Laurea triennale in Informatica. Canale 1 (A-L).
Orario: Lunedi' 16-18 (16-19 a partire dal 6/11 e fino alla fine del corso)
Mercoledi' 17-19
Venerdi 14-17
Tutte le lezioni in Aula III a Chimica,

Docenti: Paolo Piazza (Lunedi' e Mercoledi'), Gabriele Viaggi (Venerdi').
Attenzione: Non sono permessi cambi di canale.
Orario di ricevimento di Paolo Piazza: Giovedi alle 17, oppure per appuntamento.

Libri di Testo:
[A-dF] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III edizione, ed. McGraw-Hill.
[PC] Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra. Un approccio algoritmico, ed. Zanichelli.
Facoltativo: [A-dF-es] Marco Abate e Chiara de Fabritiis: "Esercizi di Geometria", ed. McGraw-Hill
[C] Giulio Campanella: "Appunti di Algebra 1", Edizioni Nuova Cultura.
[S-VG] Rene' Schoof e Lambertus Van Geemen, "Algebra", disponibile in rete a questo link.

Programma indicativo:
A) ALGEBRA ELEMENTARE
- Interi/polinomi (struttura di anello), divisione euclidea, fattorizzazione unica, massimo comun divisore, algoritmo di Euclide
- Relazioni di equivalenza, insiemi quoziente, Z/n e Q, piccolo teorema di Fermat, struttura di campo su Z/p (e su Q,R)
- Numeri complessi, struttura di campo, rappresentazione polare, teorema fondamentale dell'algebra, fattorizzazione in irriducibili di polinomi complessi e reali.
B) ALGEBRA LINEARE
- Spazi vettoriali numerici, sistemi di equazioni lineari, algoritmo di eliminazione di Gauss, interpretazione di una matrice come una applicazione lineare,
composizione e prodotto di matrici, determinante di una matrice quadrata, teorema di Binet, inversa di una matrice.
- Spazi vettoriali, combinazioni lineari e span, indipendenza lineare, insiemi di generatori, basi e dimensione.
- Sottospazi vettoriali, intersezioni di sottospazi, somme e somme dirette di sottospazi, formula di Grassmann.
- Applicazioni lineari, nucleo e immagine, rango e teorema del rango, teorema di Rouché-Capelli.
- Passaggio alle coordinate, cambiamenti di coordinate, rappresentazione di applicazioni lineari tramite matrici.
- Autovalori e autovettori di un endomorfismo lineare, polinomio caratteristico, autospazi, diagonalizzabilità.
C) ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI
- Definizione ed esempi di gruppi: gruppi ciclici, invertibili in un anello , matrici invertibili, gruppi di permutazioni, gruppi di trasformazioni.
- Sottogruppi e teorema di Lagrange, classi di coniugio e formula delle classi.
- Aritmetica modulare e congruenze - Omomorfismi di gruppi, nucleo e immagine, sottogruppi normali, teoremi di omomorfismo.

E-learning. Sara` attivata una pagina e-learning, con titolo: Algebra-Informatica-2023-2024.
Questa pagina e-learning verra` utilizzata principalmente per annunci, comunicazioni etc.
Importante: tutti gli studenti sono pregati di iscriversi.

CALENDARIO DEGLI ESAMI:
9 Gennaio (ore 13.20, Aula III, a Matematica (primo piano); eventuali orali Venerdi' 12 alle ore 13.30 in Aula II a Matematica (piano terra))
31 Gennaio (mattina, Aula III a Matematica)
3 Giugno
17 Luglio
18 Settembre

REGOLE D'ESAME.
L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni
e nella risposta a domande di tipo teorico) ed una prova orale (consistente nella discussione dei temi piu` rilevanti illustrati nel corso).
Le domande teoriche possono includere le dimostrazioni di alcuni risultati fondamentali visti durante il corso.
L'esame scritto e` superato con un punteggio di almeno 18/30.
Gli studenti che hanno ottenuto una votazione minore di 27 possono chiedere, previo discussione del proprio elaborato, di verbalizzare il voto dello scritto, senza sostenere una prova orale.
La stessa regola si applica a coloro che hanno ottenuto una votazione maggiore o uguale 27 ma il voto verbalizzato sara` di 27, quale che sia la valutazione ottenuta.
La prova orale, ove prevista, potra` svolgersi all'interno della stessa sessione d'esame (ovvero, per chi supera lo scritto del 9 gennaio potra` essere espletata entro febbraio, per chi supera quello di giugno entro luglio), a discrezione dello studente.
Lo studente che ha superato la prova scritta puo` decidere di ripeterla: in quel caso, il presentarsi ad uno degli appelli scritti successivi implica la rinuncia al voto dello scritto precedente (qualunque esso sia).
Uno studente che non supera la prova scritta puo` presentarsi ad un appello successivo, senza limitazioni.
La prova scritta ha una durata massima di tre ore, durante la quale non e` consentito l'uso di cellulari, calcolatrici e altri strumenti elettronici, che devono essere spenti.
Non e` consentito l'uso di libri o appunti con l'eccezione di un singolo foglio A4 (fronte/retro) sul quale lo studente puo` scrivere tutto cio` che ritiene opportuno (sono escluse le dimostrazioni; max 35 righe, incluse formule, per facciata).
Gli studenti devono presentarsi, OBBLIGATORIAMENTE muniti di un documento d'identita`, all'ora stabilita nei pressi dell'Aula che sara` loro comunicata: sara` cura dei docenti sistemarli all'interno.
Il documento deve essere posizionato sul banco per il riconoscimento. I fogli saranno distribuiti dai docenti. Alla fine della prova, lo studente dovra` consegnare ESCLUSIVAMENTE i fogli di bella.
Lo studente puo` anche decidere durante la prova di ritirarsi: in quel caso, dovra` firmare un foglio per la rinuncia e consegnare tutti i fogli ricevuti, che saranno immediatamente cestinati.
Per sostenere l'esame e` NECESSARIO iscriversi su INFOSTUD all'appello desiderato.
La prenotazione agli appelli si chiude vari giorni PRIMA della data dello scritto corrispondente per permettere, data l'alta numerosita`, di preparare la prova e la logistica necessaria.
Non saranno ammessi a sostenere l'esame studenti non iscritti all'appello.

DIARIO DELLE LEZIONI.

PRIMA SETTIMANA.
Lunedi' 2 Ottobre. Rapido ripasso di insiemestica. Relazione da un insieme A ad un insieme B.
Esempi. Relazioni di equivalenza. Esempi. Classi di equivalenza. Partizione associata
ad una relazione di equivalenza. Relazione di equivalenza associata ad una partizione.
Referenze: Ripassate la sezione 1.1 in [PC], pp 7--> 11. Studiare la sezione 1.2, fino a p. 16, Def. 1.2.14 esclusa.
Mercoledi' 4 Ottobre. Relazioni di equivalenza: ripasso. Relazioni di ordine parziale. Esempi. Diagramma di Hasse.
Assiomi di Peano per i numeri naturali. Definizione di ordine totale, somma e prodotto su una terna di Peano.
Principio del buon ordinamento.
Referenze: [PC] da Def. 1.2.14 alla figura 1.4 inclusa; numeri naturali: tutto il paragrafo, fino a p. 26 inclusa.
Per un approccio piu` rigoroso e completo ai numeri naturali cliccate qui (facoltativo). (Tratto da "Appunti di Algebra 1", Giulio Campanella.)
Per un approccio molto rigoroso ai numeri naturali cliccate qui (facoltativo). (A cura di Alessandro D'Andrea (dispense per il corso di Algebra a Matematica).)
Esercizi. Svolgere i seguenti esercizi in [PC] : 1.1.1 a pagina 11, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5; 1.2.1, 1.2.2.; 1.4.2, 1.4.3, 1.4.4
Svolgere gli esercizi 3,4,5,6, nel primo foglio di esercizi..
Venerdi' 6 Ottobre (Gabriele Viaggi). Relazione di congruenza tra interi e descrizione del quoziente. Relazione di divisibilità tra i naturali.
Intersezioni e unioni di relazioni di equivalenza. Esempi di relazioni che falliscono esattamente una tra riflessività, simmetria, e transitività.
Soluzione degli esercizi 3,4,5,6 del primo foglio.
Induzione, strategia generale e applicazione in tre esercizi.
Numeri interi, motivazione e idea della costruzione di Z come quoziente di N x N. Descrizione delle classi di equivalenza.
Definizione di somma e prodotto. L'inclusione naturale di N in Z preserva le operazioni.
Referenze. Per gli interi: sezione 2.1 fino a p. 43 inclusa.

SECONDA SETTIMANA.
Lunedi' 9 Ottobre. Strutture algebriche: semigruppo, gruppo, anello. Esempi e prime proprieta`.
Gli interi sono un anello commutativo unitario ed un dominio di integrata`.
Mercoledi' 11 Ottobre. Semplici proprieta` degli anelli: a0=0, a(-b)=-(ab)=(-a)b, (-a)(-b)=ab.
Gruppo degli invertibili di un anello unitario. Definizione di campo. Il campo dei numeri razionali.
Referenze. Per gli interi: sezione 2.1 in [PC] ora fino a p. 44 compresa.
Per i razionali: tutta la sezione 2.4 in [PC].
Per un riassunto delle strutture algebriche viste a lezione con esempi ed alcuni esercizi cliccate qui.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio dell'11 Ottobre 2023..
Venerdi' 13 Ottobre (Gabriele Viaggi). Soluzione degli esercizi assegnati sui gruppi.
Teorema: ogni gruppo G ammette una mappa iniettiva in S(G) che preserva le operazioni. Idea e dimostrazione.
Esempi tramite tabelle di moltiplicazione: discussione e classificazione dei gruppi con 3 e 4 elementi
Z/nZ: buona definizione di somma e prodotto. Z/nZ è un anello commutativo con unità.
Se n non è primo allora Z/nZ ha divisori dello zero.
Referenze. Per Z/nZ vedere [PC] sezione 2.6 fino a 2.6.5 (escluso).

TERZA SETTIMANA.
Lunedi' 16 Ottobre. Ancora su divisori dello zero e legge di cancellazione in un anello commutativo unitario.
Ripasso su Z_n. Esistenza di divisori dello zero. Numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra. Divisione con resto in Z.
Mercoledi' 18 Ottobre. Massimo Comun Divisore di due interi. Identita` di Bezout. Algoritmo euclideo. Esercizi.
Venerdi' 20 Ottobre (Gabriele Viaggi). Ripasso dell'algoritmo Euclideo di divisione. Esempi ed applicazioni.
Equazioni Diofantee ax+by=c. Criterio di risolubilità. Caratterizzazione delle soluzioni. Esempi. Discussione di risolubilità di ax=b in Z/nZ e calcolo delle soluzioni.
Se n è primo allora Z/nZ è un campo. Esercizi. Teorema: Sia A un anello unitario con finiti elementi e privo di divisori dello zero. Allora A è un anello di divisione.
Il gruppo delle unità di Z/nZ. Calcolo della cardinalità mediante la funzione di Eulero.
Referenze.
[PC] Capitolo 2, sezione 2.2 fino a Prop. 2.2.8 esclusa. Sezione 2.6, fino alla Prop. 2.6.7 inclusa.
Sezione 2.7, fino al Corollario 2.7.6 incluso. Per la funzione di Eulero: Definizione 2.8.1. e Prop. 2.8.5.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio dell'21 Ottobre 2023..

QUARTA SETTIMANA.
Lunedi' 23 Ottobre. Numeri primi. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Esistono infiniti numeri primi.
MCD e mcm (minimo comun multiplo) utilizzando il teorema fondamentale dell'aritmetica. Soluzione dettagliata dell'es. 2 del compito del 21/11.
Mercoledi' 25 Ottobre. Soluzione del compito del 21/11. Sistemi di equazioni congruenziali. Teorema cinese del resto. Sistemi riducibili ad un sistema cinese.
Venerdi' 27 Ottobre. Prodotto diretto di gruppi/anelli. Omomorfismi di gruppi/anelli. Soluzione di un sistema cinese.
Seconda formulazione del teorema cinese del resto. Piccolo teorema di Fermat. Teorema di Eulero. Esercizi.
Referenze. [PC], tutta la sezione 2.6, esclusi i criteri di divisibilita`. Tutta la sezione 2.7. Tutta la sezione 2.8.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 27 Ottobre 2023..

QUINTA SETTIMANA.
Lunedi' 30 Ottobre (Viaggi). Soluzione degli esercizi 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 del foglio del 27 Ottobre.
Mercoledi' 1 Novembre. Sospensione attivita` didattica (festa nazionale).
Venerdi'3 Novembre. Sottogruppi. Sottogruppo generato da un elemento. Gruppi ciclici. Esempi. Caratterizzazione dei sottogruppi di Z e di Z_n.
Classi laterali destre e sinistre associate ad un sottogruppo H. aH e` in generale differente da Ha.
Partizione in classi laterali destre (sinistre) di G . Teorema di Lagrange. Relazione di equivalenza sinistra associata ad un sottogruppo. Relazione destra.
Le due relazioni sono in generale differenti. Sottogruppo normale.
Referenze. Per questa lezione non ho seguito un unico testo.
Per la prima parte della lezione la migliore referenza e` [S-VG]: sezione 3 (saltare 3.4 (iii), (iv), (v), saltare (3.8)(5)) fino a 3.9 incluso.
In alternativa, anche [PC], sezione 5.1, fino a 5.11 inclusa (saltare 5.1.6)); passare poi alla definizione 5.1.16.
Per classi laterali e teorema di Lagrange: [PC] sezione 5.5; studiarla tutta fino al Corollario 5.5.6 escluso. Leggere la definizione 5.8.4.
Per la parte sulle classi laterali ed il teorema di Lagrange anche [C], Cap IV, Sezione 5.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 3 Novembre 2023..

SESTA SETTIMANA.
Lunedi' 6 Novembre, 16-17. Teorema di struttura per i gruppi ciclici.
Lunedi' 6 Novembre, 17-19 (Viaggi). Esercizi sull'ordine di un elemento in un gruppo:
(1) se G è finito allora o(g) è finito per ogni g in G; (2) gli elementi 1,g,...,g^(o(g)-1) sono a coppie distinti;
(3) se g^t=1 allora o(g) divide t; (4) l'ordine di g^s è mcm(o(g),s)/s. Altri esercizi sui gruppi.
Se n e` primo allora il gruppo moltiplicativo U(Z_n) ed il gruppo additivo Z_{(n-1)} sono isomorfi.
Referenze. Per un breve documento sui gruppi ciclici cliccate qui.
Per una dimostrazione dell'isomorfismo fra il gruppo moltiplicativo U(Z_n) ed il gruppo additivo Z_{(n-1)}
per n primo, cliccate qui (a cura di Gabriele Viaggi).
Mercoledi' 8 Novembre. Studio del reticolo dei sottogruppi di Z_12. Generatori di un gruppo ciclico. Ripasso
su classi laterali destre e sinistre. Sottogruppo normale. Il nucleo di un omomorfismo e` normale. Sottogruppi di indice 2.
Definizione di gruppo quoziente per un sottogruppo normale, G/H.
Referenze. [S-VG]: 5.9, 5.11, 5.12, 5.13, 5.14, 6.1, 6.2, 6.4, 6.6, 6.7, 6.9.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio dell'8 Novembre 2023.
Venerdi' 10 Novembre, 14--16 (Viaggi). Esercizi:
1) Gruppi di ordine primo (esercizio 3)
2) U(Z/25Z)=Z/20Z (esercizio 4).
3) Sottogruppo di torsione di un gruppo abeliano (esercizi 6 e 7).
4) Automorfismi di un gruppo (esercizio 1). Automorfismi interni (esercizio 8). Descrizione del nucleo di G->Aut(G) (centro di G). Aut(Z/nZ) è isomorfo a U(Z/nZ).
5) Classificazione dei gruppi di ordine 6: Z/6Z e S_3.
Venerdi' 10 Novembre, 16--17. Teorema fondamentale di omomorfismo fra gruppi.
Referenze. Per il teorema fondamentale di omomorfismo, con un ripasso sulla nozione di sottogruppo normale e gruppo quoziente, ho seguito [C]:
[C], Capitolo 1, Def. 5, Prop. 2, Oss. 6, Prop. 3, pp. 13 e 14 (teorema di decomposizione delle applicazioni).
Poi Capitolo 4, p. 178: Def. 2, Prop. 4, Prop. 5, Oss. 2.
Infine (e questa e` la parte nuova): pp. 183 e 184, saltando l'Oss 1 e fino al Cor. 1 escluso.
In alternativa, [PC], Sezioni 5.8 e 5.9 fino a corollario 5.9.2. compreso.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 10 Novembre 2023.

SETTIMA SETTIMANA.
Lunedi' 13 Novembre (Viaggi):
1) Gruppo simmetrico, definizione e notazioni. Permutazioni con supporto disgiunto commutano. Esempi: trasposizioni, cicli, ordine di un ciclo.
2) Ogni permutazione si decompone unicamente a meno.di riordino dei fattori in prodotto di cicli disgiunti.
Esempi. Calcolo dell'ordine di una permutazione in termini della sua decomposizione in cicli.
3) Problema di classificazione delle permutazioni a meno di coniugio. Invariante proveniente dalla decomposizione in cicli.
Calcolo del coniugato di un ciclo. Dimostrazione che due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno gli stessi invarianti (e calcolo di un elemento coniugante).
Esempi vari. Calcolo delle classi di coniugio di S_5.
4) Ogni permutazione si scrive come prodotto di trasposizioni. La parità del numero di trasposizioni non dipende dalla decomposizione (senza dimostrazione).
Decomposizione esplicita in trasposizioni di un ciclo. Il gruppo alternante A_n.
5) Esercizio: S_n è generato da (1 2) e (1 2 ... n)
6) Esercizio: A_n è generato dai 3-cicli.
Referenze per il 13/11: sezioni 5.2 e 5.3 di [PC].
Mercoledi' 15 Novembre, 11-->13; esercitazione scritta.
Testo dell'esercitazione scritta..
Testo e soluzione dell'esercitazione scritta..
Mercoledi' 15 Novembre, 17-->19; gruppo simmetrico: ripasso della teoria ed esercizi.
Esercizi sui sottogruppi di S_3 e sul gruppo di Klein.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 16 Novembre .
Venerdi' 17 Novembre. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite. Matrici. Lemma fondamentale.
Metodo di Gauss per sistemi n per n. Sistemi n per n triangolari superiori: teorema di esistenza e unicita`. Definizione di spazio vettoriale.
Referenze per il 17/11. [A-dF]: nell'ordine, Definizioni 3.1, 3.2, 3.3, 3.4. Esempi 3.5, 3.6. Definizioni 3.6, 3.7. Lemma 3.2 (Lemma Fondamentale).
Esempi 3.1, 3.2, 3.3. 3.4. Proposizione 3.1 (dimostrazione facoltativa). Esempi 3.8, 3.9, 3.10. Sezione 3.3, fino all'Esempio 3.13 incluso.
Infine: Sezione 4.1, fino alla definizione 4.2 inclusa.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 17 Novembre .
Soluzione degli esercizi del foglio del 17 Novembre .

OTTAVA SETTIMANA.
Lunedi' 20 Novembre:
soluzione del foglio di esercizi del 17 Novembre; spazi vettoriali;
lo spazio vettoriale dei segmenti orientati del piano con primo estremo in O (V^2_O);
lo spazio vettoriale dei segmenti orientati dello spazio con primo estremo in O (V^3_O).
Sottospazi di uno spazio vettoriale. Esempi in V^2_O e V^3_O.
Le soluzioni di un sistema lineare m per n omogeneo costituiscono un sottospazio vettoriale di R^n.
Combinazione lineare di k vettori. Span.
Lo Span di k-vettori e` un sottospazio vettoriale. Un sistema e` risolubile se e solo se la colonna dei
termini noti appartiene allo Span delle colonne della matrice dei coefficienti del sistema.
Referenze per il 20 Novembre: Sezione 4.1 e Sezione 4.2 (nella loro interezza).
Per V^2_O e V^3_O vedere la Sezione 2.1 (tutta)
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 20 Novembre .
Mercoledi' 22 Novembre:
dipendenza lineare; esempi ed osservazioni varie; base di uno spazio vettoriale finitamente generato;
esempi; esistenza di una base (senza dimostrazione); teorema del completamento (senza dimostrazione); dimensione di uno spazio vettoriale.
Referenze per il 22 Novembre: Sezione 4.1: tutta. Sezione 4.4: Prop. 4.6, Corollario 4.9 (solo enunciato), Teorema 4.10 (solo enunciato),
osservazione 4.7, Corollario 4.11, Definizione 4.10.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 22 Novembre .
Venerdi' 24 Novembre (Viaggi). Coordinate associate ad una base. Dimensione di sottospazi. Soluzione alla lavagna
degli esercizi del foglio del 22 Novembre e dell'esercizio 5 del 20 Novembre.
Referenze per il 24 Novembre: finire la Sezione 4.4.

Soluzioni per gli esercizi del 20/11 e del 22/11.

NONA SETTIMANA.
Lunedi' 27 Novembre: intersezione e somma di sottospazi; somma diretta; supplementari di un sottospazio.
Applicazioni lineari: esempi, proprieta` di base; nucleo ed immagine.
Referenze per il 27 Novembre: Sezione 4.5: tutta (inclusa la Proposizione 4.17). Sezione 5.1: a partire dalla Definizione 5.1 e fino alla Proposizione 5.5. inclusa.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 27 Novembre .
Mercoledi' 29 Novembre: nucleo ed immagine di un'applicazione lineare; teorema della dimensione; conseguenze; esempi. Teorema di struttura per le soluzioni
di un sistema non-omogeneo. Teorema di Rouche'-Capelli. rg(A)=rg(A^T).
Referenze per il 29 Novembre. Sezione 5.1: Proposizione 5.1 e ripasso del resto della sezione.
Sezione 5.2, tutta fino al Corollario 5.9 incluso (dimostrazione Teorema 5.7 facoltativa). Enunciato di Prop. 5.11 (2).
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 29 Novembre .
Venerdi' 1 Dicembre (Viaggi). Ripasso della teoria recentemente vista a lezione.
Soluzione alla lavagna degli esercizi del foglio del 27 Novembre e dell'esercizio 2 del 29 Novembre.
Soluzione esercizi del 27/11 e del 29/11.

DECIMA SETTIMANA.
Lunedi' 4 Dicembre: sistemi a scala; riduzione a scala.
Referenze per il 4 Dicembre: sezione 6.1, sezione 6.2, fino al Teorema 6.3 incluso.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 4 Dicembre .
Soluzioni degli esercizi del 4/12.
Mercoledi' 6 Dicembre, 11-13: esercitazione scritta.
Testo dell'esercitazione scritta.
Testo e soluzione dell'esercitazione scritta.
Mercoledi' 6 Dicembre: ancora sul teorema fondamentale per i sistemi lineari e le sue conseguenze. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 7 Dicembre (contiene anche delle brevi note su equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi).
Venerdi' 8 Dicembre: festa nazionale.

UNDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 11 Dicembre: Hom(V,W) e struttura di spazio vettoriale. La composizione Hom(V,W) x Hom(W,Z)-->Hom(V,Z) è bilineare. End(V) e sua struttura di anello unitario.
Gli invertibili sono GL(V)=mappe lineari biunivoche (esercizio: l'inversa è lineare). Caso finito dimensionale: calcolo di dim Hom(V,W)=dim V x dim W.
Caso V=R^n e W=R^m. Corrispondenza mappe lineari<-->matrici: Matrice A_f associata a una mappa lineare f:R^n-->R^m e prodotto matrice per vettore come combinazione lineare delle colonne.
Esempi. Operazione inversa: Mappa lineare f_A associata a una matrice. Esempi. Prodotto righe per colonne. Esempi.
Proprietà algebriche del prodotto righe per colonne di matrici. Anello delle matrici n x n.
A invertibile se e solo se le colonne sono linearmente indipendenti se e solo se le colonne generano R^n.
Formula per l'inversa di una matrice 2 x 2. Calcolo dell'inversa di una 3 x 3 tramite il metodo di Gauss. Soluzione esercizio 2 del foglio del 7/12.
Soluzioni per il foglio del 7 Dicembre .
Referenze per l'11 Dicembre: Sezioni 7.1, 7.2, 7.3.. Piu` precisamente: pp 128, 129, 130; Prop. 7.4 (1), senza dimostrazione e senza duale.
Esempio 7.5. Osservazione 7.4. Sezione 7.2, tutta. Sezione 7.3: tutta.
Mercoledi' 13 Dicembre, 12-->14: esercitazione scritta.
Testo dell'esercitazione scritta.
Mercoledi' 13 Dicembre: definizione di determinante, sue proprieta`. Determinante di A e di una sua ridotta a scala.
Sviluppo di Lapace secondo una riga e secondo una colonna. Determinante di una matrice triangolare. Unicita` della funzione determinante.
rg (A) e` minore di n se e solo il determinante di A = 0. Teorema di Binet. Esempi.
Matrice associata ad un'applicazione lineare T:V-->W una volta fissata una base in partenza ed una base in arrivo.
Referenze per il 13 Dicembre: per la definizione di determinante e le sue proprieta` consultare Sernesi, Definizione 6.1 e Teorema 6.2,
soprattutto (2) (4) (5), che corrispondo ad (A) (B) (C) (D) di [A-dF]. Per lo sviluppo di Laplace: Proposizione 6.9 in Sernesi.
Per il determinante di una matrice triangolare: Osservazione 6.14 (1) in Sernesi. Passare ora ad [A-dF] e leggere sezione 9.1, soprattutto Proposizione 9.1 e Osservazione 9.2.
Poi Proposizione 9.2, Corollario 9.2 e Corollario 9.3. Esempio 9.6 in [A-dF]. Infine Teorema 9.9. in [A-dF]
Per le pagine rilevanti in Sernesi cliccate qui.
Per la matrice associata ad un'applicazione lineare clicccate qui.
Esercizi. Svolgere gli esercizi nel foglio del 13 Dicembre

DODICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 18 Dicembre. Ripasso. Formula per la matrice di una composizione. Cambiamento di base.
Matrici simili. Autovalori ed autovettori. Operatori diagonalizzabili. Polinomio caratteristico.
Molteplicita` algebrica e geometrica di un autovalore.
Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzabilita`.
Referenze.
Per la formula per la matrice associata ad una composizione e per la matrice del cambiamento di base clicccate qui.
Per alune informazioni sui polinomi e le loro radici clicccate qui.
Per autovalori ed autovettori: def. 13.1; oss. 13.1; esempi 13.1, 13.2, 13.3, 13.4; 13.5; Prop. 13.1, Cor. 13.2 (1) (2);
Teo. 13.3 (dimostrazione solo di (1) e (3)); def. 13.4, def. 13.5, def. 13.6; def. 13.7; Prop. 13.8 (solo enunciato);
enunciato Teo. 13.9.
Mercoledi' 20 Dicembre, 12-->14: esercitazione in classe.
Testo dell'esercitazione scritta.
Mercoledi' 20 Dicembre: ripasso su autovalori ed autovettori. Autovalori associati ad autovalori distinti sono lin. indipendenti (con dimostrazione)
La molteplicita` geometrica di un autovalore e` minore uguale alla sua molteplicita` algebrica.
Soluzione dettagliata del compito dato la mattina.
Soluzione dell'esercitazione scritta data la mattina.
Venerdi' 22 Dicembre, ultima lezione del corso (Viaggi). Dimostrazioni relative al materiale visto Mercoledi' 20. Esercizi su matrice associata, autovalori ed autovettori.
Esercizi proposti il 22/12.
Soluzione degli esercizi proposti il 22/12.

Programma d'esame.

Esame di prova.
Soluzioni esame di prova:
per l'esercizio 2 cliccate qui
per l'esercizio 3 e per l'esercizio 4 cliccate qui
per l'esercizio 5 cliccate qui.

Esame del 9/1/24.
Soluzioni per l'esame del 9/1/24.

Prossimi appuntamenti:
Appello straordinario l'8 Aprile 2024.
Attenzione: occorre soddisfare precisi requisiti per poter partecipare a questo appello (fuoricorso, studente lavoratore etc..).
Per ulteriori informazioni cliccate qui