Laurea triennale in Fisica. Canale 3, lettere L-Pa.
Orario: Martedi 10.15-12.15; Mercoledi' (esercitazioni) 10.15-12.15; Venerdi' 8.15-10.15.
Giovedi 1, 8 Ottobre: ore 12.15-14.15.
Giovedi' 15 e 22 Ottobre: ore 12.15 - 13.15.
Tutte le lezioni in Aula 6, edificio Enrico Fermi (nuovo edificio di Fisica CU033).

Docenti: Paolo Piazza (Martedi' e Venerdi'), Paolo Piccinni (Mercoledi' e Giovedi').
Attenzione: Non sono permessi cambi di canale.
Orario di ricevimento di Paolo Piazza (durante lo svolgimento del corso): Martedi' 14-15, oppure per appuntamento.
E` possibile (e anzi preferibile) operare per via telematica tramite google-meet:
meet.google.com/jjo-mwmw-hnx
(mandate anche una email per sicurezza.....).

Libro di Testo:
[A-dF] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III edizione, ed. McGraw-Hill.
Facoltativo: [A-dF-es] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Esercizi di Geometria", ed. McGraw-Hill

Per approfondimenti:
[A] Marco Abate: Geometria. McGraw Hill Libri Italia. 1999
[S] Edoardo Sernesi: Geometria 1 (Seconda Edizione). Bollati Boringhieri.
[S] Luca Mauri, Enrico Schlesinger. Esercizi di algebra lineare e geometria. Zanichelli 2020.

Covid-19. Didattica: il corso si svolgerà in modalità mista, con didattica in presenza per una parte degli studenti e per via telematica per i rimanenti.

Covid-19. Comportamenti da adottare:
- percorrere gli ambienti interni mantenendo la destra e senza fermarsi;
- indossare sempre la mascherina chirurgica nelle aule e in tutti gli ambienti coperti;
- mantenere la distanza interpersonale di almeno 1 m;
- sedersi sempre e soltanto nei posti utilizzabili;
- lavarsi e disinfettarsi spesso le mani;
- evitare assembramenti.

Google-meet: la trasmissione telematica delle lezioni avverra` tramite la piattaforma Google-Meet.
Google-meet si apre dalla vostra pagina email istituzionale (quadratino con pallini, in alto a destra).
Dovrebbe funzionare con qualsiasi browser ma ovviamente funziona in maniera ottimale con Chrome.
Per questo corso abbiamo un link permanente (e` il link dell'Aula 6, nella quale si tengono le lezioni):

meet.google.com/dkg-mcoo-ugr

(1) Disattivate per cortesia il vostro microfono e la vostra telecamera.
(2) Per fare una domanda passate prima per la Chat.

Ulteriori importanti informazioni disponibili cliccando qui.

DIARIO DELLE LEZIONI.

PRIMA SETTIMANA.
Martedi' 29 Settembre (Piazza). Simbolismo matematico. Nozione di gruppo, anello, campo.
L'insieme dei vettori applicati in un punto O; sua struttura di gruppo commutativo.
Referenze. Per il simbolismo matematico ed alcune nozioni di logica elementare cliccate qui.
Per la nozione di gruppo, anello e campo (insieme ad alcuni esercizi) cliccate qui.
Per una bellissima frase di Galileo Galilei, cliccate qui
Per i vettori applicati in un punto: studiare pp 20, 21, 22 fino alla Definizione 2.3 esclusa.
Mercoledi' 30 settembre (Piccinni). Motivazioni per lo studio della geometria analitica e dell'algebra lineare nel
primo semestre del corso di laurea in fisica. Gli insiemi di numeri N,Z,Q,R e proprietà delle rispettive operazioni.
Motivazioni per l'ampliamento del campo R con le soluzioni delle equazioni di secondo grado.
Definizione di numero complesso z=x+iy, rappresentazione vettoriale nel piano, operazioni di somma e di prodotto.
Giovedi' 1 ottobre (Piccinni). Modulo e coniugato di un numero complesso, inverso di un numero complesso non nullo,
struttura di campo. Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, potenza n-esima e radici n-esime di un numero complesso.
Radici n-esime dell'unità. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra.
Referenze per il 30/9 e l' 1/10: Abate-de Fabritiis, III ed.: par. 1.3 e 1.4 (pp. 11-15); par. 4.6, 4.7 e complementi 4C1 (pp. 77-85).
E' utile fare qualche esercizio a p. 89, dal 4.36 al 4.44. Altri esercizi, svolti e da svolgere, sui numeri complessi si trovano
su Abate-de Fabritiis, Esercizi di Geometria, cap. 11.
Venerdi' 2 Ottobre (Piazza).La moltiplicazione per uno scalare in V^2_O. V^2_O e` un esempio di spazio vettoriale sul campo reale.
Definizione generale di spazio vettoriale. Coordinate.
Referenze per il 2/10:continuate con la sezione 2.1 che dovete ora studiare fino a pagina 26, Proposizione 2.4 compresa.
Per la nozione di spazio vettoriale studiate la definizione 4.2 pagina 59.
Esercizi: svolgere gli esercizi 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 4.1, 4.2, 4.3 del libro di testo.
Soluzioni degli esercizi assegnati.

SECONDA SETTIMANA.
Martedi' 6 Ottobre (Piazza). Ancora sui vettori geometrici del piano e dello spazio. Rette e piani. Sistemi di equazioni lineari.
Mercoledi' 7 Ottobre (Piccinni). Ancora numeri complessi: distributività del coniugio per somma e moltiplicazione.
Equazioni algebriche a coefficienti reali ed esistenza di una soluzione reale se il grado e dispari. Svolgimento di esercizi: risoluzione
in C di semplici equazioni, formula del modulo al quadrato del binomio.
Giovedi' 8 Ottobre (Piccinni) Esempi di sistemi lineari 2x2 con una, infinite e nessuna soluzione. Soluzione e discussione tramite riduzione
a scala e numero di pivot nella matrice dei coefficienti e completa, interpretazione geometrica dei sistemi esaminati.
Esempi di sistemi lineari 3x3 con varie proprietà delle soluzioni: analoga discussione e riduzione a scala. Matrici dei coefficienti e matrice completa.
Definizione di rango per pivot per le matrici considerate, interpretazione geometrica nello spazio tridimensionale.
Venerdi' 9 Ottobre (Piazza). Lemma fondamentale ed Eliminazione di Gauss.
Esempi. Sistemi triangolari quadrati.
Referenze per il 6/10: finire il capitolo 2.
Referenze per il 7/10: sezioni 4.6, 4.7 e 4C.1. In particolare i dieci punti della Prop. 4.20 e esercizi 4.37. Dal testo di esercizi: esercizi del tipo Esempio 11.1.
Referenze per l'8/10: Capitolo 3, esempi del tipo 3.1,3.2, 3.3, 3.4 e osservazioni 3.1 e 3.2. Leggere anche il fondamentale Lemma 3.2.
Referenze per il 9/10: finire il Capitolo 3 (potete saltare l'Oss. 3.5 e, per ora, il principio d'induzione).
Esercizi. Risolvere il compito a casa del 9/10/2020.
Soluzioni di alcuni esercizi del compito a casa del 9/10/2020.
Ulteriori esercizi per le prime due settimane
Soluzioni.

TERZA SETTIMANA.
Martedi' 13 Ottobre (Piazza). Dimostrazione della Prop. 3.1. Spazio vettoriale su un campo K.
Esempi. Sottospazio. Esempi e non esempi. Insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo e` un s.s. di K^n.
Referenze: tutta la sezione 4.1.
Mercoledì 14 Ottobre (Piccinni). Svolgimento di un esercizio di discussione di un sistema lineare contenente un parametro e sua soluzione
nei casi in cui è compatibile. Combinazione lineare di vettori, sottospazio Span generato da un numero finito di vettori.
Giovedì 15 Ottobre (Piccinni). Indipendenza e dipendenza lineare di vettori. Esempi. Sistemi di generatori e basi.
Coordinate di un vettore in una base. basi canoniche dello spazio vettoriale numerico K^n e dello spazio
K_n[x] dei polinomi di grado minore o uguale a n nell'indeterminata x.
Referenze per il 14 e 15 ottobre: Abate-de Fabritiis (testo). Esercizi del tipo 3.11, 3.12, 3.13 (pag. 54); Cap. 4, sezioni 4.2 e 4.3 (pp. 62-68).
Venerdi' 16 Ottobre (Piazza) Esercizi su sottospazi ed indipendenza lineare. Esistenza di basi.
Referenze: sezione 4.4, fino all'esempio 4.19 incluso.
Esercizi. Risolvere il compito a casa del 16/10/2020 .
Soluzioni. .

QUARTA SETTIMANA.
Martedi' 20 Ottobre (Piazza). Teorema del completamento (con dimostrazione). Dimensione. Ulteriori conseguenze del teorema del completamento.
Riferimenti: tutta sezione 4.4 in Abate - de Fabritiis.
Mercoledì 21 Ottobre (Piccinni). Esercizi n. 2 e n. 5 del foglio "Compiti per casa" di venerdì scorso.
Trasposta di una matrice, matrici quadrate simmetriche e antisimmetriche, dimensione dei rispettivi sottospazi vettoriali.
Decomposizione di una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica.
Giovedì 22 Ottobre (Piccinni). Intersezione e somma di due sottospazi vettoriali. Somme dirette. Formula di Grassmann (con dimostrazione).
Ancora sottospazi dello spazio delle matrici quadrate (diagonali, triangolari superiori).
Riferimenti: Testo di Abate - de Fabritiis, paragrafo 4.5, pp. 75-77. Esercizi del tipo da 4.27 a 4.30 (pp. 88-89).
Venerdi' 23 Ottobre (Piazza) Soluzione degli esercizi 1, 3, 4, 6, 7 del compito del 16/10. Applicazioni lineari. Prime proprieta` ed esempi.
Referenze: sezione 5.1, da Definizione 5.1 inclusa ad Esempio 5.10 incluso
Esercizi. Risolvere il compito a casa del 23/10/2020 .
Soluzioni.

QUINTA SETTIMANA.
Martedi' 27 Ottobre (Piazza). Un'applicazione lineare e` univocamente determinata dai valori che assume su una base.
Nucleo e Immagine. Rango. Esempi. Enunciato del Teorema della dimensione.
Mercoledì 28 Ottobre (Piccinni). Esercizi 4,5,6 del "Compito a casa del 23/10/2020" e commenti su equazioni cartesiane e parametriche
di sottospazi vettoriali, loro basi e formula di Grassmann.
Teorema di struttura (prop. 5.1 del libro di testo), commenti sul suo significato geometrico.
Venerdi' 30 Ottobre (Piazza). Dimostrazione del teorema della dimensione. Teorema di Rouche'-Capelli.
Dimostrazione del teorema di struttura. Discussione del compito del 23/10 alla luce del teorema della dimensione.
Referenze: Tutto il capitolo 5 fino a Corollario 5.9 incluso. Enunciato Proposizione 5.11 (2).
Esercizi. Risolvere il compito a casa del 30/10/2020 .
Soluzioni.

SESTA SETTIMANA.
Martedi' 3 Novembre (Piazza). Soluzione esercizi 5.2, 5.3, 5.7 del libro di testo e degli esercizi 1, 2, 3 del compito del 30/10.
Sistemi a scala: pagine 108 e 109 del libro di testo.
Mercoledì 4 novembre (Piccinni). Esempi di applicazioni lineari: la derivazione sullo spazio R_3[x] dei polinomi di grado minore o uguale a 3;
l'applicazione A -> A+A^t sullo spazio delle matrici M_3(R). Individuazione nei due esempi del nucleo e dell'immagine,
verifica della formula della dimensione. Isomorfismi tra spazi vettoriali, invarianza della dimensione per isomorfismi,
esistenza di un'isomorfismo tra spazi vettoriali della stessa dimensione e sullo spesso campo. Isomorfismi e isomorfismi canonici, esempi.
Svolgimento degli esercizi 4 e 5 del foglio "Compito a casa del 30.10.20".
Venerdi' 6 Novembre (Piazza). Riduzione a scala. Conseguenze. Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi.
Riferimenti per la sesta settimana: capitolo 6, sezioni 1, 2 3 (p. 114, da riga 5 ad esempio 6.4, facoltativa), 4.
Esercizi. Risolvere il compito a casa del 6/11/2020 .
Soluzioni.

SETTIMA SETTIMANA.
Martedi' 10 Novembre (Piazza). Esercizi su equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.
Sottospazi affini e loro equazioni parametriche e cartesiane.
Riferimenti: finire il capitolo 6.
Mercoledì 11 Novembre (Piccinni). Richiamo dell'isomorfismo tra uno spazio vettoriale V^n sul campo K e lo spazio vettoriale numerico K^n;
necessità di fissare una base in V^n per stabilirlo e dipendenza dell'isomorfismo dalla scelta di tale base.
L'insieme L(V,W) delle applicazioni lineari da V^n a W^m e sua truttura di spazio vettoriale in L(V,W).
L'isomorfismo L: M_{m,n} -> L(K^n,K^m) dato da A -> L_A. Definizione di composizione di due applicazioni lineari e di applicazione lineare invertibile.
Un'applicazione lineare è invertibile se e solo se è un isomorfismo.
Riferimenti: paragrafo 7.1 (pp.127-133), si noti che si è omessa la definizione di spazio duale.
Venerdi' 13 Novembre (Piazza). Prodotto righe per colonne. Sue proprieta`. Matrici invertibili. Il gruppo GL(n,R).
Caratterizzazione delle matrici invertibili.
Riferimenti: paragrafi 7.2 e 7.3, fino al Teorema 7.7. incluso.
Esercizi. Risolvere il compito a casa del 13/11/2020 . Svolgere, in aggiunta, l'esercizio 7.14 del libro di testo.
Soluzioni.

OTTAVA SETTIMANA.
Martedi' 17 Novembre (Piazza). Invertibilita` a destra o a sinistra implica invertibilita`. Esercizi sul calcolo dell'inversa. Cambiamenti di base.
Mercoledì 18 novembre (Piccinni). . Esercizi su sottospazi vettoriali, loro basi ed equazioni (svolgimento es. 2,3,4 del Compito per casa del 13.11.2020).
Richiami sui cambiamenti di base e su come la matrice del cambiamento di base B -> B' interviene
nel cambiamento X' -> X tra le coordinate di uno stesso vettore nelle due basi (controvarianza).
Matrice associata ad un'applicazione lineare T: V ->W, fissate basi B di V e C di W. Esempio della derivazione D: R_3[x] -> R_3[x], e
della sua rappresentazione matriciale in corrispondenza della scelta B=C=(1,x,x^2,x^3), base canonica di R_3[x], e di altre scelte di basi.
Nilpotenza di tali matrici, in corrispondenza dell'annullamentio della derivata quarta su R_3[x]. Isomorfismo tra gli spazi vettoriali L(V,W) e M_{m,n} (K).
Riferimenti per il 17 ed il 18: Corollario 7.8, Osservazione 7.8 ed Esempio 7.7. Tutta la sezione 8.1, in particolare la relazione tra le formule (8.1) e (8.2), pp. 146-147.
Sezione 8.2 (fino alla prop. 8.1 inclusa, ovvero fino a p. 152).
Venerdì 20 novembre (Piazza): ancora sulla matrice associata ad un'applicazione lineare. Magiche notazioni. Cambi di base e matrici associate ad un'applicazione lineare. Matrici simili.
Riferimenti per il 20: finire il capitolo 8. Consultare anche le seguenti note: Magiche notazioni.
Esercizi. Risolvere il compito a casa del 20/11/2020.
Soluzioni.

NONA SETTIMANA.
Martedi' 24 Novembre (Piazza). Soluzione alla lavagna del compito del 20/11. Funzione determinante: introduzione e prime proprieta`.
Mercoledi' 25 Novembre (Piccinni). Ancora sul determinante. Cenno al significato geometrico di volume orientato del parallelepipedo costruito sulle righe.
Richiami agli assiomi (A), (B), (C), (D) per una funzione d:M_n(K) -> K, e cenno all'unicità di una tale funzione attraverso l'eliminazione di Gauss.
Approcci per l'esistenza: formula del determinante utilizzando le permutazioni degli indici e formula ricorsiva data dallo sviluppo di Laplace
secondo una riga o una colonna. Definizione di complemento algebrico di un elemento.
Procedura per scrivere la matrice inversa utilizzando i complementi algebrici. Esempi numerici di calcolo del determinante.
Venerdi' 27 Novembre (Piazza). Riassunto. Esistenza ed unicita` della funzione determinante.
Sviluppi di Laplace. Una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante.
Teorema di Binet. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Determinante di un endomorfismo. Inversa tramite la matrice cofattore.
Riferimenti per tutta la settimana: Capitolo 9. Sezione 1 (dimostrazione del teorema 9.5 facoltativa).
Sezione 9.2 (solo definizioni ed enunciati; dimostrazioni facoltative). Sezione 9.3. Contenuto dell'esercizio 9.18 e degli esercizi 9.31 e 9.32.
Esercizi. Risolvere il compito a casa del 27/11/2020.
Soluzioni.

DECIMA SETTIMANA.
Martedi' 1 Dicembre (Piazza). Soluzione alla lavagna del compito del 27/11 (esercizi 1 e 2). Autovalori, autovettori, autospazi. Esempi. Diagonalizzabilita`.
Mercoledi' 2 Dicembre (Piccinni). Richiami sulle definizioni di autovalore, autovettore e autospazio. Il problema della ricerca degli autovalori di una matrice.
Deduzione del polinomio caratteristico e sua proprietà di invarianza per similitudine. Esame dettagliato di tre esempi:
a). La rotazione di un angolo \theta in R^2 e in C^2, deduzione intuitiva sull'esistenza di autovalori nei due casi, diagonalizzabilità della rotazione di \pi/2 in C^2;
b) La derivazione nello spazio K_3[x] dei polinomi di grado minore o uguale a 3, sua non diagonalizzabilità per ogni campo K;
c) La trasposizione nello spazio M_2(K),sua diagonalizzabilità e deduzione degli autospazi.
Cenno sulla molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
Venerdi' 4 Dicembre (Piazza). Riassunto. Traccia e determinante quando T ammette tutti gli autovalori nel campo.
Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti (per ora solo enunciato).
Molteplicita` di una radice di un polinomio. Molteplicita` algebrica e geometrica di un autovalore.
La molteplicita` algebrica e` maggiore o uguale alla molteplicita` geometrica.
Criterio di diagonalizzabilita`.
Riferimenti: tutto il capitolo 13, con l'esclusione della dimostrazione della Proposizione 13.6 e della dimostrazione di (2) Teorema 13.3 .
Per qualche ulteriore informazione sui polinomi cliccate qui
Esercizi: Risolvere il compito a casa del 04/12/2020.
Soluzioni.

UNDICESIMA SETTIMANA.
Martedi' 8 Dicembre. Vacanza accademica.
Mercoledi' 9 Dicembre (Piccinni). Esercizi sulla determinazione di autovalori, autospazi e loro basi, molteplicità algebrica e geometrica di
autovalori, diagonalizzabilità e non diagonalizzabilità di matrici. Invarianti di una matrice: autovalori, polinomio caratteristico e suoi coefficienti, in particolare
traccia e determinante. Indipendenza lineare di autovettori corrispondenti ad autovalori distinti (dimostrazione per induzione).
Riferimenti: Compito a casa del 4 dicembre, esercizi 1, 2, 3.
Testo, capitolo 13, dimostrazione Prop. 13.6.
Venerdi' 11 Dicembre (Piazza). Ulteriori esercizi su diagonalizzabilita`. Prodotto scalare in V_O^3
e sue proprieta`. Espressione del prodotto scalare in V^3_O in coordinate.
Forme bilinear simmetriche. Definite positive, negative, semidefinite positive, semidefinite negative, indefinite.
Riferimenti: per il prodotto scalare in V_O, lo spazio vettoriale dei segmenti orientati centrati in O, leggete attentamente le " Note sul prodotto scalare in V_O ",
fino all'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt esclusa (vedere piu` avanti per le note)
Passate poi al libro di testo e studiate dalla definizione 11.1 alla definzione 11.7 (incluse).
Esercizi: Risolvere il compito a casa del 12/12/2020.
Soluzioni.

Esercitazione scritta in classe dell'11/12/2020
(ore 13 (precise)-->16: 2 ore per lo svolgimento, inclusa bella copia; correzione alla lavagna 15--> 16).
Soluzioni.

DODICESIMA SETTIMANA.
Martedi' 15 Dicembre (Piazza). Ancora sulla definzione di prodotto scalare ( e cioe` di forma bilineare simmetrica).
L'esempio y^T \cdot S \cdot x, con S=S^T, in \RR^n. Prodotti scalari definiti positivi:
Cauchy-Schwarz, basi ortogonali, basi ortonormali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Esempio del prodotto scalare L^2. Altri esempi.
Mercoledi' 16 Dicembre (Piccinni). Il prodotto vettore, definito geometricamente sullo spazio dei vettori geometrici nello spazio euclideo tridimensionale.
Sua espressione analitica nelle componenti dei due vettori fattori in una base ortonormale (espressione con il determinante).
Prodotto misto di tre vettori e sua espressione analitica (di nuovo con un determinante). Significato geometrico del determinante di matrici quadrate reali
come volume orientato dell'iperparallelepipedo costruito sulle righe della matrice: caso della matrice identica e volume 1 dell'ipercubo unitario;
deduzione euristica dell'interprepazione geometrica del determinante usando le proprietà di linearità sulle righe e di alternanza del determinante.
Considerazioni esplicite usando il prodotto vettore e il prodotto misto: area orientata di una parallelogramma del piano euclideo e volume di un
parallelepipedo nello spazio euclideo tridimensionale. Un esercizio sull'ortonormalizzazione di Gram-Schmidt:
lo spazio vettoriale metrico R_2[x] dei polinomi di grado minore o uguale a 2 con il seguente prodotto scalare (tra polinomi p(x) e q(x))
< p, q >=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1). Verifica che tale < p,q > è definito positivo. Ortogonalizzazione della base canonica tramite Gram-Schmidt.
Riferimenti: Testo, paragrafo 12.3, pp. 263-266 (prodotto vettore e prodotto misto); paragrafo 9.1, osserv. 9.1 (significato geometrico del determinante).
Venerdi' 18 Dicembre (Piazza). Espressione di un vettore in una base ortonormale. Proiezione ortogonale
su un sottospazio. Ortogonale di un sottospazio U e decomposizione in somma diretta di V in U piu` U-ortogonale. Operatori simmetrici. Teorema spettrale.
Riferimenti: per Martedi' 15: sezione 11.2, sezione 11.3. Per Venerdi' 18: sezione 11.4.
Consultate anche Note sul prodotto scalare in V_O (versione ampliata con, ad esempio, il prodotto vettoriale).
Per il teorema spettrale studiate le Note sul teorema spettrale per operatori simmetrici
Esercizi. Risolvere il compito a casa del 18/12/20.
Soluzioni.

TREDICESIMA SETTIMANA.
Martedi' 22 Dicembre (Piazza). Cambiamenti di base ortonormale. Gruppo ortogonale. Teorema di Sylvester.
Riferimenti: Studiate tutta la lezione di Martedi' 22 utilizzando le note sulla Diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche

Compito a casa del 31/12/20.
Soluzioni.

QUATTORDICESIMA SETTIMANA.
Venerdi' 8 Gennaio 2021 (Piazza). Correzione alla lavagna del compito del 31/12/2020.
Venerdi' 8 Gennaio 2021, ore 13.30 (precise) --> 16 (Piazza). Esercitazione scritta.

Esercitazione scritta del 8/1/2021
(13.30 (precise) --> 15, svolgimento; 15-->16 correzione).
Soluzioni.

Esercitazione scritta per casa del 10/1/2021.
Soluzioni.

QUINDICESIMA SETTIMANA.
Martedi' 12 Gennaio (Piazza): forme hermitiane, spazi vettoriali hermitiani, operatori hermitiani e
corrispondente teorema spettrale; teorema di Sylvester per forme hermitiane.
Mercoledi' 13 Gennaio (Piazza): isometrie lineari nel caso reale e complesso (operatori ortogonali e operatori unitari).
Equazione di un piano affine.
Venerdi' 15 Gennaio (Piazza):Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Fascio di piani per una retta. Esercizi.
Riferimenti: consultate le note su Forme hermitiane e spazi vettoriali hermitiani. per la parte sulle forme hermitiani e per gli operatori unitari.
Il libro di testo alla sezione 11.6 per gli operatori ortogonali.
Per le equazioni parametriche e cartesiane di retta e piano potete consultare gli Appunti di geometria analitica in dimensione 3, Sezioni 1, 2, 3.
La sezione 4 "Mutua posizione di rette e piani" e` facoltativa. L'ultima sezione non e` facoltativa nella parte relativa all'ortogonalita` retta-retta, retta-piano, piano-piano..

Esercitazione scritta del 15/1/2021 (13.15 (precise) ----> 16.30).
Soluzioni.

Esercizi. Risolvere il compito a casa del 16/1/21 (ultimo compito a casa)
Soluzioni.

Programma d'esame

Esame scritto del 25/1:
Testo dell'esame scritto del 25/1. (compito A, il compito B era concettualmente identico).
Soluzioni (piccole variazioni sulle soluzioni scritte dal Prof. Diverio).

Esame scritto del 9/2:
Testo dell'esame scritto del 9/2.
Soluzioni (a cura del Prof. Diverio; per il nostro canale gli indici dell'esercizio 3
si calcolavano a partire dagli autovalori di S, che erano esplicitamente calcolabili (in alternativa, si poteva applicare il criterio di Cartesio)).

Esame scritto del 22/6:
Testo dell'esame scritto del 22/6.
Soluzioni (a cura del Prof. Diverio).

Esame scritto del 12/7:
Testo dell'esame scritto del 12/7.
Testo e soluzioni (soluzioni a cura del Prof. Diverio).

Codice OPIS: JBJX2EU4

Regole d'esame: l'esame, che sara` in presenza salvo motivati casi particolari dovuti al covid-19 (*) (**), consta di una prova scritta e di una prova orale.
Per sostenere l'esame è necessario iscriversi all'appello via INFOSTUD. E` possibile dare il primo scritto di una sessione e poi dare l'orale dopo il secondo scritto della stessa sessione.
Gli scritti valgono solo nella sessione nella quale sono stati svolti; in particolare, gli scritti di Gennaio/Febbraio scadono il 28 Febbraio e gli scritti di Giugno/Luglio scadono il 31 Luglio.
Chi ha superato il primo scritto di una sessione puo' partecipare al secondo scritto ma se consegna l'elaborato annulla il voto che ha ottenuto al primo scritto.
Orali: a totale discrezione del docente (dipende da come e` stato svolto lo scritto oppure se ci sono dubbi sull'autonomia con la quale e` stato svolto) il candidato che ha superato la prova scritta
con un voto minore o uguale a 25 potra` verbalizzare direttamente il voto dello scritto, senza sostenere l'esame orale. Si accede all'esame orale con un voto > 17.
Sostenendo l'esame orale si puo` aumentare il voto dello scritto (ma ovviamente puo` anche accadere che tale voto venga abbassato).
Il candidato che ha ottenuto una votazione allo scritto maggiore o uguale a 26 dovra` obbligatoriamente sostenere l'orale.
(*) scrivere una email al docente
(**) Attenzione: gli esami scritti online prevedono sempre un esame orale (anche on-line), indipendentemente dal voto dello scritto.

TUTORAGGIO DI PREPARAZIONE AGLI ESAMI DELLE PROSSIME SESSIONI.
E` stato istituito un servizio di tutoraggio per gli studenti della Laurea Triennale in Fisica che devono ancora superare l'esame di Geometria.
Per informazioni cliccate qui .

PROSSIMI APPUNTAMENTI: 13 Settembre, esame scritto; orali il 16 Settembre.