospazi. Somma diretta.
Referenze. Sezione 4.3, Sezione 4.4 e Sezione 4.5 con l'esclusione della formula di Grassmann.
Esercizi. Svolgere il quarto foglio di esercizi, del 20/10/2023.
Soluzione quarto foglio di esercizi,

QUINTA SETTIMANA.
Martedi' 24 Ottobre. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Prime proprieta`. Esempi.
Nucleo ed immagine.
Giovedi' 26 Ottobre. Esempi. Teorema della dimensione. Soluzione es. 1 del 20/10/2023.
Venerdi' 27 Ottobre (Zenobi). Correzione esercizi del quarto foglio.
Referenze. Teorema 4.16 (dimostrazione facoltativa). Tutta la sezione 5, fino al teorema di Rouche'-Capelli escluso..
Esercizi. Svolgere il quinto foglio di esercizi, del 24/10/2023.
Esercizi. Svolgere il sesto foglio di esercizi, del 26/10/2023.
Soluzione del quinto foglio di esercizi.
Soluzione del sesto foglio di esercizi.

SESTA SETTIMANA.
Martedi' 31 Ottobre (Zenobi). Soluzione alla lavagna del quinto e del sesto foglio di esercizi.
Giovedi' 2 Novembre. Teorema di struttura. Teorema di Rouche'-Capelli. rango di A = rango di A^T.
Matrici a scala a loro proprieta`. Soluzione di un sistema a scala.
Venerdi' 3 Novembre (Zenobi). La riduzione a scala. Tecniche di calcolo.
Referenze. Proposizione 5.1. Corollario 5.9. Proposizione 5.11 (2) (solo enunciato). Sezione 6.1. Sezione 6.2. Sezione 6.3.
Esercizi. Svolgere il settimo foglio di esercizi, del 2/11/2023.
Esercizi. Soluzione del settimo foglio di esercizi.
Esercizi. Svolgere l' ottavo foglio di esercizi, del 3/11/2023.

SETTIMA SETTIMANA.
Martedi' 7 Novembre. Soluzione alla lavagna dell'ottavo foglio di esercizi, es. 1 -> 5.
Soluzione dell'ottavo foglio di esercizi, esercizi 1 --> 5..
Giovedi' 9 Novembre. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi.
Esercizi. Soluzione esercizi 6 e 7 dell'ottavo foglio di esercizi..
Venerdi' 10 Novembre (Zenobi). Sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini.
Composizione ed isomorfismi di applicazioni lineari.
Referenze. Sezioni 6.4, 6.5 e 7.1, fino al Corollario 7.3 incluso.
Esercizi. Svolgere il nono foglio di esercizi.

OTTAVA SETTIMANA.
Martedi' 14 Novembre. Definizione di spazi vettoriali isomorfi. Esempi. M_{mn}(R) e` isomorfo a L(R^n,R^m).
Prodotto righe per colonne di matrici. Esempi e proprieta`. Matrici invertibili. Condizioni necessarie e sufficienti affinche'
una matrice sia invertibile.
Referenze. Sezione 7.1: dalla Definizione 7.4 inclusa fino alla fine della sezione (dimostrazione Prop. 7.4 facoltativa).
Sezione 7.2: tutta. Sezione 7.3 fino al Teorema 7.7 incluso (dimostrazione Teorema 7.7. facoltativa).
Esercizi. Svolgere l'esercizio 7.14 del libro.
Mercoledi' 15 Novembre (Zenobi). Matrici inverse; cambiamento di base (parte 1).
Giovedi' 16 Novembre (Zenobi). cambiamento di base (parte 2) e correzione nono foglio esercizi (parte 1).
Venerdi' 17 Novembre (Zenobi). Matrice associata ad un' applicazione lineare (fino a proposizione 8.1 esclusa) e fine correzione
esercizi nono foglio.
Soluzioni nono foglio di esercizi.
Referenze. Finire la sezione 7.3. Sezione 8.1: tutta. Sezione 8.2 fino alla Prop. 8.1 esclusa.
Esercizi. Svolgere il decimo foglio di esercizi.

NONA SETTIMANA.
Martedi' 21 Novembre. Matrice associata ad un'applicazione lineare: richiami. Magiche notazioni. L'isomorfismo fra L(V,W) e lo spazio delle
matrici m per n (m=dim W, n=dim V). Formula per la composizione di due applicazioni lienari.
Formula di trasformazione per la matrice associata, relativa al cambio di base in partenza ed in arrivo (2 dimostraizoni, con i diagrammi e con le notazioni magiche).
Il caso degli endomorfismi. Matrici simili.
Referenze. Sezione 8.2, dalla Pop. 8.1 fino alla fine della sezione.
Consultate anche le seguenti note: Magiche Notazioni (nuova versione, 7/1/24).
Esercizi. Nuova versione del decimo foglio di esercizi (modificato alla luce delle magiche notazioni, nuovo materiale in italico, preceduto da una stella).
Giovedi' 23 Novembre (Zenobi). Soluzione alla lavagna del decimo foglio di esercizi.
Soluzione degli esercizi del decimo foglio (ultima versione)
Venerdi' 24 Novembre Funzione determinante: unicita`.
Referenze. Sezione 9.1, fino alla Definizione 9.1 esclusa.
Esercizi. Risolvere l' undicesimo foglio di esercizi

DECIMA SETTIMANA.
Lunedi' 27 Novembre: tutorato. Cliccate qui per testo e soluzione dell'esercizio dato al tutorato (a cura di Matteo Bruno).
Martedi' 28 Novembre. Minori. Esistenza della funzione determinante. Sviluppi di Laplace. det (A)=det (A^t). Permutazioni e formula
del determinante tramite permutazioni (cenni). Teorema di Binet. Teorema di Cramer. Determinante di un endomorfismo T:V --> V.
Referenze. Sezione 9.1, dalla Definizione 9.1 fino alla fine (dimostrazione teorema 9.5 facoltativa). Sezione 9.2: dimostrazioni facoltative.
Sezione 9.3.
Per la parte sulle permutazioni e la conseguente espressisone del determinante (tutto facoltativo) cliccate qui e poi qui (tratto da E. Sernesi "Geometria 1", edizioni Boringhieri).
Mercoledi' 29 Novembre (Zenobi). Soluzione undicesimo foglio. Esercizi sul determinante di una matrice. Matrice cofattore e suo uso
per il calcolo dell'inversa di una matrice invertibile. Dimostrazione teorema di Cramer.
Soluzione esercizio 1 dell'undicesimo foglio.
Esercizi. Risolvere il dodicesimo foglio di esercizi
Soluzioni dodicesimo foglio di esercizi
Giovedi' 30 Novembre. Autovalori ed autovettori. Polinomio caratteristico.
Referenze: Sezione 13, dalla Definizione 13.1 alla Definizione 13.5 (dimostrazione del Teorema 13.2 (2) facoltativa).
Venerdi' 1 Dicembre. Endomorfismi che hanno tutti gli autovalori nel campo; traccia e determinante in termini di autovalori.
Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Molteplicita` algebrica e geometrica di un autovalore.
La molteplicita` gemetrica e` sempre minore o uguale della molteplicita` algebrica. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzabilita`.
Referenze. Dalla definizione 13.6 fino alla fine della Sezione 13.3. Dimostrazioni Prop. 13.6 e Prop. 13.8 facoltative.
Per la nozione di molteplicita` algebrica di una radice di un polinomio ed alcuni fatti basilari sui polinomi reali e complessi cliccate qui.
Esercizi. Risolvere il tredicesimo foglio di esercizi

UNDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 4 Dicembre: tutorato. Cliccate qui per testo e soluzione dell'esercizio dato al tutorato (a cura di Matteo Bruno).
Martedi' 5 Dicembre. Dimostrazioni per il materiale visto Venerdi' 1/12. Soluzione esercizio 1 del tredicesimo foglio.
Mercoledi' 6 Dicembre (Zenobi). Soluzione alla lavagna di esercizi assegnati nel dodicesimo e tredicesimo foglio e di altri esercizi..
Soluzione esercizi del tredicesimo foglio.
Giovedi' 7 Dicembre. Prodotto scalare in V^3_O.
Appunti sul prodotto scalare in V^3_O .
Esercizi. Risolvere il quattordicesimo foglio di esercizi
Venerdi' 8 Dicembre. Vacanza accademica.

DODICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 11 Dicembre: tutorato. Cliccate qui per testo e soluzione degli esercizi dati al tutorato (a cura di Matteo Bruno).
Martedi' 12 Dicembre. Forma bilineare. Prodotto scalare. Prodotto scalare definito positivo. Norma.
Spazio vettoriale metrico. Prodotto scalare (semi)definito positivo/negativo. Indefinito. Non-degenere.
Esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare. Basi ortogonali e ortonormali. Coordinate di un vettore rispetto ad una base ortogonale/ortonormale.
Formula di Parseval. Teorema di Pitagora.
Referenze. Def. 11.1, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 11.6. Esempi 11. 1 , 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, , Oss. 11.4,
Esempi 11.6, 11.7, 11.8, Def. 11.7,. Sezione 11.2: tutta (parte sulla distanza solo da leggere). Sezione 11.3: tutto fino a Cor. 11.5 incluso.
Mercoledi' 13 Dicembre (Zenobi): soluzione alla lavagna del quattordicesimo foglio. Gram-Schmidt in un qualsiasi spazio vettoriale metrico.
Proiezione ortogonal di un vettore su un sottospazio vettoriale U.
Soluzioni per il quattordicesimo foglio di esercizi.
Giovedi' 14 Dicembre. Supplemento ortogonale di un sottospazio in uno spazio vettoriale metrico e relativa decomposizione in somma diretta.
Operatori simmetrici. Teorema spettrale.
Referenze. Teorema 11.6 (senza dimostrazione), Corollario 11.7, Corollario 11.8. Poi Sezione 11.4 fino al Corollario 11.12 escluso.
Note sul Teorema spettrale per operatori simmetrici.
Esercizi. Risolvere il quindicesimo foglio di esercizi
Venerdi' 15 Dicembre. Matrice associata ad una forma bilineare simmetrica in una fissata base.
Matrici congruenti. Gruppo ortogonale. Teorema di Sylvester.
Referenze. Consultate le "Note sulla diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche" qui sotto. .
Esercizi. Risolvere il sedicesimo foglio di esercizi

TREDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 18 Dicembre: tutorato. Cliccate qui per testo e soluzione degli esercizi dati al tutorato (a cura di Matteo Bruno).
Martedi' 19 Dicembre. Ulteriori informazioni su teorema spettrale e teorema di Sylvester. Esercizi.
Mercoledi' 20 Dicembre (Zenobi): soluzione alla lavagna di esercizi assegnati nella dodicesima settimana.
Soluzioni per il quindicesimo foglio di esercizi.
Soluzioni per il sedicesimo foglio di esercizi.
Giovedi' 21 Dicembre. Forme hermitiane, spazi vettoriali hermitiani, operatori hermitiani e relativo teorema spettrale.
Venerdi' 22 Dicembre. Operatori ortogonali ed operatori unitari. Teorema spettrale per operatori unitari.
Teorema di Sylvester senza il teorema spettrale.
Referenze.
Note sulla diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche. .
Note su forme hermitiane, operatori hermitiani, operatori unitari..
Note sul teorema di Sylvester dimostrato senza il teorema spettrale per operatori simmetrici..

Diciassettesimo foglio di esercizi (del 31/12/2023).
Esercizi su spazi vettoriali metrici ed hermitiani, forme bilineari simmetriche e forme hermitiane.

QUATTORDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 8 Gennaio (15-->17). Prodotto vettoriale. Riferimenti affini. Equazione di un piano per 3 punti.
Martedi' 9 Gennaio. Equazione di una retta per due punti. Soluzione diciassettesimo foglio.
Referenze. Note sul prodotto vettoriale. .
Brevi appunti di geometria analitica in dimensione 3 .
Soluzioni del diciassettesimo foglio di esercizi (del 31/12/2023).
Mercoledi' 10 Gennaio (Zenobi): esercitazione in classe con soluzione alla lavagna.
Testo dell'esercitazione in classe del 10/1.
Soluzione.
Venerdi' 12 Gennaio (ultima lezione del corso): esercitazione in classe con soluzione alla lavagna.
Testo dell'esercitazione in classe del 12/1.
Soluzione.

Tutorato pre-esame: cliccate qui e qui. (A cura di Matteo Bruno.)
Ulteriori appuntamenti di tutorato:
(1) Mercoledi' 24/1, Aula Picone a Matematica, 14-17
(2) Venerdi' 26/1, Aula V a Matematica, 10-13
(3) Martedi' 30/1, Aula IV a Matematica, 14-17
(4) Giovedi' 1/2, Aula V a Matematica, 16-18
(5) Lunedi' 5/2, Aula V a Matematica, 14-17.

Programma d'esame.

Prossimi appuntamenti:
Appello straordinario l'8 Aprile 2024.
Attenzione: occorre soddisfare precisi requisiti per poter partecipare a questo appello (fuoricorso, studente lavoratore etc..).
Per ulteriori informazioni cliccate qui