Laurea triennale in Matematica.

Orario: Lunedi' 11-13; Martedi' 8.45-11, Giovedi' 11-13.15. Aula I.
Orario Ricevimento: Giovedi' dalle 14.30 alle 15.30 oppure per appuntamento.
Testi Consigliati:
[S] Edoardo Sernesi: Geometria 1 (Seconda Edizione). Bollati Boringhieri.
[A] Marco Abate: Geometria. McGraw Hill Libri Italia. 1999
[FFP] Elisabetta Fortuna, Roberto Frigerio, Rita Pardini: Geometria Proiettiva. Problemi risolti e richiami di teoria. Springer 2011.

Esoneri ed esami:
L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale.
Per sostenere l'esame è necessario iscriversi all'appello via INFOSTUD.
Durante il semestre si terranno due prove di esonero.
La prima si svolgera` il 16 di Aprile 2018; la seconda il 7 di Giugno 2018
Accede alla seconda prova di esonero lo studente che ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 14 nel primo esonero.
Si e` ammessi all'orale se si ha una media agli esoneri maggiore o uguale a 16 ed entrambi i voti maggiori o uguali a 14.
Uno studente esonerato puo` sostenere l'orale dopo il primo scritto di Luglio oppure dopo il secondo scritto di Luglio.
Per gli esami scritti: si e` ammessi all'orale se si ha un voto allo scritto maggiore o uguale a 16.
E` possibile dare il primo scritto di un appello e poi dare l'orale dopo il secondo scritto dello stesso appello.
Gli esonerati possono partecipare agli scritti della sessione estiva; se consegnano lo scritto annullano l'esonero.
Analogamente, chi ha superato il primo scritto di un appello puo' partecipare al secondo scritto ma se consegna l'elaborato
annulla il voto che ha ottenuto al primo scritto.
Gli esoneri e gli scritti della sessione di Luglio scadono il 31 Luglio.
Gli scritti della sessione di Settembre scadono il 30 Settembre.

Programma di massima del corso:
1. Complementi di Algebra Lineare (teoremi spettrali, forme bilineari simmetriche, forme hermitiane, etc..)
2. Spazi affini e Spazi euclidei.
3. Affinita` e Isometrie.
4. Geometria proiettiva: spazi proiettivi, sottospazi, proiettivita`, invarianti proiettivi.
5. Classificazione proiettiva, affine ed euclidea delle coniche.
6. Curve algebriche.
7. La classificazione delle cubiche proiettive (tempo permettendo).

PRIMA SETTIMANA.
Lezione del 22/2/18: spazio duale; base duale; isomorfismo definito da una base; biduale; isomorfismo canonico.
Esercizi: risolvere il primo compito a casa.
Referenze: [S], sezione 11, pp 143,144, 145 (prima meta`), 146.
E` importante capire bene le notazioni del Sernesi:
a tale proposito potete consultare il seguente documento Appunti sulle notazioni di Sernesi.

SECONDA SETTIMANA.
Lezione del 26/2/18: sospensione attivita` didattica causa neve.
Lezione del 27/2/18: sospensione attivita` didattica causa neve.
Lezione del 1/3/17: Forme bilineari. Simmetriche e antisimmetriche. Matrice associata ad una forma bilineare in una base.
Matrici congruenti. Rango di una forma bilineare.
Esercizi: risolvere il secondo compito a casa.
Referenze: [S], da p. 208 a p. 213, fino a Prop. 15.6 esclusa; in alternativa le seguenti note Alcune osservazioni sulle forme bilineari

TERZA SETTIMANA.
Lezione del 5/3/18: sospensione attivita` didattica causa elezioni.
Lezione del 6/3/18: Vettori non-isotropi. Teorema di diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche.
Lezione del 8/3/18: caso complesso e caso reale del teorema di diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche;
teorema di Sylvester. Indice di positivita` e negativita. Forme (semi)definite positive/negative e indefinite. Loro forma di Sylvester.
Forme quadratiche.
Esercizi: risolvere il Foglio di Esercizi n. 1.
Consegna del Foglio 1: Mercoledi' 14 Marzo alle 14 in Aula IV in concomitanza con la prima esercitazione scritta con tutor.
Referenze: [S], sezione 15, pp 214 -> 217 e poi sezione 16, fino al Teo. 16. 5 (solo enunciato per questo teorema).

QUARTA SETTIMANA.
Lezione del 12/3/18: soluzione in classe del Primo e del Secondo compito a casa.
Lezione del 13/3/18: prodotti scalari; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; norma associata ad un prodotto scalare;
disuguaglianza triangolare. Basi ortonormali. Matrici ortogonali. Metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Ortogonale di un sottospazio e decomposizione di V in somma diretta di un sottospazio e del suo ortogonale.
Mercoledi' 14/3/18: Esercitazione con tutor n. 1.
Lezione del 15/3/18: operatori ortogonali e loro equivalenti caratterizzazioni. Nozione di gruppo e sottogruppo.
Esempi: GL(V), O(V), GL(n,R),SL(n,R), O(n), SO(n).
Isomorfismo fra GL(V) e GL(n,R) e fra O(V) e O(n).
Esercizi: risolvere il terzo compito a casa.
Referenze: [S] p. 193-194 + Def. 14.3 e le 10 righe seguenti questa definizione. Sezione 17, fino a p. 238, riga 4.
(Enunciato e dimostrazione del caso generale del Teorema di Gram-Schmidt facoltativa.) Sezione 20: fino a Prop. 20.3 esclusa.

QUINTA SETTIMANA.
Lezione del 19/3/18: soluzione in classe del terzo compito a casa. Nozione di angolo fra due vettori in uno spazio
vettoriale euclideo. Autovalori ed autovettori di un operatore ortogonale.
Lezione del 20/3/18: operatore aggiunto; teorema spettrale.
Lezione del 22/3/18: dal teorema spettrale per operatori simmetrici al teorema di Sylvester per forme bilineari simmetriche.
Definizione di forma hermitiana h su uno spazio vettoriale complesso.
Matrice associata a h e sua dipendenza dalla base. Forma hermitiana (semi)definita positiva/negativa, indefinita.
Teorema di Sylvester per forme hermitiane. Prodotto scalare hermitiano. Cauchy-Schwarz (solo enunciato). Cambiamenti di base ortonormale.
Operatori unitari ed operatori hermitiani. Teorema spettrale per operatori hermitiani. Dal Teorema spettrale per operatori hermitiani
al teorema di Sylvester per forme hermitiane.
Esercizi: risolvere il Foglio di Esercizi n. 2.
Consegna del Foglio n. 2: Mercoledi' 28 Marzo alle 14 in Aula IV in concomitanza con la seconda esercitazione scritta con tutor.
Per i Fogli di esercizi da consegnare siete invitati a creare gruppi di lavoro di 3 max 4 persone.
Referenze: [S] pag. 236 per la nozione di angolo; poi Prop. 20.3.
Per il Teorema Spettrale consultate le Note sul Teorema Spettrale
Per il collegamento fra Teorema Spettrale e forme bilineari simmetriche consultate:
Teorema Spettrale e diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche reali
Per la teoria della forme hermitiane: [S] , sezione 23, da p. 291 a p. 297 inclusa, con l'eccezione del Teorema 23.8 e del Corollario.

SESTA SETTIMANA.
Lezione del 26/3/18: operatori unitari in spazi hermitiani; teorema spettrale. Esercizi.
Lezione del 27/3/18: spazi affini, esempi, riferimenti affini, sottospazi affini, equazioni parametriche e cartesiane di sottospzi affini.
Mercoledi' 28/3/18: Esercitazione con tutor n. 2.
Lezione del 29/3/18: sospensione attivita` didattica (vacanze di Pasqua).
Referenze: [S] Sezione 7, da p. 93 a p. 97, escluso il punto 4. p. 98 Prop. 7.6.
Sezione 8: da p. 103 a p. 106 fino a Def. 8.3 esclusa.

SETTIMA SETTIMANA.
Lezione del 2/4/18: vacanza (Lunedi' di Pasqua)
Lezione del 3/4/18: sospensione attivita` didattica (vacanze di Pasqua)
Lezione del 5/4/18: ripasso sui sottospazi affini. Parallelismo di due sottospazi affini. Sottospazi sghmebi. Rette e Piani di uno spazio affine di dimensione 3.
Referenze: [S] Sezione 8: Def. 8.3, Def 8.7. Sezione 10: fino alla Prop. 10.1 esclusa.
Inoltre: enunciato Teorema 5.5. e Corollario 6.6 ed enunciati dell' osservazione 6.14.2
Esercizi: risolvere il Foglio di Esercizi n. 3.
Consegna del Foglio n. 3: Mercoledi' 11 Aprile alle 14 in Aula IV in concomitanza con la terza esercitazione scritta con tutor
Per i Fogli di esercizi da consegnare siete invitati a creare gruppi di lavoro di 3 max 4 persone.

OTTAVA SETTIMANA.
Lezione del 9/4/18: geometria in uno spazio affine tridimensionale.
Lezione del 10/4/18: continua geometria in uno spazio affine ridimensionale. Spazi euclidei. Prodotto vettoriale.
Mercoledi' 11/4/18: Esercitazione con tutor n. 3.
Lezione del 12/4/18: Esercizi di preparazione all'esonero. Dimensione dell'intersezione di due sottospazi affini. Proiezioni affini.
Referenze: [S]: tutta la sezione 10. Poi, sezione 19, p. 246 e 247 saltando i cambiamenti di coordinate (che faremo prossimamente); p. 248 fino alla riga 17 inclusa.
Per il prodotto vettoriale consultate queste brevi note..
Per la geometria affine tridimensionale potete anche consultare i seguenti Appunti di Geometria Affine in dimensione 3..
Infine, per l'intersezione di due sottospazi affini e per le proiezioni affini studiare pp 109, 110, 111.
La dimostrazione della Proposizione 8.9 e` facoltativa.

DECIMA SETTIMANA.
Lezione del 23/4/18: geometria euclidea di dimensione 3: ortogonalita`, distanze, angoli. Cambiamento
di riferimento affine/cartesiano.
Lezione del 24/4/18: Il gruppo affine. Descrizione del gruppo affine per lo spazio affine numerico.
Traslazioni, omotetie, affinita` che lasciano fissa l'origine.
Lezione del 26/4/18: figure affinemente equivalenti, geometria affine. Il gruppo delle isometrie di uno spazio euclideo. Figure congruenti.
Geometria euclidea. Proprieta` delle affinita`. Esercizi.
Esercizi: risolvere il Foglio di Esercizi n. 4.
Referenze: [S]: sezione 19, fino a sottosezione 19.4 esclusa.
Poi: da pagina 159 riga 16 dal basso, a pagina 162.
Infine: sezione 14, pp 193--> 197, 201, 202, 203, 204, 205.
Poi: pag 266, a partire da Def. 20.6 fino a 20.10 Complementi esclusi.
Teorema 20.8: solo enunciato.

UNDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 30/4/18: sospensione della didattica.
Lezione del 1/5/18: sospensione della didattica (festa del Lavoro).
Mercoledi' 2/5/18: Esercitazione con tutor n. 4.
Giovedi' 3/5/18: spazio proiettivo P(V) associato ad uno spazio vettoriale. Sistema di coordinate omogenee definito da una base di V.
Punti fondamentali e punto unita`. Sottospazi proiettivi. Equazioni parametriche e cartesiane. Intersezione. Sottospazio generato da un sottoinsieme J di P(V).
Punti linearmente indipendenti. Sottospazio somma. Formula di Grassmann.
Referenze: [S]: sezione 24 fino a p. 308 inclusa (fino alla riga -4).

DODICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 7/5/18: sottospazi in posizione generale; spazi proiettivi come spazi affini ampliati.
Lezione del 8/5/18: esercizi.
Lezione del 10/5/18: n+2 punti in posizione generale determinano un riferimento proiettivo. Cambiamenti di riferimenti proiettivo.
Isomorfismi di spazi proiettivi. Proiettivita`. Esiste ed e` unica la proiettivita` F:P(V)--->P(V)
che mandi un riferimento dato di P(V) in un altro riferimento di P(V). Il gruppo proiettivo. Geometria proiettiva.
Referenze: [S]: p. 308, a partire da riga -3; p. 309, fino a riga 5; sottosezione 24.5, osservazioni 1, 2 3, 4;
tutta la sezione 25 fino a p. 318, riga 9.p. 325, a partire dalla riga -4; pp. 326, 327, 328 fino a riga -5. Sezione 27, fino a p. 342.
Esercizi: risolvere il Foglio di Esercizi n. 5.
Consegna del Foglio n. 5: Mercoledi' 16 Maggio alle 14 in Aula IV in concomitanza con l'sercitazione scritta con tutor

TREDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 14/5/18: ripasso sui sistemi di riferimento, loro cambiamenti e proiettivita`. Esercizi. Birapporto di 4 punti.
Lezione del 15/5/18: gruppo affine e gruppo proiettivo; dualita`.
Mercoledi' 16/5/18: Esercitazione con tutor n. 5.
Lezione del 17/5/18: curve algebriche affini e proiettive. Omogenizzazione e deomegenizzazione di polinomi.
Chiusura proettiva di una curva affine. Punti propri e punti impropri. Curve algebriche affini affinemente equivalenti.
Referenze: [S]: pp. 343 e 344, fino a Lemma 27.8 escluso; da p. 351, riga 11, fino a p. 352 riga 5.
Poi la sezione 26 fino a p. 335, Teo. 26.4 escluso
insieme alle ulteriori informazioni sulla nozione di dualita' riportate in queste brevi note.
Per le curve algebriche: da p. 355 a p. 362, riga 4.
Esercizi: risolvere il quarto compito a casa.

QUATTORDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 21/5/18: ulteriori osservazioni su curve affinemente e proiettivamente equivalenti.
Classificazione proiettiva delle coniche.
Lezione del 22/5/18: soluzione dettagliata del quarto compito a casa.
Lezione del 24/5/18: classificazione affine delle coniche. Esercizi.
Referenze: [S]: complemento 28.4.2 p. 364; Sezione 30: tutta con l'eccezione di 30.4.3.
(la classificazione delle ipersuperfici quadriche e` facoltativa). Sezione 31: tutta con l'esclusione di 31.2 Osservazioni e 31.4 Complementi.
Esercizi: risolvere il quinto compito a casa.
Risolvere il Foglio di Esercizi n. 6.
Consegna del Foglio n. 6: Mercoledi' 30 Maggio alle 14 in Aula IV in concomitanza con l'ultima esercitazione scritta.

QUINDECESIMA SETTIMANA.
Lezione del 28/5/18: Classificazione euclidea delle coniche. Esercizi.
Lezione del 29/5/18: Centro di una conica a centro. Caratterizzazione delle ellissi, iperboli e parabole
in funzione dei loro punti all'infinito. Classificazione proiettiva delle quadriche. Classificazione affine ed euclidea delle quadriche.
Mercoledi' 30/5/18: Esercitazione con tutor n. 6.
Lezione del 31/5/18: supporto di una curva algebrica nel piano affine complesso. Curve algebriche reali nel piano
affine complesso. Trasformazioni affini reali del piano affine complesso. Intersezione di curve e rette.
Referenze: [S] Teorema 31.3; osservaizoni 31.2.1. 31.2.2; Sezione 32, fino a Prop. 32.2 inclusa (solo enunciati).
Per la classificazione affine ed euclidea delle quadriche cliccate qui.
Per la lezione di Giovedi' 31 Maggio: Sezione 29, fino a p. 369 inclusa (fino a riga -4; solo enunciati); poi da p. 403, una riga prima di [33.10], fino a p. 406 (tutta).
Leggere anche l'enunciato di Prop. 33.9.
Per la parte sui polinomi leggete: [S] p. 451 (potete pensare D uguale ad un campo); p. 452 (potete saltare Lemma A.11),
p. 453 (solo enunciato Prop. A. 12); p. 454, da riga -12; p. 455.
Esercizi: risolvere il sesto compito a casa.

SEDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 4/6/18: Studio locale di una curva algebrica.
Lezione del 5/6/18: Flessi. Hessiana. Esercizi.
Referenze: [S] sezione 34, dall'inizio fino alla Prop. 34.8 (dimostrazione esclusa).
Leggere anche enunciato Prop. 34.10.
(Attenzione alle utili osservazioni a pag 414 (a partire da riga -12 fino a pag. 415 riga 23.)
Esercizi: esercizi dati in classe il 5/6/2018 .
Risolvere il settimo ed ultimo compito a casa.

Programma d'esame: il programma consiste nel contenuto delle lezioni riportato giornalmente
in questa pagina web, con le relative referenze, insieme a tutti gli esercizi assegnati tramite:
- compiti a casa;
- fogli di esercizi comuni ai due canali;
- compiti scritti pomeridiani.