1) 29.2.2024. Informazioni generali sul corso. Introduzione alla topologia generale: Omeomorfismi fra sottoinsiemi di ℝn, esempi. Punti aderenti a sottinsiemi di ℝn, sottoinsiemi chiusi e aperti. Formulazioni equivalenti della continuità per applicazioni ℝn→ℝm.
2) 1.3.2024, 3 ore. Topologia generale. Definizione di spazio topologico. Esempi: topologia banale e discreta, topologia cofinita, topologia euclidea su ℝn, altri esempi. Base di una topologia. Condizione necessaria e sufficiente affinché una data famiglia di sottoinsiemi sia una base di una qualche topologia. Confronti fra topologie, intersezione di topologie. Topologia di Zariski. Definizione di parte interna, chiusura, frontiera, punti interni e aderenti.
3) 4.3.2024. Esercitazione
4) 7.3.2024. Altri esempi delle ultime definizioni viste. Sottoinsiemi densi, esempi. Intorni e sistemi fondamentali di intorni, esempi. Applicazioni continue fra spazi topologici, continue in un punto, formulazioni equivalenti della continuità.
5) 8.3.2024, 3 ore. Fine della dimostrazione dell'ultimo teorema visto. Omeomorfismi, applicazioni aperte e chiuse, esempi. Spazi metrici. Definizione di palla aperta e di topologia indotta da una distanza. Lemma: ogni palla aperta è un aperto, e l'insieme delle palle aperte è una base. Caratterizzazione della continuità di applicazioni fra spazi metrici. Confronto delle topologie indotte da distanze, distanze equivalenti. Spazi topologici metrizzabili. Sottospazi topologici, esempi. Formulazione della topologia di sottospazio tramite la continuità dell'inclusione. Chiusura e parte interna di un sottoinsieme di un sottospazio: esempi.
6) 11.3.2024. Immersioni topologiche, esempi. Prodotti di spazi topologici, teorema in 4 parti su una base della topologia prodotto e sulle proprietà delle due proiezioni.
7) 14.3.2024. Esercitazione
5) 15.3.2024, 3 ore. Spazi di Hausdorff, esempi. In uno spazio di Hausdorff i sottoinsiemi finiti sono chiusi; sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff. Teorema: X è di Hausdorff se e solo se la diagonale in X × X è chiusa. Corollario: se il codominio è di Hausdorff, il luogo dove due funzioni continue coincidono è chiuso. Spazi topologici connessi, esempi. Formulazioni equivalenti della connessione. Teorema: [0,1] è connesso. Spazi topologici connessi per archi, esempi.
6) 18.3.2024. Esercitazione
7) 21.3.2024. Altri esempi di spazi connessi per archi. Lemma su un sottospazio connesso Y di X e un sottoinsieme A aperto e chiuso A. L'immagine di un connesso è connessa, e di un connesso per archi è connessa per archi. Ogni connesso per archi è connesso. Studio dei sottospazi connessi di ℝ. Lemma: ogni applicazione continua Sn→ℝ con n>0 assume lo stesso valore in almeno due punti antipodali. Corollario: nessun aperto di ℝn con n>1 è omeomorfo ad ℝ. La chiusura di un sottospazio connesso è connessa. Esempio di uno spazio connesso ma non connesso per archi: il pettine con la pulce (senza verifiche).
8) 22.3.2024, 3 ore. Condizioni affinchè la controimmagine di un connesso sia connessa. Il prodotto di connessi è connesso. Componenti connesse, esempi. Spazi compatti: definizioni ed esempi. L'intervallo [0,1] è compatto. Un chiuso in un compatto è compatto, un compatto in un T2 è chiuso. Esempi vari.
9) 25.3.2024. L'immagine di un compatto tramite un'applicazione continua è compatta. Corollari: un'applicazione continua da un compatto in ℝ ha minimo e massimo, un'applicazione continua da un compatto in un Hausdorff è chiusa, e se è anche biiettiva è un omeomorfismo. Condizioni sufficienti affinchè il dominio di un'applicazione continua sia compatto. Se P è compatto la proiezione P×Q→Q è chiusa. Corollario: il prodotto di due compatti è compatto. Identificazioni: definizione.
10) 4.4.2024. Esercitazione
11) 5.4.2024, 3 ore. Un'applicazione continua e suriettiva è un'identificazione se è aperta, oppure se è chiusa. Esempi. Proprietà universale delle identificazioni. Identificazioni e aperti saturi. Topologia quoziente, quoziente per una relazione di equivalenza, esempi. Quozienti per gruppi di omeomorfismi. Esercizi vari.
12) 8.4.2024. Esercitazione
13) 11.4.2024. Il quoziente X→X/G è un'applicazione aperta, e se G è finito è anche chiusa. Teorema: caratterizzazione di X/G di Hausdorff. Gruppi topologici: definizione, esempi. Proprietà di numerabilità: spazi 1o-numerabili, 2o-numerabili, separabili. Esempi. Ogni spazio metrico è 1o-numerabile, se è anche separabile allora è 2o-numerabile. Successioni.
14) 12.4.2024, 3 ore. Chiusura e limiti di successioni in spazi 1o-numerabili. Sottosuccessioni e compattezza per successioni. Teorema sulla relazione fra compattezza e compattezza per successioni. Successioni di Cauchy, spazi metrici completi, ℝn è completo. Sottospazi metrici completi e chiusura. Spazi metrici completamente limitati. Prodotti infiniti: assioma della scelta e Teorema di Tychonoff (cenni).
15) 15.4.2024. Compattezza e numerabilità di spazi metrici: uno spazio metrico è compatto se e solo se è compatto per successioni, se e solo se è completo e totalmente limitato. Topologia algebrica. Omotopia fra applicazioni continue, esempi. L'omotopia è una relazione di equivalenza. La mappa antipodale sulla sfera Sn è omotopa all'identità se n è dispari (senza dimostrazione). Equivalenza omotopica e spazi omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili, esempi. Retratti e retratti per deformazioni, esempi.
16) 18.4.2024. Esercitazione
17) 19.4.2024, 3 ore. Un retratto per deformazione è un retratto, e la sua inclusione è un'equivalenza omotopica. Cammini in uno spazio topologico, omotopia di cammini e cammini equivalenti. Esempi. Giunzione e inversione di cammini, riparametrizzazioni di cammini, proprietà. La giunzione è associativa a meno di omotopia di cammini. Inverso di un cammino, cammino costante, proprietà. Definizione di gruppo fondamentale. Cambiamento di punto base, isomorfismo γ# (senza dimostrazione). Esempi vari.
18) 22.4.2024. Esercitazione
19) 26.4.2024, 3 ore. ESONERO
20) 29.4.2024. Dimostrazione del lemma su γ#. Spazi topologici semplicemente connessi. Gruppo fondamentale di un prodotto di spazi topologici. Proprietà funtoriali. Comportamento del gruppo fondamentale con retratti e retratti per deformazioni. Proposizione su f* e g* se f,g:X→Y sono omotope (senza dimostrazione).
21) 2.5.2024. Esercitazione
22) 6.5.2024. Esercitazione
9.5.2024. Lezione annullata
23) 10.5.2024, 3 ore. Dimostrazione dell'ultima proposizione. Teorema: se f è un'equivalenza omotopica allora f* è un isomorfismo di gruppi. Teorema di Seifert-Van Kampen, per la dimostrazione: Teorema del numero di Lebesgue. Corollari: Sn è è semplicemente connessa per n≥2 e ℙnℂ è semplicemente connesso per n≥1. Rivestimenti: definizione di omeomorfismi locali, proprietà, definizione di rivestimenti, esempi. Cardinalità delle fibre di un rivestimento con base connessa. Rivestimenti di grado finito.
24) 13.5.2024. Esercitazione
25) 16.5.2024. Quozienti per azioni propriamente discontinue e rivestimenti, esempi. Sezioni di rivestimenti, esistenza di sezioni locali continue. Definizione di sollevamento di applicazioni continue, proprietà di unicità. Sollevamento di cammini.
26) 17.5.2024, 3 ore. Sollevamento di omotopia di cammini. Confronto fra omotopia di cammini nella base di un rivestimento e dei loro sollevamenti. Corollario: π1(S1) ≅ ℤ. Corollario: S1 non è retratto di D2. Teorema del punto fisso di Brower. Teorema di Borsuk. Vari corollari, fra cui: nessun aperto di ℝn è omeomorfo a ℝ2 se n>2. Legami fra fibre di un rivestimento, gruppo fondamentale dello spazio totale e della base. Corollario: π1(ℙnℝ)≅ ℤ/2ℤ se n≥2.
27) 20.5.2024. Esercitazione
28) 23.5.2024. Lezione
29) 24.5.2024, 3 ore. Lezione
30) 27.5.2024. Esercitazione
31) 30.5.2024. Lezione
32) 31.5.2024, 3 ore. ESONERO