Fogli settimanali di esercizi:
Altri esercizi ed esempi:
Diario delle lezioni:
1) 26.9.2023. Introduzione informale su gruppi di Lie e algebre di Lie. Primi esempi. Cenni sulla mappa esponenziale e il legame fra gruppo di Lie e algebra di Lie nel caso di GL(n). Parte prima: gruppi di Lie di matrici. Definizione di gruppo topologico, esempi. Traslazione a sinistra e a destra per un elemento fissato, coniugio. Sottogruppi topologici, esempi di sottogruppi chiusi e aperti. Ogni sottogruppo aperto è anche chiuso.
2) 28.9.2023. Mappa esponenziale: considerazioni sul prodotto scalare (ed Hermitiano) standard fra matrici, definire una funzione su matrici usando serie di potenze. Le serie dell'esponenziale e del logaritmo. Parentesi di algebra lineare: le matrici diagonalizzabili sono dense in Mn(ℂ). Per la dimostrazione: ogni matrice in Mn(ℂ) è simile a una matrice triangolare.
3) 29.9.2023. Esempi vari. Teorema sull'esponenziale e il logaritmo di matrici (sono uno l'inverso dell'altro). L'esponenziale in Mn(ℝ) è di classe C∞. Definizione di sottogruppi a un parametro associati a matrici tramite l'esponenziale. Considerazioni sulle immagini dei sottogruppi a un parametro, esempio della rotazione sul piano ed esempio delle curve dense sul toro. Teorema: ogni omomorfismo continuo ℝ → GL(n,ℝ) è un sottogruppo a un parametro con la definizione tramite esponenziale.
4) 3.10.2023. Differenziale di exp in 0. Definizione di algebra di Lie, esempi. Definizione di sottoalgebre di Lie, ideali, omomorfismi. Esempi. Algebra di Lie di un sottogruppo chiuso di GL(n,ℝ). Esempi di gruppi e calcolo delle loro algebre di Lie: GL(n,ℝ), SL(n,ℝ), O(n,ℝ), SO(n,ℝ), Sp(n,ℝ). Lemma: espressione del prodotto degli esponenziali di due matrici come esponenziale di una matrice. Inizio della dimostrazione.
5) 5.10.2023. Fine della dimostrazione precedente. Espressione dell'esponenziale della somma e del bracket di due matrici come limiti. Teorema: Lie(G) è una sottoalgebra di Lie di gl(n,ℝ). Teorema sulle coordinate logaritmiche su sottogruppi chiusi di GL(n,ℝ), prima parte della dimostrazione.
6) 6.10.2023. Risoluzione degli esercizi del foglio 1. Fine della dimostrazione del teorema sulle coordinate logaritmiche. Lemma: ogni intorno dell'elemento neutro di un gruppo topologico connesso è un insieme di generatori. Corollario: exp(Lie(G)) genera Go. Richiami su varietà differenziabili e sottovarietà immerse.
7) 12.10.2023. Definizione di gruppo di Lie. Teorema: ogni sottogruppo chiuso di GL(n,ℝ) è una sottovarietà immersa e un gruppo di Lie. Considerazioni su GL(n,ℂ) identificato con un sottogruppo chiuso di GL(2n,ℝ). Lo spazio tangente a G in In coincide con Lie(G). Altri esempi di sottogruppi chiusi di GL(n,ℝ). Cenni sulla definizione dell'algebra di Lie di un gruppo di Lie in generale, tramite il bracket di campi vettoriali.
8) 13.10.2023. Risoluzione degli esercizi del foglio 2. Omomorfismi continui di gruppi di matrici, differenziale. Tali omomorfismi sono C∞. Rappresentazioni di gruppi e di algebre di Lie: varie definizioni basilari (moduli, sottomoduli, ecc.).
9) 17.10.2023. Osservazioni ed esempi di rappresentazioni. Sruttura naturale di G-modulo sul duale di un G-modulo dato. Rapporti fra G-moduli e Lie(G)-moduli, struttura di L-modulo sul duale di un L-modulo.
10) 19.10.2023. Teorema sui G-sottomoduli e i Lie(G)-sottomoduli di una rappresentazione continua di G. Rappresentazione aggiunta di G e di Lie(G). Formula per la rappresentazione aggiunta di Lie(G), e rappresentazione aggiunta di un'algebra di Lie qualsiasi. Teorema sul legame fra essere un sottogruppo normale ed avere un ideale come algebra di Lie. Teorema: G agisce tramite Ad con automorfismi di Lie(G), e un'algebra di Lie L agisce tramite ad con derivazioni di se stessa. Parte seconda: teoria generale delle algebre di Lie. Centro e algebra derivata di un'algebra di Lie, bracket di ideali.
11) 20.10.2023. Risoluzione degli esercizi del foglio 3. Esempi. Algebre di Lie semplici, esempio di sl(2). Quoziente di un'algebra di Lie per un ideale: struttura di algebra di Lie.
12) 24.10.2023 (1 ora). Normalizzatore e centralizzatore di un sottospazio vettoriale. Risultati standard su ideali e omomorfismi. Serie derivata e serie centrale discendente, algebre di Lie risolubili e nilpotenti, esempi.
13) 26.10.2023. Legami fra la risolubilità di un'algebra di Lie e quella di suoi quozienti e ideali. Somma di ideali risolubili, radicale di un'algebra di Lie. Algebre di Lie semisemplici. Legami fra la nilpotenza di un'algebra di Lie e quella di suoi quozienti e ideali. Elementi ad-nilpotenti, enunciato del Teorema di Engel e primo Teorema di "punto fisso" (senza dimostrazione).
14) 27.10.2023. Risoluzione degli esercizi del foglio 4. Dimostrazione dei due teoremi della lezione precedente. Corollario: se una sottoalgebra di Lie di gl(n) ha solo elementi nilpotenti è contenuta in bu(n) a meno di cambiare base. Secondo Teorema di "punto fisso": enunciato e inizio della dimostrazione.
15) 31.10.2023. Fine della dimostrazione del teorema precedente. Teorema di Lie. Corollario: L è risolubile se e solo se [L,L] è nilpotente. Parentesi di algebra lineare: autovettori generalizzati, Teorema di decomposizione di Fitting, decomposizione di Jordan-Chevalley (senza dimostrazione).
16) 2.11.2023. Dimostrazione della decomposizione di Jordan-Chevalley. Criterio di Cartan per sottoalgebre di gl(V).
17) 3.11.2023. Risoluzione degli esercizi del foglio 5. Criterio di Cartan per algebre di Lie qualsiasi. Definizione della forma di Killing, associatività, esempi. Teorema: L semisemplice se e solo se la forma di Killing è non degenere. Somma diretta di algebre di Lie.
18) 7.11.2023. Teorema: un'algebra di Lie è semisemplice se e solo se è somma diretta di algebre di Lie semplici, e la decomposizione è unica perché gli addendi sono gli ideali che sono algebre semplici. Corollario: ogni ideale di un'algebra di Lie semisemplice L è somma di alcuni degli addendi semplici del teorema, ogni quoziente di L è semisemplice, e L=[L,L]. Altre costruzioni di teoria delle rappresentazioni: prodotti tensoriali e Lemma di Schur. Forma bilineare associata a una rappresentazione fedele, proprietà.
19) 9.11.2023. Elemento di Casimir di una rappresentazione: definizione e indipendenza dalla base scelta. Lemma: l'elemento di Casimir centralizza l'immagine di L. Teorema di Weyl.
20) 10.11.2023 (1 ora). Risoluzione degli esercizi del foglio 6.
21) 14.11.2023. Completa riducibilità delle rappresentazioni continue dei gruppi compatti.
22) 16.11.2023. Osservazioni ed esempi preliminari sulla classificazione delle algebre di Lie semisemplici. Teorema: se L è semisemplice allora ad(L)=Der(L). Corollario: decomposizione di Jordan-Chevalley "astratta" nelle algebre di Lie semisemplici. Confronto fra decomposizione di Jordan-Chevalley "standard" in gl(n) e "astratta" in un'algebra di Lie semisemplice L, tramite una rappresentazione L→gl(n).
23) 17.11.2023. Risoluzione degli esercizi del foglio 7. Rappresentazioni di sl(2): pesi, comportamento degli h-autospazi rispetto all'azione degli elementi e,f. Studio degli sl(2)-moduli irriducibili, loro classificazione tramite il peso più alto. Corollario sugli h-pesi di un un sl(2)-modulo qualsiasi.
24) 21.11.2023. Sottoalgebre torali: definizione, esempi. Lemma: sono abeliane. Radici: definizione, esempi. Proposizione su prime proprietà delle radici e degli autospazi corrispondenti. Corollario: la forma di Killing ristretta a L0 è non degenere. Proposizione: la forma di Killing ristretta a H è non degenere. Corollario: L0=H. Esempio delle radici di sp(4).
25) 23.11.2023. Proposizione sulle radici e sull'esistenza di sottoalgebre isomorfe a sl(2). Proposizione sulla dimensione degli spazi di radice, multipli di radici che sono radici, eccetera.
26) 24.11.2023. Risoluzione degli esercizi del foglio 8. Esempio su L=sp(4): calcolo degli elementi tα, hα, valori della forma di Killing sulle radici. Lemma: data una base di H* fatta di elementi α1,...,αn di Φ, allora Φ è contenuto in Spanℚ{α1,...,αn}. Definizione del ℚ-spazio vettoriale Eℚ e del ℝ-spazio vettoriale E. Teorema: la forma di Killing induce una forma bilineare su Eℚ e anche su E, su quest'ultimo è un prodotto scalare.
27) 1.12.2023. Parte terza: sistemi di radici. Definizioni, esempi. Studio dei possibili angoli fra due radici e dei rapporti fra le lunghezze. Corollario (dei casi appena studiati): Φ intersecato lo span di due radici non proporzionali è uno dei quattro casi A1×A1, A2, B2, G2. Lemma: date due radici α e β non proporzionali, se (α,β) > 0 allora α-β è una radice, e se (α,β) < 0 allora α+β è una radice. Corollario sulle radici del tipo β+iα. Basi di un sistema di radici: definizione, esempi. Radici positive e base associata a un vettore regolare. Proposizione: Δ(γ) è una base per ogni vettore regolare γ. Proposizione: ogni base è del tipo Δ(γ) (senza dimostrazione). Corollario: ci sono tante camere di Weyl quante basi.
28) 5.12.2023. Dimostrazione della proposizione della lezione precedente. Gruppo di Weyl: definizione, esempi. Lemma: una qualsiasi riflessione semplice permuta le radici positive diverse dalla radice semplice associata. Lemma sulle riflessioni semplici applicate all'elemento δ. Lemma: per ogni radice β esiste una base che contiene β. Teorema: W è generato dalle riflessioni semplici e agisce in modo semplicemente transitivo sull'insieme delle basi. Esempio: il gruppo di Weyl di sl(3). Definizione di lunghezza di un elemento di W. Teorema: la lunghezza di w è il numero di radici positive che diventano negative applicando w, e Lemma di "cancellazione" (solo enunciati).
29) 7.12.2023. Risoluzione degli esercizi del foglio 9. Dimostrazione del teorema sulla lunghezza e del lemma di cancellazione. Corollario: W agisce in modo semplicemente transitivo sull'insieme delle basi. Proposizione: la chiusura di una camera di Weyl è un dominio fondamentale per l'azione di W su E.
30) 19.12.2023. Classificazione dei sistemi di radici. Matrice di Cartan, grafo di Coxeter, diagramma di Dynkin di un sistema di radici. Esempi. Diagrammi di tipo An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8, F4, G2. Isomorfismo di sistemi di radici. Esempi. Proposizione: il diagramma di Dynkin determina il sistema di radici a meno di isomorfismo. Sistemi di radici irriducibili e diagrammi di Dynkin connessi. Teorema: la lista An,..., G2 è la lista completa dei diagrammi di Dynkin connessi (solo enunciato).
31) 21.12.2023. Dimostrazione del teorema precedente. Esistenza e unicità di un'algebra di Lie semisemplice con un dato sistema di radici: solo enunciato. Relazioni (S1), (S2), (S3), (S+i,j) e (S-i,j) che valgono in un'algebra di Lie semisemplice. Enunciato del Teorema di Serre.
32) 22.12.2023. Costruzione dell'algebra di Lie libera in un certo numero di generatori, proprietà universale. Per la dimostrazione del Teorema di Serre: costruzione dell'algebra L0 con le sole relazioni (S1), (S2), (S3), definizione di una rappresentazione dell'algebra di Lie libera L^. Proposizione: la rappresentazione discende a L0. Teorema sulla struttura dell'algebra di Lie L0 = Y⊕H⊕X.