Laurea triennale in Matematica.
Orario: Lunedi' 11-14; Martedi' 9-11, Giovedi' 9-11. Aula 1.
Orario Ricevimento il Giovedi', dalle 14 alle 15.
Testi Consigliati:
[S] Edoardo Sernesi: Geometria 1 (Seconda Edizione). Bollati Boringhieri.
[A] Marco Abate: Geometria. McGraw Hill Libri Italia. 1999
[FFP] Elisabetta Fortuna, Roberto Frigerio, Rita Pardini: Geometria Proiettiva. Problemi risolti e richiami di teoria. Springer 2011.

Esoneri ed esami:
L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale.
Per sostenere l'esame è necessario iscriversi all'appello via INFOSTUD.
Durante il semestre si terranno due prove di esonero. La prima si svolgera` il 10 Aprile; la seconda il 5 Giugno 2017
Accede alla seconda prova di esonero lo studente che
ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 14 nel primo esonero.
Gli esonerati possono partecipare agli scritti della sessione estiva; se consegnano lo scritto annullano l'esonero.
Analogamente, chi ha superato il primo scritto di un appello puo' partecipare al secondo scritto ma se consegna l'elaborato annulla il voto
che ha ottenuto al primo scritto.
Gli esoneri e gli scritti della sessione di Luglio scadono il 31 Luglio.

PRIMA SETTIMANA.
Lezione del 2/3/17: spazio duale; base duale; isomorfismo definito da una base; biduale; isomorfismo canonico.
Esercizi: risolvere il primo compito a casa.
Referenze: [S], sezione 11, pp 143,144, 145 (prima meta`), 146.

SECONDA SETTIMANA.
Lezione del 6/3/17: notazionei del Sernesi "Geometria 1".
Forme bilineari. Simmetriche e antisimmetriche. Matrice associata ad una forma bilineare in una base. Matrici congruenti.
Rango di una forma bilineare.Vettori non-isotrpi. Teorema di diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche.
Lezione del 7/3/17: caso complesso e caso reale del teorema di diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche;
teorema di Sylvester. Indice di positivita` e negativita`. Segnatura. Soluzione del primo compito a casa.
Lezione del 9/3/17: ulteriori osservazioni sulle forme bilineari. Soluzione in classe del secondo compito a casa.
Esercizi: risolvere il secondo compito a casa.
Risolvere il terzo compito a casa.
Referenze: [S], sezione 15, pp 208 ---> 213 fino alla Prop. 15.6 esclusa.
Sezione 16, pp 221---> 225.
Per le notazioni del Sernesi potete consultare: Appunti sulle notazioni di Sernesi
Per le forme bilineari consultate anche: Alcune osservazioni sulle forme bilineari

TERZA SETTIMANA.
Lezione del 13/3/17: forme (semi)definite positive/negative e indefinite. Loro forma di Sylvester.
Forme quadratiche. Prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma associata ad un prodotto scalare.
Disuguaglianza triangolare. Basi ortonormali. Matrici ortogonali. Soluzione del terzo compito a casa.
Lezione del 14/3/17: nozione di gruppo e sottogruppo. Esempi. SL(n,R), O(n), SO(n). Metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Lezione del 16/3/17: decomposizione in somma diretta tramite un sopttospazio ed il suo ortogonale. Operatori
simmetrici. Teorema spettrale. Dal Teorema spettrale al teorema di Sylvester.
Esercizi: risolvere il quarto compito a casa.
Risolvere il quinto compito a casa.
Referenze. Per la lezione del 13/3 e Gram-Schmidt: [S], sezione 15, pp 225 (fine), 226. pp 215, 216, 217 fino a Complementi (esclusi).
Sezione 17 : da p. 228 a p. 237 inlusa.
Per la nozione di gruppo e sottogruppo e per SL(n,R), O(n), SO(n): p. 193, 194.
Per il Teorema Spettrale consultate Note sul Teorema Spettrale
Per il collegamento fra Teorema Spettrale e forme bilineari simmetriche consultate:
Teorema Spettrale e diagonalizzazione delle forme bilineari simmetriche reali

QUARTA SETTIMANA.
Lezione del 20/3/17: Le applicazioni $\delta_b$ e $\delta_b '$ associate ad una forma bilineare.
Autovettori associati ad autovalori distinti per un operatore simmetrico. Soluzione compito 5. Ulteriori esercizi.
Lezioni del 21/3/17 e del 23/3/17: definizione di operatore unitario reale (sinonimi: isometria lineare; applicazione ortogonale)
Equivalenza delle definizioni. Un'applicazione E^n-->E^n (spazio vettoriale euclideo) e' unitaria reale se
e solo se la sua matrice su una base ortonormale e' ortogonale.
Definizione di congruenza (composizione di unitaria con traslazione).
Teorema. data f:E^n --> E^n applicazione (qualsiasi) tra spazi vettoriali euclidei
(i) preserva le distanze + f(0)=0 se e solo se f e' operatore unitario (reale)
(ii) preserva le distanze se e solo se f e' congruenza
Operatori unitari di E^2: rotazioni e riflessioni. Differenza tra O(2) e SO(2)
Soluzione degli esercizi 1, 2, 3 del sesto compito.
Esercizi: risolvere il sesto compito a casa.
Risolvere il settimo compito a casa.

QUINTA SETTIMANA.
Lezioni del 27/3/17 e del 28/3/17: Richiami su prodotti scalari reali. Proprieta` di minimizzazione della proiezione ortogonale.
Esistenza ed unicita` dell'operatore aggiunto. La proiezione ortogonale è autoaggiunta. Soluzione esercizio 4 del foglio 6;
soluzione esercizi 1,2,3,4,5,9 del foglio 7.
Forme hermitiane su uno spazio vettoriale complesso; (semi-)definite positive (negative). Matrice associata ad una forma hermitiana rispetto
ad una base. Matrici hermitiane. Forme hermitiane associate a matrici hermitiane su C^n. Teorema di Sylvester: una forma hermitiana ammette una base
diagonalizzante. Spazio vettoriale hermitiano; norma di un vettore, disuguaglianza di Schwarz, disuguaglianza triangolare.
Lezione del 30/3/17: operatori unitari ed hermitiani in uno spazio vettoriale hermitiano. Proprieta' dei loro autovalori.
Autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali.
Teorema spettrale per operatori unitari e per operatori hermitiani. Corollari sulle matrici unitarie e sulle matrici hermitiane.
Esercizi: risolvere l' ottavo compito a casa.
Se volete, potete consegnare Lunedi' 3 Aprile i due esercizi nel seguente compito di preparazione all'esonero.
(Sono due esercizi estratti dal compito 8: si prega di consegnare esattamente due facciate)

Programma d'esame al 31/03/2017 con referenze bibiografiche

SESTA SETTIMANA.
Lezione del 3/4: soluzione dell'ottavo compito a casa.
Complementi:
(1) Equazioni cartesiane del radicale
(2) Minori principali e matrici simmetriche definite positive/negative
(3) Due operatori diagonalizzabili che commutano sono simultaneamente diagonalizzabili.
Lezioni del 4/4/17 e del 6/4/17: Vettori geometrici liberi. Spazi affini: assiomi, esempi. Sottospazi affini; giacitura.
Spazio affine generato da N punti. Riferimenti affini. Equazioni parametriche
e cartesiane dei sottospazi affini. Intersezione di sottospazi affini.
Referenze: per le equazioni cartesiane del radicale: Abate-de Fabritiis, Lemma 11.16 (2)
Per (2): Sernesi, Teorema 16.5 (dimostrazione facoltativa).
Per (3): vedere ad esempio
http://www1.mat.uniroma1.it/people/piazza/raccolta99.ps
(preambolo a pagina 9 ed esercizio a pagina 10) e poi, se proprio non riuscite a risolvere l'esercizio,
http://www1.mat.uniroma1.it/people/piazza/solnatale99.ps
(pagina 22).
Per la parte sugli Spazi affini: Sezioni 7 ed 8 in Sernesi, fino a pagina 111.

Lunedi' 10 Aprile alle 9.30 in Aula I e Aula II: primo esonero.
ATTENZIONE: questo corso e` riservato esclusivamente agli studenti del primo anno.
Gli studenti degli anni successivi devono sostenere l'esame con i Proff. Fiorenza e Le Donne.

OTTAVA SETTIMANA.
Lunedi' 24 Aprile: intersezione di sottospazi affini (ripasso).
Proiezione su un sottospazio parallelamente ad un sottospazio complementare della giacitura.
Cambiamenti di coordinate affini. Isomorfismi affini. Affinita`. Affinita` di A^n (K).
Traslazioni. Omotetie. Affinita' di A^n (K) che fissano l'origine. Simmetrie rispetto ad un centro.
Figure simmetriche rispetto ad un centro. Decomposizione di un' affinita' di A^n (K)
come composizione di una traslazione e di una affinita` che fissa l'origine.
Isomorfismo del gruppo delle affinita' di uno spazio affine con il gruppo delle affinita' di A^n (K)
una volta fissato un riferimento affine. Traslazioni, omotetie e simmetrie rispetto ad un centro in generale.
Proprieta' affini delle figure. Definizione di spazio euclideo e di isometria. Proprieta` euclidee delle figure.
Martedi' 25 Aprile: Festa della Liberazione.
Giovedi' 27 Aprile: $k+1$-ple di punti indipendenti ed affinita`. Sottospazi affini e affinita`.
Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani. Cambiamenti di riferimenti cartesiani.
Distanza. Isometrie di uno spazio euclideo. Isometrie di E^n. Isometrie di uno spazio euclideo una volta
fissato un riferimento cartesiano. f:E-->E e` un'isometria se e solo se preserva la distanza (dim. facoltativa)
Orientazione di uno spazio vettoriale reale.
Geometria euclidea in uno spazio euclideo di dimensione 3: angolo di due rette orientate;
angolo di due piani orientati; angolo fra una retta ed un piano incidenti.
Distanza punto-piano; distanza punto-retta; distanza retta-retta (solo definizioni; le formule sono facoltative).
Referenze:
Per il 24 Aprile: per le proiezioni: pagina 110 e 111. Per i cambiamenti di riferimento affine: p. 159 e 160.
Per la parte sulle affinita`: da pag 196 a pag 203 (fino a Prop. 14.11 esclusa). Per la parte sugli Spazi Euclidei: pag 246, Def. 20.6, Def. 20.9.
Per il 27 Aprile: per ulteriori proprieta` delle affinita` : Prop. 14.11, 14.12 e Cor. 14.13 (e quindi anche Lemma 14.5).
Per gli spazi euclidei: da p. 246 a p. 255 fino a 19.4 escluso (le formule per le distanze sono facoltative).
Per le Isometrie: da p.266, iniziando con Def. 20.6, a p. 269 fino a 20.10 escluso.
Per l'orientazione di uno spazio vettoriale reale: p. 154.
Esercizi: risolvere il nono compito a casa.
Se volete, potete consegnare Martedi' 2 Maggio il seguente compito di preparazione al secondo esonero.
(Sono due esercizi estratti dal compito 9: si prega di consegnare esattamente due facciate)

NONA SETTIMANA.
Lunedi' 1 Maggio: vacanza accademica.
Martedi' 2 Maggio: soluzione del nono compito. Inoltre: il prodotto vettoriale in uno spazio vettoriale euclideo
orientato di dimensione 3.
Giovedi' 4 Maggio: spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale,
riferimento proiettivo, coordinate omogenee, sottospazi proiettivi, equazioni parametriche
e cartesiane di sottospazi proiettivi, punti indipendenti, punti in posizione generale, sottospazio intersezione e sottospazio somma,
formula di Grassmann, sottospazi in posizione generale.
Referenze:
per il nono compito sono state distribuite soluzioni
per il prodotto vettoriale potete consultare i seguenti brevi appunti;
per la parte di Geometria Proiettiva: Sezione 24 di Sernesi, fino a 24.5.3 compreso.
Esercizi.
Risolvere (facoltativo) il seguente compito a casa intorno alla nozione di prodotto vettoriale.
Soluzioni del compito facoltativo intorno alla nozione di prodotto vettoriale:
Soluzione dell' esercizio 1.
Soluzione degli esercizi 2,3,4,5,6.
Decimo compito a casa: risolvere gli esercizi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (facoltativo), 9 della sezione 24 di Sernesi (p. 314 e 315)

DECIMA SETTIMANA.
Lunedi' 8 Maggio: discussione in classe del decimo compito a casa. Spazi proiettivi e spazi affini.
Martedi' 9 Maggio: ancora sugli spazi proiettivi come spazi affini ampliati. Principio di Dualita'.
Giovedi' 11 Maggio: n+2 punti in posizione generale determinano un riferimento proiettivo. Cambiamenti di coordinate
omogenee. Isomorfismi di spazi proiettivi. Proiettivita`. Il gruppo proiettivo. Geometria proiettiva. Birapporto.
Referenze:
Sernesi, Sezione 25 fino a p. 318 riga 9 inclusa. Sezione 25.4: 25.4.1, 25.4.2, 25.4.3 (fatelo da soli), 25.4.4 tutto.
Sezione 26 fino al Teorema 26.4 escluso.
Sezione 27 fino al Teorema 27.7 incluso.
Per alcune precisazioni sulla nozione di dualita' potete consultare queste brevi note.
Esercizi.
Risolvere l'undicesimo compito a casa..
Se volete, potete consegnare Lunedi' 15 Maggio i tre seguenti esercizi:
Esercizio 2, Esercizio 3, Esercizio 4 dell'Undicesimo Compito.
Gli esercizi saranno restutuiti, corretti, Giovedi' 18 Maggio.

UNDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 15 Maggio:Soluzione dettagliata dell'undicesimo Compito a casa.
Complementi di geometria proiettiva: trasformazioni lineari fratte; geometria iperbolica, geometria ellittica.
Martedi' 16 Maggio: Curve algebriche: generalita`. Classificazione proiettiva delle coniche.
Giovedi' 18 Maggio: Classificazione affine ed euclidea delle coniche. Esercizi.
Referenze:
Sernesi, Sottosezione 27.10, 1), 2), 3), 4). Sezione 28, tutto fino a pag. 360, riga 16 inclusa.
Sezione 30: tutta. Sezione 31, tutto fino a pag. 385, riga 6, con l'esclusione di 31.2.2, 31.2.3.
Esercizi.
Risolvere il dodicesimo compito a casa.
Se volete, potete consegnare Lunedi' 22 Maggio i quattro seguenti esercizi:
Esercizio 2, Esercizio 5, Esercizio 6 ed Esercizio 7 del dodicesimo compito.
Gli esercizi saranno restutuiti, corretti, Giovedi' 25 Maggio.

DODICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 22 Maggio:Soluzione dettagliata del dodicesimo compito a casa.
Richiami sui polinomi (riducibilita`, fattorizzazione unica, derivate, radici, radici multiple).
Richiami sui polinomi omogenei (teorema fondamentale dell'algebra per polinomi omogenei a coefficienti complessi; teorema di Eulero).
Ulteriori generalita` sulle curve algebriche. Curve reali.
Martedi' 23 Maggio: Curve algebriche: studio dell'intersezione fra una curva ed una retta.
Giovedi' 25 Maggio: Studio locale di una curva algebrica.
Giovedi' 25 Maggio, ore 16: esercitazione pomeridiana con il tutor. Testo dell'esercitazione pomeridiana (tredicesimo compito).
Referenze:
Per i polinomi: potete consulare l'Appendice A in Sernesi (c'e' molto di piu` di quanto fatto a lezione). In particolare:
pp 441--> 444, fino alla riga 9. Poi da p. 446 (Divisibilita` e Fattorizzazione) a p. 457, riga 11. Solo enunciati.
Per la parte sulle curve algebriche: sezione 28, con l'esclusione di 28.4. 1; sezione 29 fino a p. 370, riga 11. Sezione 33, fino a p. 400, teorema 33.1 escluso.
Poi da p. 403, a partire dalla riga precedente la formula [33.10] fino alla fine della sezione (Proposizione 33.9: solo enunciato).
Sezione 34 fino a p. 414 riga 7. Leggere gli esempi p. 416: esempi a)--> e). La Proposizione 34.4 puo` essere saltata per il momento.
Esercizi.
Risolvere il quattordicesimo compito a casa.
Se volete, potete consegnare Lunedi' 29 Maggio i quattro seguenti esercizi:
Esercizio 1, Esercizio 2, Esercizio 3 ed Esercizio 4 del quattordicesimo compito.
Gli esercizi saranno restutuiti, corretti, Giovedi' 1 Giugno.

TREDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 29 Maggio:Soluzione dettagliata di alcuni esercizi del quattordicesimo compito a casa.
Intersezione di due curve algebriche. Teorema di Bezout. (Solo enunciati.)
Martedi' 30 Maggio: Flessi. Hessiana. Invarianza proiettiva della molteplicita', delle tangenti, dei flessi, etc.
Polari. Prima polare e suo significato geometrico. Introduzione ai sistemi lineari di curve piane:
condizione di passaggio per un punto, condizione di tangenza di una retta in un punto. Fasci di curve. Fasci di coniche.
Giovedi' 1 Giugno: Coniche euclidee e loro descrizione come luoghi di punti. Classificazione affine ed euclidea delle quadriche.
Giovedi' 1 Giugno, ore 16: esercitazione pomeridiana con il tutor.
Testo dell'esercitazione pomeridiana (quindicesimo ed ultimo compito).
Referenze: Sezione 33 in Sernesi (solo enunciati). Per la definizione di molteplicita' d'intersezione di due
curve algebriche in un loro punto d'intersezione e per il teorema di Bezout potete consultare il Fortuna-Frigerio-Pardini "Geometria Proiettiva", Sezione 1.9.3.
A partire dalla nozione di flesso consultate il Sernesi:
- Sezione 34: da pagina 416, riga 15 dal basso fino alla fine della sezione.
- Sezione 35: fino a pagina 423, riga 12 dal basso. Anche il primo punto dei Complementi.
Per ulteriori informazioni sui fasci di coniche cliccate qui (tratto dal libro di Maschietti "Lezioni di Geometria").
Per le coniche euclidee consultate Sernesi o, in alternativa, il primo paragrafo del capitolo 15 di Abate-de Fabritiis.
Per le classificazione affine ed euclidea delle quadriche cliccate qui