Scheda insegnamento

Algebra II

anno accademico:	2013/2014
docente:	Valentina Barucci
corso di laurea:	Matematica - DM 270/04 (triennale), II anno
tipo di attività formativa:	caratterizzante
crediti formativi:	9 (72 ore di lezione)
raggruppamento disciplinare:	MAT/02 Algebra
lingua di insegnamento:	italiano
periodo:	II sem (03/03/2014 - 13/06/2014)

Aula ed orario di lezione

Frequenza: consigliata

Obiettivi del corso: Il corso descrive le proprietà elementari dei gruppi finiti e delle loro azioni su insiemi e la teoria delle estensioni algebriche di campi. In particolare:

Principali teoremi elementari di per i gruppi finiti, inclusi i teoremi di Sylow;
Elementi algebrici e trascendenti;
Classificazione dei campi finiti;
Corrispondenza di Galois;
Costruibilità con riga e compasso;
Risolubilità delle equazioni polinomiali.

Programma di massima del corso:

Gruppi
Gruppi, omomorfismi, sottogruppi, classi laterali. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali, gruppi quoziente. Teoremi di omomorfismo e isomorfismo Gruppi liberi. Presentazione di un gruppo per generatori e relazioni. Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. Classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati.
Azioni di gruppi e simmetrie
Azione di un gruppo su un insieme. Teorema di Cayley. Teorema di Cauchy. La relazione di coniugio. Elementi coniugati nel gruppo simmetrico. L'equazione delle classi, e la sua applicazione allo studio dei p-gruppi. Gruppi di simmetrie di figure piane: gruppi diedrali.
Gruppi finiti e teoremi di Sylow
Gruppi semplici e gruppi risolubili. Semplicità del gruppo alterno. Teoremi di Sylow. Esempi di applicazione dei teoremi di Sylow allo studio della struttura di alcuni gruppi finiti. PSL(n, Fq).
Teoria dei campi
Richiami di teoria degli anelli. Estensioni di campo. Elementi algebrici e trascendenti. Estensioni finite e algebriche. Grado di un'estensione. Campi algebricamente chiusi. Il lemma di Zorn e l'esistenza della chiusura algebrica di un campo. Classificazione dei campi finiti. Morfismo di Frobenius. Estensioni quadratiche di Q. Estensioni ciclotomiche. Teorema di reciprocità quadratica.
Teoria di Galois
Polinomi simmetrici, risultante e discriminante. Estensioni normali, estensioni separabili. Gruppo di Galois di un'estensione. Corrispondenza di Galois. Costruzioni con riga e compasso: trisezione dell'angolo, quadratura del cerchio, rettificazione della circonferenza, duplicazione del cubo. Costruzione dell'n-agono regolare. Il teorema di Abel sulla risolubilità per radicali delle equazioni algebriche.

Programma completo del corso: Diario delle lezioni

Testo consigliato:
Michael Artin, "Algebra", Boringhieri, 1997.
Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Zanichelli 1996.
G. Campanella, "Appunti di Algebra 2" ed esercizi, disponibile in rete, http://campanelgiu.altervista.org/

Modalità di erogazione: convenzionale

Esercitazioni:

Testi di passate prove d'esame:

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:
Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di ricordare i concetti e le tecniche principali del corso. Conosceranno esempi elementari di gruppi finiti, tra i quali i gruppi di simmetrie di figure geometriche. Avranno compreso la trattabilità di alcuni problemi classici della matematica e geometria attraverso il linguaggio dell'algebra e della teoria dei campi.

Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:
Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di utilizzare il linguaggio delle strutture algebriche classiche (gruppi, anelli, campi) nella descrizione e nello studio di problemi. In particolare svolgere esercizi sui gruppi finiti, le estensioni di campi, il campo di spezzamento di un polinomio e sapranno calcolare il gruppo di Galois di alcune classi di polinomi.

Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%

Dati statistici relativi ai risultati degli esami