Laurea triennale in Matematica.

Orario: Lunedi' 11-14 (ore 13-14 tutoraggio); Martedi' 11-13; Giovedi' 9-11.
Tutte le lezioni in Aula II a Matematica.

Docenti: Alberto De Sole (2 ore a settimana) e Paolo Piazza (5 ore a settimana).

Tutors: Francesca Leonardi e Stefano Spessato.

Orario Ricevimento:
Venerdi' ore 12-13, Martedi' ore 16.15 - 17-15, oppure per appuntamento.

LEZIONI IN STREAMING.
A partire dal 9 Marzo, a causa del CoVid-19, le lezioni sono in streaming. Sono svolte nell'orario del corso.
Per le lezioni del prof. Piazza (Lunedi' e Martedi) connettersi tramite google-meet 15 minuti prima dell'inizio di una lezione al link:
https://meet.google.com/bfj-rcsf-bch
Google-meet si apre automaticamente dalla vostra pagina gmail istituzionale (quadratino con pallini, in alto a destra)
Le lezioni sono state registrare a partire dal 24 Marzo; inviare una email al docente per avere i link per visionare le registrazioni.
Per le lezioni del Prof. De Sole connettersi tramite google-classroom, con codice
jzjq2i2
Anche google-classroom si apre dalla vostra pagina gmail istituzionale.

RICEVIMENTO IN STREAMING. Mandare una email durante l'orario di ricevimento (verra` aperta la riunione google-meet utilizzata per le lezioni in streaming).

TUTORATO IN STREAMING. Il Dr. Stefano Spessato e` disponibile per ulteriori spiegazioni, esercizi, etc il Lunedi', Martedi, Mercoledi' e Giovedi'
dalle 15 alle 16 alla riunione google-meet
https://meet.google.com/obb-rbnr-azd?pli=1&authuser=3
Prima riunione: Giovedi' 28 Maggio. Il tutoraggio va avanti durante tutto il mese di Giugno, fino al 10 Luglio.

Testi Consigliati:
[S] Edoardo Sernesi: Geometria 1 (Seconda Edizione). Bollati Boringhieri. (Testo di riferimento)
[A] Marco Abate: Geometria. McGraw Hill Libri Italia. 1999
[S] Luca Mauri, Enrico Schlesinger. Esercizi di algebra lineare e geometria. Zanichelli 2020.
[FFP] Elisabetta Fortuna, Roberto Frigerio, Rita Pardini: Geometria Proiettiva. Problemi risolti e richiami di teoria. Springer 2011.

Esami:
L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale.
Per sostenere l'esame è necessario iscriversi all'appello via INFOSTUD.
E` possibile dare il primo scritto di una sessione e poi dare l'orale dopo il secondo scritto della stessa sessione.
Gli scritti valgono solo nella sessione nella quale sono stati svolti; in particolare, gli scritti di Giugno/Luglio scadono il 31 Luglio
e gli scritti di Settembre scadono il 30 Settembre
Chi ha superato il primo scritto di un appello puo' partecipare al secondo scritto ma se consegna l'elaborato
annulla il voto che ha ottenuto al primo scritto.
Lo scritto potra` contenere una domanda di carattere puramente teorico (ad esempio, enunciare un teorema...).
Date esami:
24/6, 13/7, 2/9, 16/9, 27/1.

Bonus compiti a casa:
stesse regole del corso di Algebra Lineare ma con una differenza:
il bonus puo` essere utilizzato in una qualsiasi sessione.
Se non si supera lo scritto allora si puo` ancora utilizzare il bonus (....non e` stato utilizzato...);
analogamente, se il voto dello scritto e` troppo basso e si vuole rifare lo scritto per migliorarlo, allora si puo` utilizzare il bonus
per il secondo scritto (come spiegato sopra, il secondo scritto di una sessione cancella il primo).
Chi non ha svolto gli esercizi ha un bonus pari a zero.

Approsimazioni. Si approssima con le usuali regole:
se X:= (voto dello scritto + voto del bonus) e X e` maggiore o uguale a N,50 allora il voto e` N+1; se X< N,50 allora il voto e` N.

Orali: si accede all'orale se X:= (voto dello scritto + voto del bonus) e` maggiore o uguale a 18. A discrezione del docente (dipende
da come e` stato svolto lo scritto oppure se c'e` un dubbio sull'autonomia con la quale e` stato svolto) il candidato potra` verbalizzare
direttamente il minimo fra X e 26, senza fare l'orale.
Per avere un voto finale > 26 e` necessario fare l'orale.
Attenzione: a causa di " irregolarita` " durante lo svolgimento di alcuni esami scritti on-line, a partire dal 1 Settembre TUTTI gli esami scritti on-line prevedono anche l'esame orale.

Cambio canale:
i cambi di canale sono permessi, tuttavia, il valore assoluto della differenza tra i cambi dei due canali non puo` superare 5.
Per cambiare canale e` necessario inviare una email ad entrambi i docenti.

Programma di massima del corso:
1. Complementi di Algebra Lineare (teoremi spettrali, forme bilineari simmetriche, forme hermitiane, etc..)
2. Spazi affini e Spazi euclidei.
3. Affinita` e Isometrie.
4. Geometria proiettiva: spazi proiettivi, sottospazi, proiettivita`, invarianti proiettivi.
5. Classificazione proiettiva, affine ed euclidea delle coniche.
6. Curve algebriche.
7. La classificazione delle cubiche proiettive (tempo permettendo).

PRIMA SETTIMANA.
Lezione del 24/2/20 (tre ore): forme bilineari, prime definizioni; matrice associata ad una forma bilineare in una base,
matrici congruenti, rango di matrici congruenti, rango di una forma bilineare. Notazione del Sernesi. Tutoraggio (1 ora).
Referenze: [S], da p. 208 a p. 213, fino a Prop. 15.6 esclusa. Potete anche consultare le seguenti note:
Alcune osservazioni sulle forme bilineari.
Per le notazioni del Sernesi potete consultare il seguente documento
Appunti sulle notazioni di Sernesi.

Lezione del 25/2: forme bilineari simmetriche, b-ortogonale di un insieme, radicale, equazioni del radicale
in una fissata base. Vettori non-isotropi. Teorema di diagonalizzazione
Referenze: Prop. 15.6 (solo 1), 2), 3)), pagine 214, 215, fino a (15.8) inclusa.
Teorema 16.1, con Prima dimostrazione.

Lezione del 27/2: caso complesso e caso reale del teorema di diagonalizzazione. Teorema di Sylvester. Forme quadratiche.
Referenze: p. 215, dopo [15.8], p. 216, p. 217 fino a Complementi esclusi. Sezione 16, fino a Teorema 16.3, dimostrazione inclusa.
Vedere anche la definizione di forma def. positiva, negativa, indefinita.
Esercizi: risolvere il primo compito a casa.
Consegna Martedi' 3/3 ore 11 (e non ore 13 come scritto inizialmente) in Aula II.
Soluzioni del primo compito a casa (a cura di Francesca Leonardi). .

SECONDA SETTIMANA.
Lezione del 2/3/20 (tre ore): Segnatura di una forma bilineare simmetrica.
Matrici simmetriche definite positive (negative). Minori principali e matrici simmetriche definite positive (negarive)
Richiami sullo spazio duale associato ad uno spazio vettoriale. Forme bilineari non-degeneri ed i due isomorfismi associati con il duale.
Spazi vettoriali euclidei. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma. Disuguaglianza triangolare.
Basi ortonormali. Matrici di cambio base da base ortonormale a base ortonormale. Matrici ortogonali. Gruppi e sottogruppi.
Referenze: p. 225, p. 226, Teorema 16.5 (dimostrazione facoltativa).
p. 143, p. 144. p. 210.
Sezione 17, fino a Prop. 17.3 compresa.
pp 193, 194 e 195, fino a riga 13.

Lezione del 3/3/20 (a cura del Prof. De Sole): soluzione degli esercizi del primo compito a casa e del compito in classe
che trovate nel link qui sotto.
Compito in classe del 3/3/20

Lezione del 5/3/20: sospensione della didattica sul territorio nazionale causa Covid-19.
Secondo compito a casa. Consegna Lunedi' 16 Marzo, ore 11.
Soluzioni del secondo compito a casa (a cura di Francesca Leonardi e di Paolo Piazza).

TERZA SETTIMANA.
Lezione del 9/3/20 (in streaming; 2 ore e 15 m.): vettori geometrici non-applicati. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Operatori ortogonali e loro caratterizzazione. Il gruppo O(V).
Referenze: vettori geometrici, da p. 13 a p. 17.
Gram-Schmidt: da p. 231, riga -7 a p. 238, riga 4.
Operatori unitari (o ortogonali): sezione 20, pp 263 e 263, fino a riga -5.

Lezione del 10/3/20 (in streaming): il gruppo O(V) ed il suo isomorfismo con O(n) una volta fissata una base ortonormale.
Autovalori di un operatore in O(V).
Automorfismi che preservano una forma bilineare.
Trasposto (o aggiunto) di un endomorfismo in uno spazio vettoriale euclideo.
Referenze: da p. 263 riga -4 a p. 266, Prop. 20.5 inclusa.
pp 273 e 274, tutto il punto 6.

Lezione del 12/3/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom): soluzione di esercizi su forme bilineari simmetriche e spazi vettoriali euclidei.

QUARTA SETTIMANA.
Lezione del 16/3/20 (2+1 ora, in streaming). Teorema spettrale per operatori simmetrici. Dal Teorema spettrale
al Teorema di Sylvester. Forma canonica euclidea ed affine di una forma quadratica.
Compito in classe del 16/3/20
Referenze: Note sul Teorema Spettrale per Operatori Simmetrici
Note sul Teorema Spettrale e la diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche.
Anche Sernesi: sezione 22.

Lezione del 17/3/20 (in streaming). Soluzione esercizio 2 del compito in classe.
Forme hermitiane, esempi, la matrice associata ad una forma hermitiana in una base e` hermitiana,
cambi di base, rango, diagonalizzazione, segnatura.
Prodotti scalari hermitiani, spazi vettoriali hermitiani, basi ortonormali, matrici unitarie, operatori unitari e loro autovalori, teorema
spettrale per operatori unitari, operatori hermitiani e loro autovalori, teorema spettrale per operatori hermitiani.
Referenze: Sernesi, tutta la sezione 23, fino al teorema 23.13 incluso.

Lezione del 19/3/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom): esercizi.

Terzo compito a casa Consegna Sabato 28 Marzo, entro le ore 23.59 (un documento pdf
direttamente alla tutor Francesca Leonardi per email).
Soluzioni del terzo compito a casa (a cura di Francesca Leonardi e Paolo Piazza).

QUINTA SETTIMANA.
Lezione del 23/3/20 (2+1 ora, in streaming). spazi affini, esempi, riferimento affine,
sottospazi affini, equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini.
Referenze: Sernesi, sezione 7, pp 93, 94, 95, 96, 97 fino a 4. escluso;
Prop. 7.6; sezione 8, p. 103, 104, 105, 106, fino a Definizione 8.3 esclusa.
Lezione del 24/3/20 (2 ore e 15 minuti, in streaming, registrata). Geometria di uno spazio affine di dimensione 3
Referenze: potete consultare questi Appunti di Geometria Affine (seguono fedelmente la lezione di oggi) oppure, equivalentemente,
Sernesi Sezione 10.
Lezione del 26/3/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom): soluzione di esercizi di geometria affine in dimensione 3.

SESTA SETTIMANA.
Lezione del 30/3/20 (2+1 ora, in streaming, registrata). sottospazi affini paralleli; spazio quoziente di uno spazio vettoriale per un suo sottospazio;
intersezione di sottospazi affini, proiezione su un sottospazio affine S parallelamente ad un sottospazio complementare U della sua giacitura W_S.
Cambiamento di riferimenti affini.
Referenze: Sernesi: pp 106, 107, 108, 109, 110, 111 e anche p. 159 (dalla riga 6) fino a p. 160, Esempi 12.5 esclusi.
Lezione del 31/3/20 (in streaming, registrata). Isomorfismi di spazi affini. Spazi affini della stessa dimensione sono isomorfi.
Gruppo delle affinita`. Un'affinita` e` determinata dall'immagine di un punto e dall'isomorfismo phi:V-->V associato.
Descrizione del gruppo delle affinita` dello spazio affine numerico A^n (K).
Sottogruppo delle traslazioni, delle omotetie e delle affinita` che fissano l'origine.
Referenze: Sernesi: pp 193--> 196, riga 5 (ripasso sui gruppi). p. 196, 197, fino ad esempi esclusi.
p. 201, dalla riga 8, p. 202 fino alla riga 3.
Lezione del 2/4/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom). Esercizi di geometria affine.

Quarto compito a casa .
Consegna Sabato 11 Aprile, entro le ore 23.59
Soluzioni del quarto compito a casa (a cura di Francesca Leonardi e Paolo Piazza).

SETTIMA SETTIMANA.
Lezione del 6/4/20 (2+1 ora, in streaming, registrata). Affinita`. Esempio della simmetria rispetto ad un punto C. Affinita` in
coordinate e isomorfismo fra Aff(A) e Aff_n (K). Proprieta` affini. Immagine di un sottospazio affine di dimensione k.
Affinita` determinate da 2 (k+1)-ple di punti indipendenti con k minore o uguale alla dimensione di A. Esercizio.
Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani. Cambiamenti di riferimento cartesiano. Distanza. Ortogonalita`.
Referenze: Sernesi: p. 200, punto 4. teorema 14.8 e cor. 14.9 pp 203, 204, 205.
sezione 19, pp. 246, 247, 248 fino a riga 17.
Lezione del 7/4/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom). Esercizi di geometria euclidea in dimensione 3.

OTTAVA SETTIMANA.
Lezione del 13/4/20: vacanza accademica.
Lezione del 14/4/20: vacanza accademica.
Lezione del 16/4/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom). Esercizi di geometria euclidea in dimensione 3. Prodotto vettoriale

NONA SETTIMANA.
Lezione del 20/4/20 (2+1 ora, in streaming, registrata): gruppo delle isometrie di uno spazio euclideo; descrizione in coordinate di una isometria.
Le isometrie sono tutte e sole le applicazioni che preservano la distanza.
Compito in classe del 20/04.
Soluzioni compito in classe del 20/04.
Esercizi supplementari. (L'esercizio 1 sara` discusso Giovedi' 23.)
Lezione del 21/4/20: Esempi di isometrie: traslazioni, riflessioni rispetto ad un iperpiano.
Esempi di sottogruppi di Isom(E). Figure congruenti. Geometria euclidea. Isometrie di un piano euclideo: teorema di Chasles (senza dimostrazione).
Isometrie di uno spazio euclideo di dimensione 3: teorema di Eulero.
Sottogruppi finiti di Isom(E) con E piano euclideo (senza dimostrazione).
Referenze: da p. 266, Definizione 20.6, fino a p. 273 (fino alla definizione di gruppo di Coxeter).
Sezione 21: Teorema di Chasles e di Eulero, senza dimostrazione. Teorema 21.4, senza dimostrazione.
Lezione del 23/4/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom): esercizi di geometria euclidea.

Quinto compito a casa. Consegna entro il 30/4 ore 9 direttamente alla tutor Francesca Leonardi.
Soluzioni per il quinto compito a casa. A cura di Francesca Leonardi e Paolo Piazza.

DECIMA SETTIMANA.
Lezione del 27/4/20 (2 ore + 30 m, in streaming, registrata): Spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale.
Riferimenti proettivi. Coordinate omogenee. Sottospazi, loro equazioni, intersezione
e sottospazio generato da due sottospazi proiettivi. Formula di Grassmann.
Lezione del 28/4/20 (in streaming, registrata):punti e sottospazi in posizioni generale. Spazio proiettivo
come ampliamento dello spazio affine.
Lezione del 30/4/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom): esercizi su sottospazi proiettivi.
Referenze: Sezione 24, tutto fino a p. 309, Prop. 24.4 esclusa. Anche 24.5, 1), 2), 3), 4).
Sezione 25, fino a p. 318, riga 9.

UNDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 4/5/20 (2 ore + 1 ora, in streaming, registrata): ancora su spazi affini e spazi proiettivi;
chiusura di un sottospazio affine, esempi in dimensione 2 e 3. Richiami sullo spazio duale. Annullatore di un sottospazio.
Sistema lineare degli iperpiani di centro S, S un sottospazio proiettivo. Principio di dualita`.
Referenze: sezione 25, 25.4, punto 4. Sezione 26, fino al Teorema 26.4 escluso.
Consultare anche le seguenti note aggiuntive sul Principio di dualita`.
Lezione del 5/5/20 (in streaming, registrata): ancora sul principio di dualita` (dimostrazioni). Cambiamenti di riferimento proiettivo.
Proiettivita`. Gruppo proiettivo. Geometria proiettiva.
Lezione del 7/5/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom): esercizi su sottospazi proiettivi, principio di dualita`.
Referenze: Sezione 26, fino al Teorema 26.4 escluso, ora con dimostrazioni.
Sezione 27, pp 337--> 341, fino alla Prop. 27.4 esclusa. Poi p. 342 a partire da riga 13 e fino a 4 righe dopo la Def. 27.5.

Sesto compito a casa. Consegna entro il 16/5, direttamente alla tutor Francesca Leonardi.
Soluzioni del sesto compito a casa. A cura di Francesca Leonardi e Paolo Piazza.

DODICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 11/5/20 (2 ore + 1 ora, a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom)): curve algebriche, affini, euclidee e proiettive,
equivalenza di curve algebriche, chiusura proiettiva di una curva.
Referenze: Sernesi sez.28 (tutta) piu` esercizi sez 28 n. 1,2,3.
Lezione del 12/5/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom): curve algebriche reali; classificazione delle coniche proiettive.
Referenze: Sernesi sez. 29 (fino a 29.4.2) e sez 30 (escluso 30.4 e 30.5)
Lezione del 14/5/20 (a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom): esempio delle parabole cubiche di Newton, curve razionali e
applicazioni in teoria dei numeri, esercizi.
Referenze: Sernesi fine della sez 29.4, esercizi sez 27 n.1, 2, 4, e sez 30 n. 1,2.

TREDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 18/5/20 (2 ore + 1 ora, a cura del Prof. De Sole, disponibile su classroom)): classificazione delle coniche affini e euclidee + esercizio
sulla forma canonica.
Referenze: Sezione 31 escluso 31.2 e 31.4. Esercizio 2-3.
Lezione del 19/5/20 (in streaming, registrata): centro di simmetria di una conica a centro. Intersezione delle coniche affini con la retta impropria.
Proprieta` metriche delle coniche euclidee. Quadriche. Classificazione proiettiva delle quadriche nello spazio proiettivo.
Referenze: Sernesi: 31.2.1 e 31.2.2. Sezione 32, tutta, escluso 32.3. Anche 30.5 per la classificazione proiettiva delle quadriche.
Lezione del 21/5/20 (in streaming, registrata): classificazione delle quadriche affini ed euclidee.
Punti in posizione generale e proiettivita`. Birapporto.
Referenze: per la classificazione delle quadriche cliccate qui (tratto da M. Abate, Geometria).
Ulteriori informazioni sulle coniche e soprattutto sulle quadriche euclidee e sulla riduzione a forma canonica possono
essere trovate a questo link (tratto da S. Marchiafava e G. Romani, Lezioni di Geometria). Concentratevi sulle proprieta`
geometriche delle quadriche euclidee non-degeneri. Per la parte sulle proiettivita` : p. 341, 342, 343 (Teorema 27.7 solo enunciato).
Esercizi: settimo compito a casa.
Soluzioni del settimo compito a casa. A cura di Francesca Leonardi e Paolo Piazza.

QUATTORDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 25/5/20 (2 ore + 1 ora, in streaming, registrata): modelli geometrici di rette proiettive. Nozioni di base su domini e polinomi.
Curve riducibili e irriducibili.
Referenze: [S]: 25.4, 1; 25.4.3. Per la parte sui polinomi ( solo enunciati): [S] p. 441-->445, fino a riga 9.
pp. 446 e 447 fino a Prop. A3 esclusa. p. 448: Prop. A4. pp 451--> 457 fino al risultante escluso.
Esercizi per la mattina del 25/5: Cliccate qui.
Soluzioni per la mattina del 25/5: Cliccate qui.
Lezione del 26/5/20 (in streaming, registrata):intersezione di una curva algebrica con una retta, molteplicita`. Enunciato teorema di Bezout debole.
Studio locale di una curva algebrica: punti semplici, tangente, punti singolari.
Lezioni del 28/5/20 (2 ore + 2 ore, in streaming, registrate):condizioni necessarie e sufficienti affinche' un punto sia m-plo.
Tangenti principali. Esempi. Flessi. Hessiana di una curva.
Esercizi per il pomeriggio del 28/5: Cliccate qui.
Soluzioni per il pomeriggio del 28/5: Cliccate qui.
Referenze per il 26 e per il 28 Maggio: sezione 33, fino a p. 403, Cor. 33.3 incluso (solo enunciati). pp 403, riga 19 --> 407, tutto (ma Prop. 33.9, solo enunciato).
sezione 34, tutta, fino a 34.11 esclusa. Prop. 34.8 e Prop. 34.10: solo enunciati.
Esercizi: ottavo ed ultimo compito a casa.
Soluzioni dell'ottavo compito a casa.

Voti compiti a casa: cliccate qui per i voti di tutti i compiti ed il bonus finale.

Il corso si e` chiuso il giorno 28/5.

Programma d'esame: il programma d'esame consiste nel contenuto delle lezioni, e relative referenze, come dettagliato in questa pagina web.

Testo dell'esame scritto del 24/6.
Testo e soluzione dell'esame scritto del 24/6.

Testo dell'esame scritto del 13/7.
Testo e soluzione dell'esame scritto del 13/7.

Prossimi appuntamenti:
27 Gennaio 2021, ore 9, Aula IV (ultimo piano): quinto ed ultimo esame scritto. L'esame sara` in presenza salvo motivate eccezioni dovute al Covid-19
Orali: 28 Gennaio (pomeriggio) oppure 16 Febbraio.
Attenzione: a causa di " irregolarita` " durante lo svolgimento di alcuni esami scritti on-line, a partire dall' 1 Settembre TUTTI gli esami
scritti on-line prevedono anche l'esame orale, indipendentemente dal voto.

Risultati:
Matricola - Voto dello scritto
1919863 - 30/30
1817594 - insufficiente
1870708 - 23/30
1927905 - 35/30
1922101 - 21/30
1853166 - 30/30

Gli studenti che hanno superato lo scritto sono invitati a comunicare al docente se intendono sostenere l'esame orale
oppure verbalizzare il minimo fra il voto dello scritto (eventualmente maggiorato dal voto finale dei compiti a casa) e 26.