Durante il corso useremo questi appunti, aggiornati progressivamente. La versione attuale è quella del 22.1.2021.
Gli esami sono solo orali, le date effettive per i singoli studenti si possono concordare per email.
1) 8.10.2020. Introduzione: azioni di gruppi su insiemi, strutture di varietà differenziabili o algebriche sui quozienti, obiettivi del corso. Esempi: spazio proiettivo, Graßmanniane. Quoziente Rn/Sn, funzioni simmetriche elementari. APPUNTI
2) 14.10.2020. Funzioni simmetriche elementari e radici dei polinomi, il quoziente Cn/Sn. Coniugio di matrici, polinomi sulle matrici invarianti per coniugio. Definizione di gruppo algebrico lineare, esempi. Richiami di geometria algebrica, funzioni regolari su chiusi e localmente chiusi di Zariski in Cn. APPUNTI
3) 21.10.2020. Richiami di geometria algebrica: Basissatz e Nullstellensatz; funzioni regolari su localmente chiusi del tipo Zh dove Z è un chiuso di Cn e h è un polinomio. Definizione generale di varietà affine. APPUNTI
4) 22.10.2020. Funzioni regolari su gruppi algebrici lineari. Proprietà della moltiplicazione e dell'inversione. Rappresentazioni regolari e localmente regolari. La traslazione a sinistra e a destra su O(G), sono localmente regolari. Azioni regolari. Teorema di linearizzazione di azioni regolari su varietà affini, solo enunciato. APPUNTI
5) 29.10.2020. Esempi di G-varietà affini come chiusi G-stabili di G-moduli. Il caso G=C* e strutture di anello Z-graduato su O(X). Relazone fra applicazioni lineari e omomorfismi indotti sugli anelli delle funzioni regolari. Dimostrazione del teorema del 22.10.2020. Corollario: ogni "gruppo algebrico affine" è un gruppo algebrico lineare (solo enunciato). APPUNTI
6) 4.11.2020. Dimostrazione del corollario del 29.10.2020. Gruppi linearmente riduttivi, moduli irriducibili e completamente riducibili: definizioni. Caratterizzazione dei moduli completamente riducibili di dimensione finita. Esempi di gruppi non linearmente riduttivi. Lemma di Schur. Moduli irriducibili per G=C. Ogni C-modulo non banale ha vettori non nulli fissati dal gruppo. Teorema: se G è linearmente riduttivo, non contiene alcun sottogruppo chiuso normale isomorfo a C. APPUNTI
7) 5.11.2020. Teorema: se H è un sottogruppo chiuso di indice finito e linearmente riduttivo di G, allora G è linearmente riduttivo. Teorema di Maschke. C* è linearmente riduttivo, e studio dei suoi moduli irriducibili. Caso di (C*)n. Teoria geometrica degli invarianti (GIT), versione affine. Quozienti categorici, esempi. Caratterizzazione degli anelli delle funzioni regolari delle varietà affini. APPUNTI (versione corretta)
8) 11.11.2020 (3 ore). Componenti isotipiche. Operatore di Reynolds. Teorema: se G è linearmente riduttivo, le funzioni G-invarianti su una G-varietà affine formano un'algebra finitamente generata. Dimostrazione, tramite quattro lemmi. Corollario: nelle ipotesi del teorema, il quoziente categorico esiste. Esempi. APPUNTI
9) 12.11.2020. Proprietà del quoziente categorico, caso dei gruppi finiti. Richiami di geometria algebrica: irriducibilità. Componenti connesse e irriducibili di un gruppo algebrico lineare, componente connessa contenente l'elemento neutro. Esempi. APPUNTI
10) 18.11.2020 (3 ore). Richiami di geometria algebrica: applicazioni regolari finite (sono chiuse). L'immagine di un'applicazione regolare contiene un aperto della sua chiusura. Applicazioni: un omomorfismo regolare fra gruppi algebrici lineari ha immagine chiusa. Ogni orbita di un'azione regolare è aperta nella sua chiusura. APPUNTI
11) 19.11.2020. Chiusi G-stabili e orbite chiuse. Altre proprietà del quoziente categorico per un gruppo linearmente riduttivo G contiene esattamente una G-orbita chiusa. Richiami sul prodotto tensoriale, sulle potenze simmetriche ed esterne di uno spazio vettoriale. Ogni G-modulo regolare è isomorfo ad un sottomodulo di O(G)n per qualche n. Teorema: se G è un sottogruppo algebrico lineare di GL(V) e U è un G-modulo regolare, allora è isomorfo a un quoziente di un sottomodulo di una somma di potenze tensoriali di V (senza dimostrazione). Definizione di gruppi autoaggiunti; se G in GL(n) è autoaggiunto allora Cn è un G-modulo completamente riducibile. APPUNTI
12) 25.11.2020 (3 ore). Ogni gruppo autoaggiunto è linearmente riduttivo, esempi. Dimostrazione del teorema della lezione scorsa. Spazi omogenei, introduzione. Teorema di Chevalley. APPUNTI
13) 26.11.2020. Richiami di geometria algebrica proiettiva. Dati G gruppo algebrico lineare e H sottogruppo chiuso, costruzione di G/H come varietà quasi proiettiva. Esempi. APPUNTI
14) 2.12.2020. Esempi: varietà delle bandiere, varietà delle bandiere parziali. Graßmanniana, coordinate di Plücker. Teorema: proprietà universale di G/H come varietà quasi proiettiva (senza dimostrazione). Versione debole del teorema, prodotti di varietà quasi proiettive e azioni regolari su varietà quasi proiettive. Risultati preliminari per la dimostrazione del teorema (versione debole). Proposizione: se X → Y induce un isomorfismo fra C(Y) e C(X), allora è un isomorfismo fra aperti densi di X e Y. Lemma sugli zeri di p(z) dove p è monico a coefficienti in O(Y) e Y è irriducibile. APPUNTI
15) 3.12.2020. Viceversa della Proposizione della lezione scorsa. Corollario: se un'applicazione regolare fra varietà affini è una biiezione su aperti densi, è un isomorfismo su aperti densi. APPUNTI
16) 9.12.2020. Dimostrazione del teorema (versione debole) della lezione n.14, esempi. Caso di H linearmente riduttivo: confronto fra G/H come varietà quasi proiettiva e il quoziente categorico G//H. Caso di H normale: G/H è un gruppo algebrico lineare. Inizio della dimostrazione. APPUNTI
17) 10.12.2020. Fine della dimostrazione. Esempi. Algebre associative e loro rappresentazioni: definizioni ed esempi. L'algebra gruppo. APPUNTI
18) 16.12.2020. Teorema di densità di Jacobson e Teorema di Wedderburn. Prodotti tensoriali di algebre e di moduli. Lemma: End(V)⊗End(W)≅End(V⊗W). APPUNTI (versione corretta)
19) 17.12.2020. Moduli irriducibili regolari per un prodotto GxH di gruppi algebrici lineari linearmente riduttivi. Versione algebrica del Teorema di Peter-Weyl. Corollario: se G e H sono linearmente riduttivi, anche GxH è linearmente riduttivo. APPUNTI
20) 7.1.2021. Gruppi algebrici lineari come varietà differenziabili, vettori tangenti e campi vettoriali. Definizione dell'algebra di Lie di un gruppo algebrico lineare come campi vettoriali invarianti a sinistra, il bracket fra due elementi. APPUNTI
21) 13.1.2021. Isomorfismo fra Lie(G) e lo spazio tangente a G nell'identità, compatibilità del bracket fra campi vettoriali e fra matrici nello spazio tangente. Esempi di algebre di Lie. Osservazioni sulle rappresentazioni delle algebre di Lie. APPUNTI
22) 14.1.2021. Omomorfismo di algebre di Lie indotto (col differenziale) da un omomorfismo di gruppi algebrici lineari. Rappresentazioni dei gruppi e delle loro algebre, l'esempio di G=C*. Legami fra G-sottomoduli e Lie(G)-sottomoduli. Altri esempi ed esercizi: rappresentazioni irriducibili di SL(n), esercizio sulle rappresentazioni irriducibili di (C*)n, il Teorema di Peter-Weyl per G=S3.APPUNTI