Orario: Lunedi' 11-13; Venerdi' 9-11. Aula Picone.
Orario Ricevimento: durante lo svolgimento del corso:
Mercoledi' 10-12 (con particolare riguardo ai compiti a casa), Giovedi' 14.00-15.00. Altrimenti per appuntamento.

Testi consigliati:
[A-T]: Marco Abate e Francesca Tovena, "Curve e Superfici". Ed. Springer (testo principale).
[dC] Manfredo do Carmo, "Differential Geometry of Curves & Surfaces", Revised and Updated Second Edition (Dover Books on Mathematics).
[Ma]: Mini corso di Topologia (note di Marco Manetti) ( file pdf )
[Se]: Edoardo Sernesi, "Geometria 2", Ed. Boringhieri
[Wa]: Frank W. Warner, "Foundations of differentiable manifolds and Lie groups",
Ed. Springer-Verlag (Graduate Text in Mathematics, Vol 94).
[Hi]: M. Hirsch, "Differential Topology",
Ed. Springer-Verlag (Graduate Text in Mathematics, Vol 33).

PRIMA SETTIMANA.
Lunedi' 24/9: definizione di curva; lunghezza d'arco; curvatura; versore normale; curve biregolari.
Venerdi' 28/9: versore binormale; torsione. Curve piane.
Riferimenti bibliografici: Capitolo 1 del libro di testo, fino a pag. 23 compresa.

SECONDA SETTIMANA.
Lunedi' 1/10: Formule di Frenet-Serret; curvatura e torsione con parametrizzazioni arbitrarie;
teorema fondamentale della teoria locale delle curve. Ripasso di Topologia.
Venerdi' 5/10:Ripasso di Topologia (continua). Definizione di superficie immersa nello spazio euclideo.
Una superficie immersa definisce localmente un omeomorfismo con l'immagine. Definizione di superficie regolare nello spazio euclideo. Esempi.
Riferimenti bibliografici: [AT] Capitolo 1, da pagina 24 a pagina 26.
Capitolo 3: da pag. 117 a pag 124, fino all'Esempio 3.1.17 escluso.
Ripasso di topologia (per chi non ha seguito il corso di Geometria 2 a Matematica):
Fusco-Marcellini-Sbordone, Analisi 2, pp 75-81, p 84, p 109, pp 112-113 oppure [Ma] sezioni 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12.
Esercizi: risolvere il primo compito a casa.

TERZA SETTIMANA.
Lunedi' 8/10: 1-sottovarieta` di R^n; teorema di classificazione delle 1-sottovarieta`, teorema di Jordan;
superfici di rotazione; punti critici, valori critici e valori regolari di un'applicazione infinitamente differenziabile;
le componenti connesse della contrimmagine di un valore regolare di una funzione reale sono superfici regolari.
Venerdi' 12/10: ogni superficie regolare e` localmente un grafico; parametrizzazioni a valori
in una superficie regolare; funzioni regolari su una superficie; applicazioni regolari fra superfici.
Riferimenti bibliografici: [AT], sezione 1.6, fino all'enunciato del Teorema 1.6.8 incluso; poi da pagina 124, Esempio 3.1.17, fino a pagina 134 inclusa.
Esercizi: risolvere il secondo compito a casa.

QUARTA SETTIMANA.
Lunedi' 15/10: piano tangente ad una superficie regolare; germi di funzioni in un punto; derivazioni.
Venerdi' 19/10: identificazione del piano tangente geometrico in p con lo spazio delle derivazioni in p;
differenziale di un'applicazione e sue descrizioni. Prima forma fondamentale.
Riferimenti bibliografici: [AT] da p. 135 a p. 147 inclusa. Poi pp 165 --> 170, fino a Prop. 4.1.19 esclusa.
Esercizi: risolvere il terzo compito a casa.

QUINTA SETTIMANA.
Lunedi' 22/10: ancora sulla isometrie locali (condizione necessaria e sufficiente).
Il piano ed il cilindro sono localmente isometrici. La catenaria e l'elicoide sono localmente isometrici. Orientabilita`.
Venerdi'26/10: curvatura normale, mappa di Gauss, seconda forma fondamentale, direzioni principali, curvature
principali, curvatura gaussiana, curvatura media, formula di Eulero.
Riferimenti bibliografici: [AT] da p. 170 a p. 172. Sezione 4.3: tutta. Sezione 4.4., fino all'Osservazione 4.5.5 compresa.
Esercizi:: risolvere il quarto compito a casa.

SESTA SETTIMANA.
Lunedi' 29/10: sospensione della didattica causa maltempo.
Venerdi' 2/11: sospensione della didattica (ponte del I Novembre).

SETTIMA SETTIMANA.
Lunedi' 5/11: ripasso. Espressione dei coefficienti della seconda forma fondamentale.
Formule esplicite per curvatura gaussiana, curvatura media e curvature principali.
Punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Punti ombelicali.
Simboli di Christoffel. Teorema egregium di Gauss.
Venerdi' 9/11: campi vettoriali lungo una curva contenuta in una superficie; derivata covariante, campi paralleli.
Geodetiche. Equazioni delle geodetiche. Isometrie locali e geodetiche. Prime proprieta` delle geodetiche.
Riferimenti bibliografici: [AT] tutto il capitolo 4, con l'eccezione della Sezione 4.2 e dell'osservazione 4.5.6.
Poi: intruduzione al quinto capitolo; sezione 5.1 fino alla Prop. 5.1.18 esclusa. Sezione 5.2: Lemma 5.2.1 (i).
Esercizi:: dopo aver letto la definizione di linea di curvatura, direzione asintotica e linea asintotica (p. 205)
risolvere i seguenti problemi nel libro di testo:
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5., 4.8 e 4.10.
Risolvere anche i problemi 4.6, 4.7, 4.12 e 4.17.

OTTAVA SETTIMANA.
Lunedi' 12/11: ulteriori proprieta` delle geodetiche. Minimizzazione delle lunghezze (enunciati). Lemma di Gauss.
Venerdi' 16/11: dimostrazione del teorema sulle propriet` di minimizzazione delle geodetiche.
Teorema di Hopf-Rinow-de Rham. Curvatura geodetica.
Riferimenti bibliografici: [AT], capitolo 5: sezione 5.2; sezione 5.4 (solo enunciati);
definizione 5.1.9.

NONA SETTIMANA.
Lunedi' 19/11: geodetiche delle superfici di rotazione. Teorema di Clairaut.
Formula per la curvatura geodetica in coordinate ortogonali
Venerdi' 23/11: Area di una superficie. Integrale di una funzione su una parametrizzazione di una superficie regolare. Curvatura
gaussiana ed area. Enunciato del Teorema di Gauss-Bonnet per regioni con frontiera regolare. Triangolazioni. Caratteristica di Eulero-Poincare'.
Riferimenti bibliografici: Esempio 5.1.17. Dalla Prop. 5.1.18 fino alla fine della Sezione 5.1.
Sezione 4.2 Osservazione 4.5.6. Sezione 6.2 (triangolazioni), fino alla Proposizione 6.2.12 inclusa. Pagina 317.
Per un'introduzione informale al Teorema di Gauss-Bonnet potete anche consultare questa conferenza che ho dato qualche anno fa;
la conferenza, dal titolo "Le forme dello spazio" , era pensata per un pubblico non-matematico.

DECIMA SETTIMANA.
Lunedi' 26/11: classificazione delle superfici orientabili compatte. Orientazione della frontiera di una regione regolare.
Enunciato del teorema di Gauss-Bonnet per regioni con frontiera regolare a tratti.
Venerdi' 30/11: dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet. Corollari immediati di Gauss-Bonnet.
Riferimenti bibliografici: Sezione 6.2 (completare, solo enunciati); Sezione 6.3, pp. 317-323 (Lemma 6.3.6 solo enunciato)
Esercizi: risolvere il compito a casa del 28/11/2018.

UNDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 3/12: campi vettoriali. Curve integrali e loro esistenza. Teorema di Poincare'-Hopf. Conseguenze.
Riferimenti bibliografici: sezione 5.3, pp. 270-274 fino alla Def. 5.3.14 esclusa. Sezione 6.4: tutta.
Venerdi' 7/12: Nozione di varieta` differenziabile. Esempi (S^n, RP^n).
Riferimenti bibliografici: Sernesi, Geometria 2; Sezione 19.
Esercizi: risolvere il compito a casa del 7/12/2018.

DODICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 10/12: spazio tangente; differenziale di un'applicazione fra varieta` differenziabili;
sue proprieta`; matrice associata.
Riferimenti bibliografici: Sernesi, Geometria 2, Sezioni 21 e 22.
Venerdi' 14/12: sottavarieta`, immersioni, inclusioni differenziabili e summersioni.
Riferimenti bibliografici: Sernesi, Geometria 2, Sezioni 25 e 26 (solo definizioni ed enunciati)

TREDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 17/12: Fibrato tangente; sua struttura di varieta` differenziabile. Fibrato vettoriale:
defizione, esempi, sezioni, metriche.
Riferimenti bibliografici: per il fibrato tangente: Sernesi p. 241 o anche (e forse meglio) Warner p. 19.
Per i fondamenti sui fibrati vettoriali potete consultare questi appunti.
Esercizi: risolvere il compito a casa del 17/12/2018.
Venerdi' 21/12 (ultima lezione del corso):
1) campi di vettori e loro proprietà; bracket di Lie.
2) Definizione di derivata covariante di una sezione di un fibrato lungo un campo di vettori.
3) 3.1) Esempio 1: fibrato banale. 3.2) Esempio 2: sottofibrato di un fibrato banale.
4) Esistenza di una derivata covariante in generale. Compatibilità con la metrica.
5) Derivata covariante simmetrica sul fibrato tangente di una varieta` differenziabile.
6) Derivata covariante di Levi-Civita sul fibrato tangente di una varieta` riemanniana.
7) Derivata covariante di Levi-Civita su una superficie regolare di R^3 dotata della metrica
indotta dal prodotto scalare canonico.
8) Operatore di curvatura e sua relazione con la curvatura gaussiana.
9) Nuova dimostrazione del Teorema Egregium.
10) Operatore di curvatura su una varieta` riemanniana di dimensione 2 e conseguente definizione di curvatura.
Riferimenti bibliografici (solo definizioni ed enunciati):
1) Warner pp 34--> 37 fino al Teorema 1.48 compreso (Teorema 1.48 facoltativo).
2) + 3.1) + 4) + 5) + 6) Per la definizione di derivata covariante (o connessione) potete
consultare queste note di Eugene Lermann . Precisamente: Sezione 1, fino a Prop. 1.6 inclusa. Def. 1.17. Def. 1.18. Sez. 2 fino al Teo. 2.6 incluso
Per 3.2) Esempio 2 e 7) consultate tutta la Sezione 4.2 di queste note di Andrea Sambusetti.
Per 8), 9), 10) consultate tutta la Sezione 5.4 di queste note di Andrea Sambusetti.

Ulteriori esercizi di preparazione all'esame.

Programma d'esame.

Formulario ammesso all'esame scritto (nuova versione, 31/1/19).

Testo dell'esame scritto del 31/1/2019.
Testo dell'esame scritto del 17/6/2019.

Prossimi appuntamenti:
20 Settembre, ore 11, Aula IV: quinto ed ultimo esame scritto (presidente di commissione per questo scritto sara` il Prof. Andrea Sambusetti;
l'appelo infostud lo trovate a suo nome).