Fogli settimanali di esercizi: foglio 1 / soluzioni (versione corretta), foglio 2 / soluzioni, foglio 3 / soluzioni, foglio 4 / soluzioni, foglio 5 / soluzioni (versione corretta), foglio 6 / soluzioni (versione corretta), foglio 7 / soluzioni, foglio 8 / soluzioni, foglio 9 / soluzioni, foglio 10 / soluzioni (versione corretta), foglio 11 / soluzioni, foglio 12 / soluzioni
Fogli di esercizi di tutoraggio: foglio 1
Test di autovalutazione: test n.1 (31.10.2018)
Secondo test di autovalutazione: test n.2 (5.12.2018) / soluzioni
Testi di esami scritti passati:
Diario delle lezioni:
24.9.2018. Richiami su insiemi e numeri. L'insieme Rn delle n-uple di numeri reali. Equazioni lineari in una e in più variabili: esistenza delle soluzioni (nessuna, una, oppure infinite).
25.9.2018. Sistemi di equazioni lineari in più variabili. Matrice completa e matrice dei coefficienti di un sistema lineare. Definizione di matrice a scalini, esempi.
26.9.2018. Risoluzione di sistemi lineari a scalini. Operazioni elementari di riga. Algoritmo di Gauß per ridurre una matrice qualsiasi ad una matrice a scalini.
27.9.2018. Matrici. Matrice trasposta. Somma di matrici, prodotto di una matrice per uno scalare. Proprietà ed esempi. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Definizione del prodotto fra matrici.
2.10.2018. Proprietà del prodotto fra matrici: associatività, distributività. Il prodotto fra matrici in generale non è commutativo. Matrici triangolari superiori e inferiori, matrici diagonali. Matrice identità e matrici invertibili, esempi. Determinante di una matrice 2x2, formula di Binet, teorema: una matrice 2x2 è invertibile se e solo se il determinante è non nullo. Formula della matrice inversa di una matrice invertibile 2x2.
3.10.2018. Forma matriciale di un sistema, teorema di Cramer nel caso 2x2. Determinante di matrici quadrate di dimensioni qualsiasi. Formula del determinante di una matrice 3x3. Sviluppo del determinante secondo una riga qualsiasi e secondo una colonna qualsiasi, teorema di Laplace. Proprietà del determinante, formula di Binet. Determinante e algoritmo di Gauß: comportamento del determinante per operazioni elementari di riga. Invertibilità di matrici quadrate, teorema: una matrice quadrata è invertibile se e solo se il determinante è non nullo. Formula della matrice inversa di una matrice quadrata invertibile.
4.10.2018. Dimostrazione della formula della matrice inversa. Unicità dell'inversa e altre proprietà. Inversa di un prodotto e determinante dell'inversa. Definizione di rango di una matrice (non necessariamente quadrata), esempi.
8.10.2018. Teorema degli orlati. Calcolare il rango con l'algoritmo di Gauß: il rango di una matrice a scalini è uguale al numero di pivot, teorema dell'invarianza del rango per operazioni elementari di riga. Esempi. Dimostrazione per le prime due operazioni elementari.
9.10.2018.Fine della dimostrazione dell'invarianza del rango per operazioni elementari di riga. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei, teorema di Rouché-Capelli nel caso omogeneo. Sistema omogeneo associato ad un sistema qualsiasi, proprietà delle soluzioni. Definizione di combinazioni lineari, relazioni di dipendenza lineare, vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Esempi.
10.10.2018. Altri esempi di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Teorema: k vettori di R^n sono linearmente dipendenti se e solo se la matrice che li ha come colonne ha rango minore di k. Altri legami fra rango e dipendenza lineare. Proposizione: se k > n, allora k vettori di R^n sono linearmente dipendenti. Dimostrazione del teorema degli orlati. Introduzione sugli spazi vettoriali.
15.10.2018. Spazi vettoriali, esempi. Prime proprietà. Combinazioni lineari, vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Dati k vettori, essi sono liinearmente dipendenti se e solo se almeno uno è combinazione lineare degli altri.
16.10.2018. Generatori di uno spazio vettoriale e spazi vettoriali finitamente generati. Esempi di generatori. Definizione di base di uno spazio vettoriale, esempi di basi. Proposizione: due basi di uno spazio vettoriale fissato hanno lo stesso numero di elementi (con dimostrazione).
17.10.2018. Dati k vettori in uno spazio vettoriale di dimensione n, se sono generatori allora se ne possono (se necessario) eliminare alcuni fino ad ottenere una base. Se invece sono linearmente indipendenti, se ne possono (se necessario) aggiungere altri, fino ad ottenere una base. Corollario 1: nel primo caso k≥n, nel secondo caso k≤n. Corollario 2: in uno spazio vettoriale di dimensione n, se abbiamo n generatori allora formano una base, e se abbiamo n vettori linearmente indipendenti allora formano una base. Basi di R e di R^2.
18.10.2018. Basi di R^2, e interpretazione geometrica del determinante di una matrice 2x2 (area del parallelogramma a meno del segno). Basi di R^n e matrici nxn invertibili. Definizione di sottospazio vettoriale, esempi. L'insieme delle soluzioni Sol(S) di un sistema lineare omogeneo in n variabili è un sottospazio vettoriale di R^n. Dati v_1,...,v_k vettori, definizione del sottospazio L[v_1,...,v_k] generato da essi. Proposizione: L[v_1,...,v_k] è contenuto in L[v_1,...,v_k,v], e sono uguali se e solo se v è combinazione lineare di v_1,...,v_k. Teorema: dati vettori v_1,...,v_k in R^n, la dimensione di L[v_1,...,v_k] è uguale al rango della matrice Mat(v_1,...,v_k) che li ha per colonne.
22.10.2018. Dimostrazione del teorema della dimensione e del rango. Sottospazi vettoriali di R^n: sistema omogeneo di equazioni lineari che definisce un sottospazio dato.
23.10.2018. Intersezione e somma di sottospazi. Tecniche per trovare generatori, oppure trovare equazioni, di somma e intersezione di sottospazi descritti mediante generatori o equazioni. Esempi.
24.10.2018. Formula di Graßmann (con dimostrazione), esempi e applicazioni. Somma diretta di sottospazi.
25.10.2018. Condizioni equivalenti a che due sottospazi siano in somma diretta. Spazi vettoriali di polinomi e di matrici, le matrici elementari sono una base dello spazio delle matrici. Coordinate di un vettore rispetto a una base, esempi.
5.11.2018. Matrice che permette di passare dalle coordinate di un vettore rispetto ad una base alle coordinate rispetto ad un'altra base. Applicazioni lineari: definizione, prime proprietà, esempi.
6.11.2018. Applicazioni lineari da Rn a Rm e loro matrici. Matrice di un'applicazione lineare fra due spazi vettoriali qualsiasi, date due basi. Applicazioni lineari assegnate su una base.
7.11.2018. Isomorfismi, definizione e proprietà. Isomorfismo V→Rn dato dall'associare a un vettore le sue coordinate rispetto a una base fissata. Ogni spazio vettoriale di dimensione n è quindi isomorfo a Rn. Correzione del test di autovalutazione.
8.11.2018. Immagine e nucleo di un'applicazione lineare: definizione ed esempi. Le immagini di generatori generano l'immagine dell'applicazione. Il nucleo &egrae; lo spazio vettoriale nullo se e solo se l'applicazione è iniettiva. Calcolo della dimensione dell'immagine e del nucleo. Formula della dimensione: dim(V)=dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) per un'applicazione lineare f:V→W.
12.11.2018. Endomorfismi di uno spazio vettoriale, esempi. Cambiamento di base per la matrice di un endomorfismo. Matrici simili. Definizione di autovettori e autovalori di un endomorfismo.
13.11.2018. Definizione degli autospazi di un endomorfismo. Come trovare l'autospazio relativo ad un certo autovalore, e dimensione dell'autospazio (molteplicità geometrica). Come trovare gli autovalori di un endomorfismo: il polinomio caratteristico e le sue radici. Matrici simili hanno stesso polinomio caratteristico.
14.11.2018. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori. Mettendo insieme basi di autospazi di un endomorfismo si ottengono vettori linearmente indipendenti; se si prendono tutti gli autospazi e l'endomorfismo è diagonalizzabile allora si ottiene una base. Criterio di diagonalizzabilità di un endomorfismo Rn→Rn: la somma delle dimensioni degli autospazi deve essere uguale a n.
15.11.2018. Molteplicità algebrica di un autovalore, è sempre maggiore o uguale alla molteplicità geometrica. Uso della molteplicità algebrica per dimostrare che un endomorfismo non è diagonalizzabile. Tecniche di calcolo ulteriori con operazioni di riga: trovare vettori da scartare fra vettori linearmente dipendenti usando l'algoritmo di Gauß, e invertire una matrice usando operazioni elementari di riga.
19.11.2018. Prodotto scalare e norma di vettori in Rn, prime proprietà ed esempi. Disuguaglianza di Schwarz (senza dimostrazione). Vettori due a due ortogonali (e non nulli) sono linearmente indipendenti. Basi ortogonali e ortonormali, calcolo delle coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale. Procedimento di Gram-Schmidt in R2.
20.11.2018. Proiezione di un vettore lungo un altro, e procedimento di Gram-Schmidt in Rn. Matrici ortogonali. La matrice di passaggio da una base ortonormale a una base ortonormale è una matrice ortogonale. Il sottospazio ortogonale a un vettore dato: definizione e sua dimensione.
21.11.2018. Interpretazione delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo come il sottospazio dei vettori ortogonali alle righe della matrice dei coefficienti del sistema. Complemento ortogonale di un sottospazio e sua dimensione. Esempi in R2 e R3.
22.11.2018. Formula della proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Matrice di un endomorfismo rispetto a una base ortonormale di Rn. Endomorfismi simmetrici, proprietà. Autovettori di un endomorfismo simmetrico sono ortogonali, se i loro autovalori sono diversi. Teorema spettrale: un endomorfismo simmetrico è diagonalizzabile, ed esiste una base ortonormale di autovettori.
26.11.2018. Forme bilineari: introduzione, definizione, esempi. Matrice canonica di una forma bilineare.
27.11.2018. Matrice di una forma bilineare rispetto ad una base qualsiasi, formula del cambiamento di base per forme bilineari, matrici congruenti. Forme bilineari degeneri, esistenza di vettori u0 e v0 tali che b(u0,v)=b(u,v0)=0 per ogni u,v in Rn. Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche.
28.11.2018. Diagonalizzazione di forme bilineari simmetriche: il Teorema di Sylvester. Esempi.
29.11.2018. Forme quadratiche, diagonalizzazione di forme quadratiche. Esempi. Equazioni di secondo grado in R2.
3.12.2018. Definizione di forme quadratiche definite positive, definite negative, semidefinite positive e semidefinite negative. Geometria affine in Rn: definizione di sottospazio affine, sottospazio vettoriale soggiacente a un sottospazio affine. Esempi. Rette, piani, iperpiani (affini). Le soluzioni di un sistema lineare non necessariamente omogeneo formano un sottospazio affine.
4.12.2018. Geometria affine in R2: equazioni cartesiane e parametriche di una retta, condizoni di parallelismo e ortogonalità per due rette, distanza fra due punti e fra un punto e una retta. Intermezzo di algebra lineare (risoluzione di un esercizio dato a lezione): trovare equazioni di U+W se U e W sono sottospazi vettoriali di Rn dati da sistemi lineari omogenei. Formula del prodotto scalare con il coseno dell'angolo fra i due vettori.
5.12.2018. Geometria affine in R3: equazioni cartesiane e parametriche di una retta, rette parallele e complanari. Equazione cartesiana di un piano in R3, ortogonalità di retta e piano. Complanarità di quattro punti in R3.
6.12.2018. Equazione del piano passante per tre punti in R3. Parallelismo di retta e piano, equazioni dei piani contenenti una retta data (con dimostrazione). Equazione del piano parallelo a due rette date non parallele. Esempi.
10.12.2018. Perpendicolarità di due piani in R3. Distanza fra due sottoinsiemi qualsiasi di Rn definita mediante l'estremo inferiore delle distanze. L'estremo inferiore è un minimo se i due sottoinsiemi sono sottospazi affini (senza dimostrazione). Esempi in R3: distanza punto-retta e punto-piano, distanza fra due rette e retta-piano, distanza fra due piani.
11.12.2018. Proiezione ortogonale di una retta su un piano in R3. Prodotto vettoriale in R3, proprietà, applicazioni. Applicazione composta e sua matrice canonica nel caso di applicazioni lineari. Isometrie: traslazioni e applicazioni (lineari) ortogonali. Rappresentazione di una traslazione in R2 come prodotto per una matrice 3x3.
12.12.2018. Composizioni di applicazioni ortogonali e traslazioni, loro matrici. Riferimenti affini in Rn, coordinate di un punto rispetto ad un riferimento affine, esempi. Cambiamento di coordinate da un sistema di riferimento affine ad un altro. Definizione di conica in R2 e quadrica in Rn, esempio della circonferenza.
17.12.2018. Coniche e cambi di coordinate affini, come ottenere una forma "standard" di una conica. Matrici delle coniche, invarianza (det(Q), tr(Q), det(A)). Cenni su quadriche in Rn; esempio: la superficie della sfera in R3.
18.12.2018. Esercizi e ripasso.
19.12.2018. Esercizi e ripasso.
20.12.2018. Esercizi e ripasso.