23.9.2019. Richiami su insiemi e numeri. L'insieme Rn delle n-uple di numeri reali. Equazioni lineari in una e in due variabili: esistenza delle soluzioni (nessuna, una, oppure infinite). Esempi
24.9.2019. Equazioni lineari in più variabili. Sistemi di equazioni lineari. Matrici. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema. Definizione di matrice a scalini, esempi.
25.9.2018. Risoluzione di sistemi lineari a scalini. Operazioni elementari di riga. Algoritmo di Gauß per ridurre una matrice qualsiasi ad una matrice a scalini.
26.9.2018. Matrici. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare, prodotto di due matrici. Proprietà ed esempi.
30.9.2019. Matrice trasposta, matrici simmetriche e antisimmetriche. Matrici triangolari superiori e inferiori, matrici diagonali. Matrice identità e matrici invertibili, esempi. Determinante di una matrice 2x2, formula di Binet, teorema: una matrice 2x2 è invertibile se e solo se il determinante è non nullo. Formula della matrice inversa di una matrice invertibile 2x2.
1.10.2019. Forma matriciale di un sistema, Teorema di Cramer nel caso 2x2. Determinante di matrici quadrate nxn, formula del determinante 3x3. Teorema di Laplace: sviluppo del determinante per una riga o una colonna qualsiasi. Proprietà del determinante, formula di Binet. Effetto delle operazioni di riga sul determinante: prima operazione.
2.10.2019. Effetto delle operazioni di riga sul determinante: le altre due operazioni. Formula dell'inversa di una matrice nxn invertibile, esempi, verifica della formula.
3.10.2019. Una matrice nxn č invertibile se e solo se il determinante č non nullo. Definizione di rango di una matrice qualsiasi, esempi. Invarianza del rango per operazioni elementari di riga, dimostrazione. Enunciato del teorema degli orlati.
7.10.2019. Dimostrazione del teorema degli orlati. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei ed esistenza di soluzioni non nulle. Esempi. Definizione di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti di Rn.
8.10.2019. Esempi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti in Rn. Criterio per decidere se k vettori di Rn sono linearmente indipendenti, usando il rango della matrice che li ha per colonne. Caso k=n e caso k>n. Introduzione su spazi vettoriali, definizione formale di spazio vettoriale. Prime proprietà.
9.10.2019. Altre proprietà generali degli spazi vettoriali. Combinazioni lineari, vettori linearmente dipendenti e indipendenti in uno spazio vettoriale qualsiasi. Proposizione: dati k vettori in uno spazio vettoriale, essi sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi (o più d'uno) può essere scritto come combinazione lineare degli altri. Esempi. Definizione di generatori di uno spazio vettoriale. Esempi.
10.10.2019. Si può scartare un vettore da un insieme di generatori se è combinazione lineare degli altri. Spazi vettoriali finitamente generati. Base di uno spazio vettoriale, esempi. Teorema: due basi di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale.
14.10.2019. Da un insieme di generatori di uno spazio vettoriale se ne può scartare qualcuno fino ad ottenere una base. Ad un insieme di vettori linearmente indipendenti se ne può aggiungere qualcuno fino ad ottenere una base. Proposizione: Sia V spazio vettoriale di dimensione n, e si considerino vettori v1,..., vk. (1) Se k>n allora v1,..., vk non sono linearmente indipendenti; (2) se n>k allora v1,..., vk non sono generatori di V; (3) se k=n e v1,..., vk sono generatori di V, allora (v1,..., vk) è una base di V; (4) se k=n e v1,..., vk sono linearmente indipendenti, allora (v1,..., vk) è una base di V. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Esempi di basi di Rn.
15.10.2019. La dimensione di uno spazio vettoriale è il minimo numero di generatori, e il massimo numero di vettori linearmente indipendenti. Basi di Rn, condizione per essere una base espressa in termini dell'invertibilità della matrice che ha i vettori per colonna. Scrivere le coordinate di un vettore rispetto a una base qualsiasi di Rn. Sottospazi vettoriali: definizione, esempi. L'insieme Sol(S) delle soluzioni di un sistema di equazioni omogeneo è un sottospazio vettoriale. Definizione di sottospazio vettoriale generato da vettori v1,..., vk. Relazione fra L[v1,..., vk] e L[v1,..., vk,vk+1].
16.10.2019. La dimensione di un sottospazio W di V è al più dim(V), e dim(W)=dim(V) se e solo se W=V. La dimensione di L[v1,..., vk] è uguale al rango della matrice Mat(v1,..., vk). Metodi per estrarre una base di L[v1,..., vk] dai generatori v1,..., vk. Dimensione dello spazio Sol(S) delle soluzioni di un sistema S di equazioni lineari omogenee, versione finale del Teorema di Rouché-Capelli per sistemi omogenei.
17.10.2019. Equazioni cartesiane di un sottospazio di Rn. Intersezione di sottospazi, trovare generatori ed equazioni cartesiane. Definizione di somma di sottospazi.
21.10.2019. Generatori della somma di due sottospazi, esempi. Trovare equazioni della somma U+W, date equazioni di U ed equazioni di W. Formula di Graßmann con dimostrazione. Definizione di somma diretta di sottospazi.
22.10.2019. Condizioni equivalenti a che due sottospazi siano in somma diretta. Spazi vettoriali di polinomi e matrici, usare le coordinate rispetto a una base, esempi.
23.10.2019. Richiami su applicazioni fra insiemi. Applicazioni lineari fra due spazi vettoriali: definizione, esempi, prime proprietà. Applicazioni lineari da Rn a Rm, matrice canonica di una tale applicazione, esempi.
24.10.2019. Applicazione lineare nulla Rn → Rm e applicazione identità Rn → Rn, loro matrici. Matrice dell'applicazione composta di due applicazioni lineari f:Rn → Rm e g:Rm → Rk. Assegnare le immagini dei vettori di una base di V determina univocamente un'applicazione lineare f: V → W, esempi. Matrice di un'applicazione lineare f:V → W rispetto a due basi (una di V e una di W). Definizione di nucleo di un'applicazione lineare. Il nucleo è un sottospazio vettoriale del dominio.
31.10.2019. Il nucleo ha dimensione 0 se e solo se l'applicazione è iniettiva. La dimensione del nucleo è uguale a n-rg(A), dove n è la dimensione del dominio e A è la matrice dell'applicazione (rispetto a una scelta qualsiasi di basi per il dominio e per il codominio). Esempi; se f:Rn→Rm è è lineare e n>m allora f non è iniettiva. Se f è iniettiva e v1,..., vk sono vettori linearmente indipendenti del dominio, allora f(v1),..., f(vk) sono linearmente indipendenti. Immagine di un'applicazione lineare: è un sottospazio vettoriale. Generatori dell'immagine; la dimensione dell'immagine è uguale a rg(A). Esempi; se f:Rn→Rm è è lineare e m>n allora f non è suriettiva. Teorema della dimensione.
5.11.2019. Esempi di applicazioni lineari fra spazi vettoriali che non sono Rn (es. sottospazi di Rn, spazi di polinomi, spazi di matrici), e loro matrici rispetto a basi del dominio e codominio. Isomorfismi: definizione, proprietà, esempi. L'isomorfismo fra uno spazio vettoriale ed Rn dato dall'associare ad ogni vettore le sue coordinate rispetto a una base.
6.11.2019. Cambiamento di coordinate di un vettore rispetto a due basi diverse, matrice del cambiamento di base. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: definizione, esempi. Relazione fra le matrici di un endomorfismo rispetto a due basi diverse, matrici simili, esempi. Definizione di endomorfismi e matrici diagonalizzabili.
7.11.2019. Autovettori e autovalori di un endomorfismo: definizioni ed esempi. Calcolo degli autovalori con il polinomio caratteristico, richiami sugli zeri di polinomi a coefficienti interi e sulla divisione fra polinomi. Matrici simili hanno stesso polinomio caratteristico. Calcolo degli autovettori. Definizione di autospazio, definizione di molteplicità geometria e algebrica di un autovalore.
11.11.2019. L'unione delle basi di tutti gli autospazi di un endomorfismo è un insieme linearmente indipendente. Primo criterio di diagonalizzabilità di un endomorfismo, esempi. Se un endomorfismo di V ha n autovalori distinti (n=dim(V)) allora è diagonalizzabile. La molteplicità algebrica di un autovalore è sempre maggiore o uguale alla molteplicità geometrica. Secondo criterio di diagonalizzabilità, esempi.
12.11.2019. Prodotto scalare in Rn, esempi, prime proprietà. Vettori ortogonali e norma di un vettore. Disuguaglianza di Schwarz. Angolo fra due vettori non nulli. Vettori non nulli e due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Basi ortogonali e ortonormali, esempi. Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale. Proiezione ortogonale di un vettore lungo un altro.
13.11.2019. Procedimento di Gram-Schmidt, esempi. Matrici ortogonali e relazione con le basi ortonormali. Complemento ortogonale di un vettore e di un insieme di vettori. Entrate dei vettori come coefficienti delle equazioni che definiscono il complemento ortogonale.
14.11.2019. Complemento ortogonale di un sottoinsieme finito di vettori, sua dimensione. Complemento ortogonale di un sottospazio, somma diretta U⊕U⊥=Rn. Definizione di proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio, formula della proiezione (data una base ortogonale del sottospazio). Endomorfismi simmetrici: definizione, esempi, la formula ⟨f(v),w⟩ = ⟨v,f(w)⟩. Due autovettori di un endomorfismo simmetrico sono ortogonali se i loro autovalori sono diversi.
18.11.2019. Teorema spettrale: se f è un endomorfismo simmetrico di Rn, allora esiste una base ortonormale di Rn fatta di autovettori di f. Tecnica per trovare una tale base. Forme bilineari: introduzione, definizione, esempi. Definizione della matrice canonica di una forma bilineare, e della matrice rispetto a una base qualsiasi.
19.11.2019. Cambio di base per forme bilineari, definizione di matrici congruenti. Forme bilineari non degeneri. Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche. Diagonalizzazione di forme bilineari simmetriche: matrice diagonale con entrate sulla diagonale uguali a 1, -1, 0.
20.11.2019. Enunciato del Teorema di Sylvester (dimostrato il 19.11.2019). Esempi. Interpretazione alternativa dei numeri p e q della segnatura, loro indipendenza dalla base scelta. Definizione di forme bilineari simmetriche definite/semidefinite positive/negative. Forme quadratiche: definizione, esempi. Data una forma quadratica, espressa come un polinomio omogeneo di grado 2, scrivere la matrice della forma bilineare simmetrica corrispondente.
21.11.2019. Formula di polarizzazione: ricavare la forma bilineare, data la forma quadratica associata. Diagonalizzazione di forme quadratiche, esempi. Geometria affine in Rn: definizione di sottospazio affine di Rn e del sottospazio vettoriale soggiacente. L'insieme delle soluzioni di un sistema compatibile di equazioni lineari (non necessariamente omogeneo) è un sottospazio affine.
25.11.2019. Sistemi di riferimento affini, coordinate di un punto, cambio di coordinate. Geometria affine nel piano R2: sottospazi affini. Rette affini in R2: equazioni cartesiane e parametriche. Definizione di rette affini parallele e di rette affini ortogonali.
26.11.2019. Famiglie di rette affini in R2: parallele a una retta data, o contenenti un punto dato. Angolo fra due rette, trovare una retta che forma un angolo dato con un'altra. Distanza fra due punti e fra un punto e una retta affine in R2. Geometria affine in R3: equazioni parametriche delle rette affini, intersezione di due rette.
27.11.2019. Piani affini in R3, equazioni cartesiane. Equazione del piano contenente tre punti dati, non allineati. Prodotto vettoriale in R3. Ortogonalità e parallelismo di piani, esempi. Famiglia di piani contenenti una retta data.
28.11.2019. Famiglia di piani paralleli a un piano dato, famiglia di piani contenenti un punto dato. Ortogonalità e parallelismo fra retta e piano. Distanza fra un punto e un piano, fra un punto e una retta in R3, fra due rette in R3. Proiezione ortogonale di un punto su un piano e su una retta, proiezione ortogonale di una retta su un piano. Cerchi in R2 e sfere in R3: loro equazioni. Rette tangenti a cerchi e sfere, piani tangenti a sfere. Equazione dell'ellisse in R2.
2.12.2019. Equazione dell'iperbole e della parabola in R2. Isometrie di R2, esempi: applicazioni lineari date da matrici ortogonali (es. rotazioni e riflessioni rispetto a una retta), traslazioni. Modo di rappresentare una traslazione mediante moltiplicazione per una matrice 3x3 (aggiungengo ai punti di R2 una terza coordinata uguale a 1).
3.12.2019. Cambiamento di coordinate rispetto a un sistema di riferimento affine in R2: espressione mediante moltiplicazione per una matrice 3x3. Definizione di conica in R2, esempi. Matrice A della conica e parte principale Q. Come cambiano A e Q dopo un cambio di coordinate. Forme speciali.
4.12.2019. Riduzione a forma canonica di una conica: procedimento generale trovando il cambiamento di sistema di riferimento affine, esempi. Utilizzo degli invarianti det(A), det(Q), tr(Q), rg(Q) per determinare la forma canonica senza determinare il nuovo sistema di riferimento affine.
5.12.2019. Altri esempi di riduzione in forma canonica di coniche, senza calcolare il cambiamento di coordinate. Esercizi, complementi e ripasso: sistemi di equazioni lineari dipendenti da parametri, trovare l'inversa di una matrice invertibile con operazioni elementari di riga.
9.12.2019. Esercizi e ripasso. Operazioni elementari di riga come moltiplicazione a sinistra per matrici quadrate invertibili. Formule (U+W)⊥ = U⊥∩W⊥ e (U∩W)⊥ = U⊥+W⊥. Come usarle per trovare equazioni di U+W, date equazioni di U ed equazioni di W. Esempi. Ripasso sulla definizione delle proiezioni in algebra lineare e in geometria affine.
10.12.2019. Esercizi e ripasso. Matrice canonica della proiezione su un vettore dato in Rn, esempi. Equazioni di cerchi e sfere contenenti punti dati. Ogni isometria di R2 si può scrivere come moltiplicazione per una matrice 3x3 (senza dimostrazione). Altri esercizi.
11.12.2019. Test di autovalutazione svolto in aula.
12.12.2019. Esercizi e ripasso.
17.12.2019. Esercizi e ripasso.