Fogli settimanali di esercizi:
Testi di esami passati:
Diario delle lezioni:
1) 28.9.2021. Introduzione informale su gruppi di Lie e algebre di Lie. Primi esempi. Cenni sulla mappa esponenziale e il legame fra gruppo di Lie e algebra di Lie nel caso di GL(n). APPUNTI
2) 30.9.2021. Parte prima: gruppi di Lie di matrici. Definizione di gruppo topologico, esempi. Traslazione a sinistra e a destra per un elemento fissato, coniugio. Sottogruppi topologici, omomorfismi e isomorfismi di gruppi topologici. Sottogruppi aperti, componente connessa contenente l'identità. Mappa esponenziale: considerazioni sul prodotto scalare (ed Hermitiano) standard fra matrici, definire una funzione su matrici usando serie di potenze. Le serie dell'esponenziale e del logaritmo. APPUNTI
3) 1.10.2021. Calcolo dell'esponenziale di matrici nilpotenti e diagonalizzabili. Parentesi di algebra lineare: le matrici diagonalizzabili sono dense in Mn(ℂ). Teorema sull'esponenziale e il logaritmo di matrici (sono uno l'inverso dell'altro). L'esponenziale in Mn(ℝ) è di classe C∞. APPUNTI
4) 5.10.2021. Definizione di sottogruppi a un parametro di GL(n,ℝ), derivata in 0, esempi. Teorema: ogni omomorfismo di gruppi topologici ℝ → GL(n,ℝ) è un sottogruppo a un parametro. Considerazioni sulle immagini dei sottogruppi a un parametro, esempio del toro. APPUNTI
5) 7.10.2021. Definizione di algebra di Lie, esempi. Definizione di sottoalgebre di Lie, ideali, omomorfismi. Esempi. Algebra di Lie di un sottogruppo chiuso di GL(n,ℝ). Espressione del prodotto degli esponenziali di due matrici come esponenziale di una matrice. APPUNTI
6) 8.10.2021. Espressione dell'esponenziale della somma e del bracket di due matrici come limiti. Teorema: Lie(G) è una sottoalgebra di Lie di gl(n,ℝ). Esempi. APPUNTI
7) 12.10.2021. Coordinate esponenziali su sottogruppi chiusi di GL(n,ℝ). Corollario: exp(Lie(G)) genera Go. Lemma (per la dimostrazione del corollario): ogni intorno dell'elemento neutro di un gruppo topologico connesso è un insieme di generatori. Corollario (del teorema): Lie(G) determina univocamente G sottogruppo chiuso connesso di GL(n,ℝ). Varietà differenziabili immerse. Teorema: ogni sottogruppo chiuso di GL(n,ℝ) è una sottovarietà immersa e un gruppo di Lie. APPUNTI
8) 14.10.2021. Esempio di una matrice in SL(2,ℝ) che non è esponenziale di alcuna matrice di sl(2,ℝ). Considerazioni su GL(n,ℂ) identificato con un sottogruppo chiuso di GL(2n,ℝ). Altri esempi di sottogruppi chiusi di GL(n,ℝ). Lo spazio tangente a G in In coincide con Lie(G). Cenni sulla definizione dell'algebra di Lie di un gruppo di Lie in generale, tramite il bracket di campi vettoriali. APPUNTI
9) 15.10.2021. Omomorfismi continui di gruppi di matrici, differenziale. Tali omomorfismi sono C∞. Rappresentazioni di gruppi e di algebre di Lie: varie definizioni basilari (moduli, sottomoduli, ecc.). Osservazioni ed esempi. APPUNTI
10) 19.10.2021. Altri esempi di rappresentazioni. Struttura di G-modulo sul duale di un G-modulo. Rapporti fra G-moduli e Lie(G)-moduli, struttura di L-modulo sul duale di un L-modulo. Teorema sui G-sottomoduli e i Lie(G)-sottomoduli di una rappresentazione continua di G. APPUNTI
11) 21.10.2021. Svolgimento di esercizi in aula. Rappresentazione aggiunta di G e di Lie(G). Formula per la rappresentazione aggiunta di Lie(G), e rappresentazione aggiunta di un'algebra di Lie qualsiasi. Teorema sul legame fra essere un sottogruppo normale ed avere un ideale come algebra di Lie (senza dimostrazione). APPUNTI
12) 22.10.2021. Dimostrazione del teorema della volta precedente. Teorema: G agisce tramite Ad con automorfismi di Lie(G), e un'algebra di Lie L agisce tramite ad con derivazioni di se stessa. Definizione di omomorfismi di moduli. Parte seconda: teoria generale delle algebre di Lie. Centro e algebra derivata di un'algebra di Lie, bracket di ideali. Esempi. Algebre di Lie semplici, esempio di sl(2). Quoziente di un'algebra di Lie per un ideale: struttura di algebra di Lie. Normalizzatore e centralizzatore di un sottospazio vettoriale. APPUNTI
13) 26.10.2021. Risultati standard su ideali e omomorfismi. Serie derivata e serie centrale discendente, algebre di Lie risolubili e nilpotenti, esempi. Legami fra la risolubilità di un'algebra di Lie e quella di suoi quozienti e ideali. Somma di ideali risolubili, radicale di un'algebra di Lie di dimensione finita. Algebre di Lie semisemplici. Legami fra la nilpotenza di un'algebra di Lie e quella di suoi quozienti e ideali. APPUNTI
14) 29.10.2021. Svolgimento in aula degli esercizi del foglio 2. APPUNTI
15) 4.11.2021. Elementi ad-nilpotenti, Teorema di Engel e primo teorema di "punto fisso". Corollario: una sottoalgebra nilpotente di gl(n) è contenuta in u(n) a meno di cambiare base. Secondo teorema di "punto fisso" (solo enunciato). APPUNTI
16) 9.11.2021. Dimostrazione del secondo teorema di "punto fisso". Teorema di Lie. Corollario: un'algebra di Lie risolubile ha una filtrazione di ideali ciascuno di codimensione 1 nel successivo. Corollario: L è risolubile se e solo se [L,L] è nilpotente. Parentesi di algebra lineare: autovettori generalizzati, enunciato del Teorema di decomposizione di Fitting, lemma con dimostrazione. APPUNTI
17) 11.11.2021. Svolgimento in aula degli esercizi del foglio 3. Dimostrazione della decomposizione di Fitting. Decomposizione di Jordan-Chevalley (dimostrazione tranne l'unicità). APPUNTI
18) 12.11.2021. Fine della dimostrazione della decomposizione di Jordan-Chevalley. Criterio di Cartan, dimostrazione. Definizione della forma di Killing, associatività. Teorema: L semisemplice se e solo se la forma di Killing è non degenere (senza dimostrazione). APPUNTI
19) 18.11.2021. Svolgimento in aula degli esercizi del foglio 4. Dimostrazione del criterio di semisemplicità in termini della forma di Killing. Teorema: un'algebra di Lie di dimensione finita è semisemplice se e solo se è somma diretta di algebre di Lie semplici di dimensione finita, e la decomposizione è unica perché gli addendi sono gli ideali che sono algebre semplici. APPUNTI
20) 19.11.2021. Corollario: ogni ideale di un'algebra di Lie semisemplice L è somma di alcuni degli addendi semplici del teorema, ogni quoziente di L è semisemplice, e L=[L,L]. Teorema: se L è semisemplice alloda ad(L)=Der(L). Corollario: decomposizione di Jordan-Chevalley "astratta" nelle algebre di Lie semisemplici. Altre costruzioni di teoria delle rappresentazioni: prodotti tensoriali e Lemma di Schur. Forma bilineare associata ad una rappresentazione fedele, elemento di Casimir e sua indipendenza dalla base scelta. Lemma: l'elemento di Casimir centralizza l'immagine di L (senza dimostrazione). APPUNTI (ho perso il file scritto durante la lezione, questo file è ricavato dai miei appunti)
21) 23.11.2021. Dimostrazione dell'ultimo lemma della lezione precedente. Teorema di Weyl. Confronto fra decomposizione di Jordan-Chevalley "standard" in gl(n) e "astratta" in un'algebra di Lie semisemplice L, tramite una rappresentazione L→gl(n) (senza dimostrazione). APPUNTI
22) 25.11.2021. Svolgimento in aula degli esercizi del foglio 5. Dimostrazione dell'ultimo teorema della lezione precedente. Rappresentazioni di sl(2): pesi, comportamento degli h-autospazi rispetto all'azione degli elementi e,f, studio degli sl(2)-moduli irriducibili di dimensione finita, loro classificazione tramite il peso più alto. APPUNTI
23) 26.11.2021. Corollario sugli h-pesi di un un sl(2)-modulo di dimensione finita. Sottoalgebre torali: definizione, esempi. Lemma: sono abeliane. Radici: definizione, esempi. Prime proprietà degli autospazi in L di una sottoalgebra torale massimale H. Corollario: la forma di Killing ristretta a L0 è non degenere. Proposizione: la forma di Killing ristretta a H è non degenere. Corollario: L0=H. APPUNTI
24) 30.11.2021. Due proposizioni sulle proprietà delle radici di un'algebra di Lie semisemplice rispetto ad una sottoalgebra torale massimale, e proprietà degli ad(H)-autospazi di L: dimensione degli autospazi, studio delle sottoalgebre isomorfe a sl(2) corrispondenti a ciascuna radice, gli elementi hα, multipli di una radice, α-stringa di una radice β, eccetera. APPUNTI
25) 3.12.2021. Svolgimento in aula degli esercizi del foglio 6. Esempio su L=sp(4): calcolo degli elementi tα, hα, valori della forma di Killing sulle radici. Lemma: data una base di H* fatta di elementi α1,...,αn di Φ, allora Φ è contenuto in Spanℚ{α1,...,αn}. Definizione del ℚ-spazio vettoriale Eℚ e del ℝ-spazio vettoriale E. Teorema: la forma di Killing induce una forma bilineare su Eℚ e anche su E, su quest'ultimo è un prodotto scalare (senza dimostrazione). APPUNTI
26) 7.12.2021. Dimostrazione del teorema della lezione precedente. Sistemi di radici: definizioni, esempi. Studio dei possibili angoli fra due radici e dei rapporti fra le lunghezze. Lemma: date due radici α e β non proporzionali, se (α,β) > 0 allora α-β è una radice, e se (α,β) < 0 allora α+β è una radice. α-stringa di una radice. APPUNTI
27) 9.12.2021. Basi di un sistema di radici: definizione, esempi. Radici positive e base associata a un vettore regolare. Gruppo di Weyl: definizione, esempi. Una riflessione semplice permuta le radici positive diverse dalla radice semplice associata. Teorema: W è generato dalle riflessioni semplici ed agisce transitivamente sull'insieme delle basi (senza dimostrazione). APPUNTI
28) 10.12.2021. Svolgimento in aula degli esercizi del foglio 7. Base e gruppo di Weyl del sistema di radici di sl(n). Dimostrazione del teorema della lezione precedente. Definizione di lunghezza di un elemento di W. Teorema: la lunghezza di w è il numero di radici positive che diventano negative applicando w (senza dimostrazione). Lemma di "cancellazione". APPUNTI
29) 16.12.2021. Dimostrazione del teorema dell'ultima lezione. Corollario: W agisce in modo semplicemente transitivo sull'insieme delle basi. Proposizione: la chiusura di una camera di Weyl è un dominio fondamentale per l'azione di W su E. Classificazione dei sistemi di radici. Matrice di Cartan, grafo di Coxeter, diagramma di Dynkin di un sistema di radici. Esempi. Diagrammi di tipo An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8, F4, G2. Isomorfismo di sistemi di radici. Proposizione: il diagramma di Dynkin determina il sistema di radici a meno di isomorfismo. APPUNTI
30) 17.12.2021. Svolgimento in aula degli esercizi del foglio 8. Sistemi di radici irriducibili e diagrammi di Dynkin connessi. Teorema: la lista An,..., G2 è la lista completa dei diagrammi di Dynkin connessi. Inizio della dimostrazione. APPUNTI
31) 21.12.2021. Fine della dimostrazione del teorema della lezione precedente. Esistenza e unicità di un'algebra di Lie semisemplice con un dato sistema di radici: solo enunciato. Per la dimostrazione: costruzione dell'algebra di Lie libera in un certo numero di generatori, proprietà universale. Relazioni (S1), (S2), (S3), (S+i,j) e (S-i,j) che valgono in un'algebra di Lie semisemplice. Costruzione dell'algebra L0 con le sole relazioni (S1), (S2), (S3), definizione di una rappresentazione. APPUNTI
32) 7.1.2022. Per la dimostrazione del Teorema di Serre: proprietà della rappresentazione definita la lezione precedente. Teorema sulla struttura dell'algebra di Lie L0. APPUNTI
33) 11.1.2022 (4 ore). Esponenziale di endomorfismi localmente nilpotenti. Riflessione semplice di un sistema di radici di tipo A1 vista come coniugio per un elemento di SL(2). Dimostrazione del Teorema di Serre: passi 1-9. Svolgimento in aula degli esercizi del foglio 9. APPUNTI
34) 13.1.2022. Fine della dimostrazione del Teorema di Serre. Corollario: unicità dell'algebra di Lie semisemplice con sistema di radici dato. Teorema (senza dimostrazione): due sottoalgebre torali massimali sono collegate da un'automorfismo dell'algebra semisemplice. Corollario: indipendenza del sistema di radici dalla sottoalgebra torale massimale. Un sistema di radici irriducibile determina il prodotto scalare a meno di multipli, osservazioni sugli esempi sl(n), so(n), sp(2n). APPUNTI
35) 14.1.2022. Complementi: algebra universale inviluppante, Teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt (senza dimostrazione), proprietà universale dell'algebra di Lie libera. Esempi ed esercizi. APPUNTI