Orario: Lunedi' ore 14-16 Aula C. Giovedi' ore 8.45-11 Aula E.
Ricevimento: il Giovedi' dalle 14.30 alle 15.30 oppure per appuntamento.

Modalita` d'esame.
L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale.
Nella prova scritta saranno assegnati 9 esercizi fra quelli proposti durante il corso e verra` richiesto di risolverne 3 a scelta.

Presentazione del corso.
L'obiettivo primario di questo corso e` di presentare ed illustrare il teorema dell'indice di Atiyah-Singer.
Dimostrato per la prima volta nel 1963, il teorema di Atiyah-Singer fornisce una formula geometrica esplicita per l'indice di un operatore
differenziale ellittico su una varieta` differenziabile compatta e senza bordo (l'indice e` la dimensione del nucleo meno la dimensione del co-nucleo).
E' considerato unanimemente come uno dei risultati fondamentali della matematica moderna, anche per le sue numerosissime applicazioni (teoria dei numeri,
teoria delle rappresentazioni dei gruppi di Lie, topologia algebrica, geometria differenziale, geometria simplettica, fisica teorica...) e per la quantita` e la qualita`
veramente impressionanti di nuovi risultati che esso ha generato.
La mia idea per questo corso di Geometria Superiore e` quella di presentare rigorosamente la matematica che entra nell'enunciato della formula di Atiyah-Singer
e in alcune delle sue piu` celebri applicazioni. Per quel che concerne la dimostrazione:
ci sono molte dimostrazioni al giorno d'oggi della formula di Atiyah-Singer (ognuna di queste ha un nucleo "duro"; non esiste una dimostrazione "facile" di questo teorema);
piuttosto che dare tutti i dettagli di una dimostrazione la mia idea, se ci sara` il tempo, e` quella di dare uno sketch informale di alcune di queste dimostrazioni.

Programma di massima del corso.
Varieta' reali e complesse. Esempi notevoli. Fibrati vettoriali. Fibrati olomorfi. Connessioni. Classi caratteristiche.
Coomologia a valori in un fascio. Teorema di de Rham astratto. Teorema di Dolbeault. Teoria degli operatori ellittici su varieta' compatte.
Teoria di Hodge. Varieta' di Kahler. Diamante di Hodge.
Teorema di Atiyah-Singer. Teorema della segnatura di Hirzebruch. Teorema di Gauss-Bonnet-Chern. Teorema di Riemann-Roch-Hirzebruch.
Ostruzioni all'esistenza di metriche a curvatura scalare positiva.

Testi consigliati:
Phillip Griffiths, Joe Harris: Principles of Algebraic Geometry
Raymond O. Wells: Differential Analysis on Complex Manifolds
H. Blaine Lawson, ML Michelsohn: Spin Geometry
J. Roe: Elliptic operators, topology and asymptotic methods (2nd edition).
Sono anche previste delle dispense a cura del docente.

Prerequisiti: Un corso di base di topologia. Rudimenti di teoria della misura e di analisi funzionale. Nozione di varieta' differenziabile
e spazio tangente. Nozioni di base su forme differenziali.

PRIMA SETTIMANA.
Lezione del 22/2/18. Presentazione del corso: il teorema di Gauss-Bonnet come caso particolare del Teorema di Atiyah-Singer.
Esercizi: risolvere il primo compito a casa (23/2/2018).

SECONDA SETTIMANA.
Lezione del 26/2/18: sospensione attivita` didattica causa neve.
Lezione del 1/3/18: fibrati vettoriali: fondamenti.
Esercizi: risolvere il secondo compito a casa (01/3/2018).

TERZA SETTIMANA.
Lezione del 5/3/18: sospensione attivita` didattica causa elezioni.
Lezione del 8/3/18: fibrati vettoriali: pull-back e teorema di omotopia.
Esercizi: risolvere il terzo compito a casa (08/3/2018).

QUARTA SETTIMANA.
Lezione del 12/3/18: sottofibrati, metriche, fibrato normale, introduzione alle connessioni.
Lezione del 15/3/18: connessioni, matrice locale di 1-forme associata ad una base locale, cambiamento di base locale, esempi.
Esercizi: risolvere il quarto compito a casa (16/3/2018).

QUINTA SETTIMANA.
Lezione del 19/3/18: soluzione esercizio 4 del quarto compito a casa; curvatura e sue properieta`.
Lezione del 15/3/18: connessione di Levi-Civita; polinomi invarianti, teorema di Chern-Weil.

SESTA SETTIMANA.
Lezione del 26/3/18: classi di Chern, fibrati olomorfi (hermitiani), connessione complessa compatibile con la metrica, esempi.
Lezione del 29/3/18: sospensione attivita` didattica (vacanze di Pasqua).

SETTIMA SETTIMANA.
Lezione del 2/4/18: vacanza accademica (Lunedi' di Pasqua).
Lezione del 5/4/18: classe totale di Chern, carattere di Chern, classe di Todd. Classi di Pontrjagin..
Esercizi: risolvere il quinto compito a casa (5/4/2018).

OTTAVA SETTIMANA.
Lezione del 9/4/18: polinomi SO(k)-invarianti. Polinomio di Eulero. Fibrati orientabili. Classe di Eulero.
Lezione del 12/4/18: teoremi di Gauss-Chern-Bonnet, della segnatura di Hirzebruch, di Riemann-Roch-Hirzebruch e di Atiyah-Borel (integralita`
del genere A pervarieta` spin). Algebre di Clifford. Operatori di Dirac generalizzati.

NONA SETTIMANA.
Lezione del 16/4/18: sospensione della didattica (esoneri di corsi paralleli).
Lezione del 19/4/18: espressione locale degli operatori di Dirac. Operatore * di Hodge.
Operatore di Gauss-Bonnet.

DECIMA SETTIMANA.
Lezione del 23/4/18: Gradazioni di un modulo di Clifford. Operatore di segnatura.
Operatori di Dirac su varieta` quasi complesse. Operatori differenziali. Ellitticita`.
Gli operatori di Dirac sono ellittici.
Lezione del 26/4/18:Varieta` complesse hermitiane. L'operatore * di Hodge. Aggiunto formale dell'operatore d-bar. Varieta` di Kahler.

UNDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 30/4/18: sospensione della didattica.
Lezione del 3/5/18: modulo degli spinori, gruppo spin, varieta` spin, operatore spin-Dirac.
Esercizi: risolvere il sesto compito a casa (6/5/2018).

DODICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 7/5/18: formula di Weitzenbock-Bochner-Lichnerowicz, curvatura scalare positiva,
enunciato del teorema di Atiyah-Singer, prime conseguenze.
Lezione del 10/5/18: non c'e` stata lezione.

TREDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 14/5/18: Spazi di Sobolev. Teoremi di immersione e di Rellich.
Lezione del 17/5/18: chiusura di un operatore di Dirac; suo dominio. Disuguaglianza di Garding.
Soluzioni deboli. D e` essenzialmente autoaggiunto.

QUATTORDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 21/5/18: Decomposizione spettrale. Calcolo funzionale.
Lezione del 24/5/18: D e` un operatore di Fredholm. Operatore di Green. Teorema di Hodge. Esempi.

QUINDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 28/5/18: Applicazioni del Teorema di Hodge.
Lezione del 31/5/18: Equazione del calore; nucleo del calore; operatori Hilbert-Schmidt e di classe traccia;
teorema di Lidski; formula di McKean-Singer; idea intuitiva della dimostrazione del teorema dell'indice di Atiyah-Singer tramite il nucleo del calore.
Esercizi: risolvere il settimo ed ultimo compito a casa (30/5/2018).

SEDICESIMA SETTIMANA.
Lezione del 4/6/18 (ultima lezione): Teoria di Hodge su varieta` di Kahler.

Note di tutte le lezioni.

Lunedi' 2 Luglio: primo esame scritto.
Durante l'esame scritto sara` possibile consultare le dispense del corso; altri libri o appunti non saranno ammessi.
Testo del primo esame scritto.

Lunedi' 14 Gennaio 2019, ore 9.15, Aula 1: quinto ed ultimo esame scritto.
Durante l'esame scritto sara` possibile consultare le dispense del corso; altri libri o appunti non saranno ammessi.

Orali: Martedi' 15, ore 15, Aula 1.

LINKS UTILI:

Un documento scritto in occasione del premio Abel ad Atiyah e Singer nel 2004.
Contiene:
- autobiografia di Michael Atiyah;
- autobiografia di Isadore Singer;
- una lunga introduzione al teorema dell' indice e ad alcune delle sue generalizzazioni, scritto da Nigel Hitchin.

Pagina web del corso "Spin Geometrie" di Berhard Hanke, con relative note delle lezioni.

Prima edizione del libro di Peter Gilkey "Invariance Theory, the heat equation and the Atiyah-Singer index theorem"
(c'e' anche una seconda edizione ma non e` disponibile nella pagina di Peter Gilkey)

Note di un corso di Liviu Nicolaescu sul teorema dell'indice di Atiyah-Singer.

Monografia di Liviu Nicolaescu dal titolo "Lectures on the Geometry of Manifolds".

Note di un corso di geometria di Kahler tenuto da Andrei Moroianu.