Orario lezioni: martedì ore 9-11, giovedì ore 9-11, venerdì ore 11-13
Aula 4, Nuovo Edificio di Fisica
Ricevimento studenti: giovedì ore 12-13.30 nello Studio N. 8 del Dipartimento di Matematica e per appuntamento
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 21-11-2013
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 24-9-2013
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 21-6-2013
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 9-5-2013
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 13-2-2013
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 30-1-2013
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Seconda Prova Scritta d'Esonero , Elenco
degli Studenti esonerati dalla Prova Scritta d'Esame
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti ammessi alla Seconda Prova Scritta d'Esonero
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello Straordinario di Geometria avranno inizio mercoledì 27 novembre, nello Studio N. 8 di Matematica, alle ore 11.35 seguendo un diario d'esami che sarà concordato con i candidati. Dalle ore 11.30 alle ore 11.35 dello stesso giorno gli studenti interessati potranno prendere visione dei loro elaborati relativi alla Prova Scritta del giorno 21 novembre.
AVVISO: Giovedì 21 novembre 2013, dalle ore 11 alle ore 13.45, in Aula Cabibbo avrà luogo
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello di Geometria (Lettere Pf-Z) di settembre avranno inizio giovedì 26 settembre,
alle ore
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello di Geometria (Lettere Pf-Z) di giugno avranno inizio giovedì 27 giugno, alle ore
AVVISO:
AVVISO: Giovedì 9 maggio 2013, dalle ore 9 alle ore 11.45, in Aula H del
Dipartimento di Matematica avrà luogo
AVVISO: Le Prove Orali del II Appello avranno inizio venerdì 15 febbraio, in Aula 8, alle ore 15 seguendo un diario d'esami che sarà concordato con i candidati. Dalle ore 14.30 alle ore 15 dello stesso giorno gli studenti interessati potranno prendere visione dei loro elaborati relativi alla Prova Scritta del giorno 13 febbraio.
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali del I Appello avranno inizio venerdì 1 febbraio alle
ore
AVVISO:
AVVISO: Martedì 22 gennaio 2013 dalle ore 15 alle ore
AVVISO: Venerdì 25 gennaio 2013, dalle ore 11 alle ore 13.45, avrà luogo
AVVISO: Martedì 20 novembre 2012 dalle ore 16 alle ore
AVVISO: Venerdì 23 novembre 2012, dalle ore 11 alle ore 13.45, avrà luogo
Norme d'esame per l'anno accademico 2012-2013
Programma
per l'anno accademico 2012-2013
Dal 2 ottobre al
5 ottobre 2012:
Richiami
sugli insiemi numerici N, Z, Q, R. Struttura di anello commutativo di Z.
Struttura di campo di Q e di R. Definizione e generalità sui numeri complessi.
Operazioni sui numeri complessi. Struttura di campo dell'insieme C dei numeri
complessi. Cenni sui campi finiti e sul corpo H dei quaternioni. Digressione
sul prodotto cartesiano di insiemi. Insieme delle n-ple
ordinate di elementi di un campo K. Somma di due n-ple
ordinate e sue proprietà.
Prodotto
di un elemento di K per una n-pla ordinata e sue
proprietà. Definizione assiomatica di spazio vettoriale su un campo K.
Struttura di spazio vettoriale su un campo K dell’insieme delle n-ple ordinate di elementi di K. Matrici a elementi in un
campo K. Righe e colonne di una matrice. Matrici rettangolari e matrici quadrate.
Matrici nulle. Matrice opposta di una matrice assegnata. Matrici a scala e loro
pivots. Matrice trasposta di una matrice assegnata.
Matrici simmetriche. Matrici antisimmetriche. Matrici triangolari. Matrici
diagonali. Matrici scalari. Matrici unità. Somma di due matrici aventi lo
stesso numero m di righe ed n di colonne. Proprietà della somma di matrici.
Prodotto di un elemento del campo K per una matrice ad elementi nel campo K e
sue proprietà. Struttura di spazio vettoriale dell’insieme delle matrici con m
righe ed n colonne ad elementi in un campo K. Matrice trasposta della somma di
due matrici. Matrice trasposta del prodotto di un elemento del campo K per una
matrice ad elementi nel campo K. Decomposizione di una matrice quadrata nella
somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica.
Prodotto
di una matrice riga per una matrice colonna e sue proprietà. Prodotto (righe
per colonne) di due matrici moltiplicabili. Proprietà del prodotto di matrici.
Struttura di anello dell'insieme delle matrici quadrate d'ordine n ad elementi
in un campo K. Struttura di algebra dell’insieme delle matrici quadrate
d’ordine n ad elementi in un campo K. Potenze ad esponente intero positivo di
una matrice quadrata. Matrici nilpotenti. Espressioni polinomiali di una
matrice quadrata. Matrici invertibili. Unicità della matrice inversa di una
matrice invertibile. Caratterizzazione delle matrici invertibili. Gruppo
lineare d'ordine n su un campo K. Potenze ad esponente intero negativo di una
matrice invertibile. Invertibilità della matrice trasposta di una matrice
invertibile.
Dal 9 ottobre al
12 ottobre 2012:
Matrici
ortogonali. Gruppo ortogonale d'ordine n. Struttura del gruppo ortogonale per
n=1 e per n=2. Sistemi di equazioni lineari a coefficienti in un campo K.
Soluzioni di un sistema di equazioni lineari. Compatibilità di un sistema di
equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari determinati. Sistemi di
equazioni lineari indeterminati. Sistemi di equazioni lineari incompatibili o
impossibili. Matrice dei coefficienti, o matrice incompleta, e matrice dei
coefficienti e dei termini noti, o matrice completa, di un sistema di equazioni
lineari. Scrittura matriciale di un sistema di equazioni lineari. Sistemi di
equazioni lineari omogenei. Soluzione nulla o banale di un sistema di equazioni
lineari omogeneo. Sistema di equazioni lineari omogeneo associato ad un sistema
di equazioni lineari. Teorema di struttura dell’insieme delle soluzioni di un
sistema di equazioni lineari. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari a
scala.
Sistemi
di equazioni lineari equivalenti. Operazioni elementari sui sistemi di
equazioni lineari che permettono di ottenere sistemi di equazioni lineari
equivalenti. Metodo o algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan per la
risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. Riduzione a scala di una matrice.
Rango di una matrice come numero dei pivots di una
sua riduzione a scala. Matrici non singolari. Teorema di Rouché-Capelli.
Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di equazioni lineari
quadrato ammetta una sola soluzione. Condizione necessaria e sufficiente
affinché un sistema di equazioni lineari omogeneo ammetta soluzioni non banali.
Risoluzione
dei sistemi di equazioni lineari triangolari inferiori. Metodo di eliminazione
di Gauss-Jordan all’indietro. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari col
doppio metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Invertibilità delle matrici non
singolari. Non singolarità della matrice trasposta e della matrice inversa di
una matrice non singolare. Determinazione della matrice inversa di una matrice
non singolare. Risoluzione dei sistemi lineari quadrati, con matrice dei
coefficienti non singolare, con l’uso della matrice inversa. Rango delle
matrici dipendenti da un parametro. Risoluzione dei sistemi di equazioni
lineari dipendenti da un parametro.
Dal 16 ottobre al
19 ottobre 2012:
Segmenti
orientati o vettori applicati. Segmenti orientati degeneri. Digressione sulle relazioni
di equivalenza. Relazione di equipollenza tra segmenti orientati. Vettori
geometrici o liberi. Vettore geometrico nullo. Vettore geometrico opposto di un
vettore geometrico assegnato. Vettori geometrici paralleli. Vettori geometrici
complanari. Proprietà dei vettori geometrici. Somma di due vettori geometrici.
Proprietà della somma di vettori geometrici. Prodotto di uno scalare reale per
un vettore geometrico. Proprietà del prodotto di uno scalare reale per un
vettore geometrico. Differenza di due vettori geometrici. Struttura di spazio
vettoriale dell’insieme
dei vettori geometrici. Alcune proprietà degli spazi vettoriali
deducibili dagli assiomi.
Struttura
di spazio vettoriale, su un sottocampo di K, di uno spazio vettoriale su K.
Spazio vettoriale nullo. Spazio vettoriale K[x] dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo K. Spazio
vettoriale F(X,K) delle funzioni di un insieme X a valori in un campo K.
Prodotto cartesiano di due spazi vettoriali su uno stesso campo K. Sottospazi vettoriali
di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali impropri o banali. Alcune
proprietà dei sottospazi vettoriali. Esempi notevoli di sottospazi vettoriali
di spazi vettoriali. Sottovarietà lineari affini di uno spazio vettoriale.
Esempi notevoli di sottovarietà lineari affini di uno spazio vettoriale.
Altri
esempi notevoli di sottospazi vettoriali e di sottovarietà lineari affini di
uno spazio vettoriale. Intersezione e somma di due sottospazi vettoriali di uno
stesso spazio vettoriale. Somma diretta di due sottospazi vettoriali. Proprietà
della somma diretta di sottospazi vettoriali. Sottospazi vettoriali
supplementari. Esempi di somme e di somme dirette di sottospazi vettoriali.
Combinazioni lineari di vettori. Sottospazio vettoriale generato da un numero
finito di vettori e proprietà relative. Sistemi di generatori di uno spazio
vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati. Esempi di spazi vettoriali
finitamente generati e di spazi vettoriali non finitamente generati. Vettori
linearmente dipendenti. Vettori linearmente indipendenti. Proprietà dei vettori
linearmente dipendenti.
Dal 23 ottobre al
26 ottobre 2012:
Esempi
notevoli di vettori linearmente dipendenti. Proprietà dei vettori linearmente
indipendenti. Esempi notevoli di vettori linearmente indipendenti. Basi
(finite) di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore rispetto ad una
base assegnata. Sistemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Teorema
dell'esistenza di basi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Metodo degli
scarti successivi per l’estrazione di una base da un sistema finito di
generatori. Esempi notevoli di basi di spazi vettoriali finitamente generati.
Sistemi infiniti di generatori di spazi vettoriali non finitamente generati. Sistemi liberi di vettori di spazi vettoriali
non finitamente generati. Basi infinite di spazi vettoriali non finitamente
generati. Esempi notevoli di basi di spazi vettoriali non finitamente generati.
Traduzione
scalare di una uguaglianza vettoriale. Coordinate
della somma di due vettori e del prodotto di uno scalare per un vettore.
Coordinate di una combinazione lineare di vettori. Condizione analitica per la
dipendenza lineare di un numero finito di vettori. Massimo numero di vettori
linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale avente una base finita. Dimensione di uno spazio vettoriale. La
dimensione di uno spazio vettoriale come numero massimo di vettori
linearmente indipendenti estraibili da un sistema di generatori. La dimensione di uno spazio vettoriale come numero massimo
di vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale. Dimensione di
alcuni esempi notevoli di spazi vettoriali. Dimensione infinita degli spazi
vettoriali non finitamente generati: il caso di K[x]. Condizioni affinché n
vettori di uno spazio vettoriale di dimensione n costituiscano una base.
Teorema del completamento della base. Dimensione e codimensione
dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Sistemi
di generatori di una somma di sottospazi vettoriali di dimensione finita. Basi
di una somma diretta di sottospazi vettoriali di dimensione finita. Condizioni
affinché una somma di sottospazi vettoriali sia diretta. Formula di Grassmann
vettoriale. Spazio delle righe di una matrice. Rango per righe di una matrice.
Spazio delle colonne di una matrice. Rango per colonne di una matrice. Teorema
sull’uguaglianza dei ranghi per riga e per colonna di una matrice (soltanto
cenni della dimostrazione). Rango di una matrice. Rango di una matrice
trasposta di una matrice assegnata. Algoritmo di Gauss-Jordan per l'estrazione
di una base da un sistema di generatori. Uso delle coordinate di vettore
nell'algebra lineare.
Il 30 ottobre
2012:
Equazioni
parametriche e cartesiane di un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale
di dimensione finita; eliminazione dei parametri.
Dal 6 novembre al
9 novembre 2012:
Equazioni
cartesiane dell’intersezione di sottospazi vettoriali. Equazioni cartesiane
della somma di due sottospazi vettoriali.
Dimensione e codimensione di una sottovarietà lineare affine di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Equazioni parametriche e cartesiane di una sottovarietà lineare affine; eliminazione dei parametri. Equazioni cartesiane dell’intersezione di sottovarietà lineari affini. Definizione di determinante per le matrici quadrate del primo, del secondo e del terzo ordine. Digressione sulle permutazioni di n elementi. Segno di una permutazione. Sostituzione associata ad una permutazione. Segno di una sostituzione.
Cenni
sui gruppi di sostituzioni e sui gruppi alterni. Definizione di determinante di
una matrice quadrata d'ordine n. Minore complementare di un elemento di una
matrice quadrata. Complemento algebrico o cofattore di un elemento di una
matrice quadrata. Formula o regola di Laplace per il calcolo del determinante
di una matrice quadrata (senza dimostrazione). Determinante di una matrice
trasposta di una matrice assegnata. Teorema fondamentale sul determinante e suo
corollario. Teorema di caratterizzazione delle matrici non singolari come
matrici a determinante non nullo.
Dal 13 novembre
al 16 novembre 2012:
Teorema
di unicità della funzione determinante. Teorema di Binet
(soltanto enunciato). Determinante della matrice inversa di una matrice invertibile
assegnata. Invertibilità di una matrice ammettente un'inversa destra oppure
sinistra. Rango di una sottomatrice di una matrice. Teorema di
caratterizzazione del rango di una matrice come ordine massimo delle
sottomatrici quadrate a determinante non nullo (soltanto enunciato) e suo
corollario. Teorema di Kronecker o delle sottomatrici
quadrate orlate per il calcolo del rango di una matrice (soltanto enunciato).
Uso dei
determinanti nello studio di sottospazi vettoriali e di sottovarietà lineari affini
di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Calcolo della matrice inversa di
una matrice invertibile con l'uso dei determinanti.
Formula
di Cramer per la risoluzione dei sistemi quadrati di
equazioni lineari con matrice dei coefficienti a determinante non nullo.
Risoluzione dei sistemi di n-1 equazioni lineari omogenee in n incognite con
matrice dei coefficienti di rango massimo. Risoluzione di un sistema qualunque
di equazioni lineari con l'uso dei determinanti.
Dal 20 novembre
al 22 novembre 2012:
Risoluzione
dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro con l'uso dei
determinanti.
Definizione assiomatica di spazio affine associato ad uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio affine, rette e piani affini. Prime proprietà degli spazi affini. Esempi notevoli di spazi affini: spazio affine ordinario; spazi affini vettoriali; spazi affini numerici su un campo K. Riferimenti affini di uno spazio affine di dimensione finita. Coordinate affini di punto. Coordinate di un vettore individuato da due punti. Significato delle coordinate affini di punto nel caso dello spazio affine ordinario, nel caso di uno spazio affine vettoriale e nel caso di uno spazio affine numerico.
Dal 27 novembre
al 30 novembre 2012:
Sottospazi
affini di uno spazio affine. Giacitura e dimensione di un sottospazio affine.
Il caso dei sottospazi affini di dimensione due, uno e zero. Direzione e
vettori direttori di un sottospazio affine di dimensione uno o retta.
Sottospazi affini dello spazio affine ordinario. Sottospazi affini di uno
spazio affine vettoriale. Prime proprietà dei sottospazi affini. Sottospazio
affine generato da m+1 punti. Punti indipendenti. Punti dipendenti. Punti
allineati. Punti complanari. Esempi di punti dipendenti e di punti
indipendenti. Massimo numero di punti indipendenti in uno spazio affine di
dimensione finita. Codimensione di un sottospazio
affine di uno spazio affine di dimensione finita. Iperpiani. Equazioni
parametriche di un sottospazio affine. Parametri direttori di una retta. Equazioni
parametriche di una retta.
Equazioni
cartesiane di un sottospazio affine. Eliminazione dei parametri. Il caso delle
rette, dei piani e degli iperpiani. Iperpiani ed assi coordinati. Equazioni
cartesiane in forma di rapporti uguali di una retta. Stella di rette con
vertice in un punto assegnato. Stella di iperpiani con vertice in un punto
assegnato.
Parallelismo
di due sottospazi affini. Condizione di parallelismo di due rette. Proprietà
dei sottospazi affini paralleli. Teorema di esistenza ed unicità di un
sottospazio affine passante per un punto e parallelo ad un sottospazio affine
della stessa dimensione. Coefficienti di giacitura di un iperpiano. Condizione
di parallelismo di due iperpiani. Condizione di parallelismo di una retta e di
un iperpiano. Intersezione di sottospazi affini. Sottospazi affini incidenti.
Sottospazi affini sghembi.
Dal 4 dicembre al
7 dicembre 2012:
Punto
medio di due punti. Punto simmetrico di un punto rispetto ad un punto
assegnato. Baricentro (geometrico) di m punti. Semirette, segmenti, triangoli,
parallelogrammi, tetraedri, parallelepipedi, m-simplessi e m-parallelepipedi di
uno spazio affine reale di dimensione qualunque. Figure convesse. Inviluppo o
involucro convesso di una figura. Condizione di allineamento di tre punti e
rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta di un piano affine.
Parametri direttori e coefficiente direttore di una retta assegnata mediante
un'equazione cartesiana. Parallelismo ed intersezione di rette di un piano
affine. Equazioni cartesiane di un punto in un piano affine. Casi particolari
dell'equazione cartesiana di una retta. Fasci propri di rette.
Fasci
impropri di rette. La direzione di una retta vista come punto improprio della
retta. Cenni sulla retta impropria di un piano affine. Il fascio improprio di
rette visto come fascio di rette passanti per il punto improprio delle rette.
Condizione di complanarità di quattro punti e rappresentazione parametrica e
cartesiana di un piano di uno spazio affine tridimensionale. Equazione cartesiana
della stella di piani di vertice in un punto. Condizioni di allineamento di tre
punti e rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta di uno spazio
affine tridimensionale. Equazioni cartesiane in forma di rapporti uguali della
stella di rette di vertice in un punto. Parametri direttori di una retta
assegnata mediante equazioni cartesiane. Parallelismo ed intersezione di piani.
Parallelismo ed intersezione di rette e piani.
Piano
per un punto parallelo a due rette non parallele. Equazioni cartesiane di un
punto in uno spazio affine tridimensionale. Casi particolari dell'equazione
cartesiana di un piano. Fasci propri di piani.
Dal
11 dicembre al 14 dicembre
2012:
Fasci
impropri di piani. Fasci di rette su un piano di uno spazio affine
tridimensionale. Interpretazione della giacitura di un piano come retta
impropria del piano. Cenni sul piano improprio di uno spazio affine
tridimensionale. Interpretazione del fascio improprio di piani come fascio di
piani avente come asse la retta impropria dei piani. Complanarità di due rette.
Condizione di complanarità di due rette.
Retta
per un punto complanare con due rette sghembe. Retta per un
punto parallela a due piani non paralleli. Retta per un punto incidente
un’altra retta e parallela ad un piano. Retta incidente due
rette sghembe e parallela ad una terza retta.
Decomposizione
di un vettore nella somma di un vettore appartenente alla giacitura di un piano
e di un vettore appartenente alla direzione di una retta non parallela al
piano. Cambiamento di basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Matrice associata ad un cambiamento di basi. Formule di trasformazione di
coordinate di vettore. Basi equiverse di uno spazio vettoriale reale.
Orientazioni di uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Il caso degli
spazi vettoriali geometrici di una retta, di un piano e dello spazio affine
ordinario.
Dal 18 dicembre
al 20 dicembre 2012:
Cambiamento
di riferimenti affini di uno spazio affine. Formule di trasformazione di
coordinate affini di punto. Casi particolari di cambiamenti di riferimenti
affini. Orientazioni di uno spazio affine reale. Affinità di uno spazio affine
di dimensione finita. Esempi notevoli di affinità. Figure affinemente
equivalenti. Esempi di figure affinemente
equivalenti. Proprietà affini di una figura. Cenni sulle equazioni canoniche
affini delle coniche. Cenni sulla struttura di gruppo dell’insieme delle
affinità di uno spazio affine di dimensione finita. Cenni sulla geometria nel
senso di Klein.
Applicazioni
lineari tra spazi vettoriali. Caratterizzazione delle applicazioni lineari.
Proprietà delle applicazioni lineari. Applicazioni lineari surgettive,
applicazioni lineari iniettive, isomorfismi tra spazi vettoriali. Esempi
notevoli di applicazioni lineari. Forme e funzionali lineari. Esempi notevoli
di forme lineari e di funzionali lineari. Applicazione d’inclusione.
Endomorfismi o operatori lineari di uno spazio vettoriale. Esempi notevoli di
endomorfismi di uno spazio vettoriale. Struttura di spazio vettoriale
dell'insieme Hom(V,W) delle
applicazioni lineari di V in W. Digressione sul prodotto operatorio di
applicazioni tra insiemi e proprietà relative. Prodotto operatorio di
applicazioni lineari. Struttura di algebra dell'insieme End(V)
degli endomorfismi di uno spazio vettoriale V.
Dal
8 gennaio al 11 gennaio 2013:
Isomorfismo
inverso di un isomorfismo assegnato. Automorfismi o trasformazioni lineari di
uno spazio vettoriale V. Gruppo lineare GL(V) degli automorfismi
di uno spazio vettoriale V. Teorema fondamentale sulle applicazioni lineari.
Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Teorema sulle dimensioni del
nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare avente
come dominio uno spazio vettoriale di dimensione finita (dimostrazione
facoltativa). Condizioni necessarie e sufficienti affinché un'applicazione
lineare tra spazi vettoriali aventi la stessa dimensione finita sia un
isomorfismo. Condizione necessaria e sufficiente affinché due spazi vettoriali
di dimensione finita siano isomorfi.
Matrice
associata ad un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali V e W, di
dimensioni finite n ed m, rispetto a due basi assegnate. Equazione matriciale
di un'applicazione lineare. Equazioni cartesiane di un'applicazione lineare.
Uso della matrice associata ad un'applicazione lineare per lo studio della iniettività e della surgettività dell'applicazione. Caratterizzazione di un
isomorfismo tra spazi vettoriali in termini della matrice associata. Cenni
sull'isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,W) e lo spazio vettoriale delle matrici ad elementi in K
con m righe ed n colonne. Matrice associata al prodotto operatorio di due
applicazioni lineari. Matrice associata all'isomorfismo inverso di un
isomorfismo assegnato. Cenni sull'isomorfismo tra l'algebra End(V) e l'algebra delle matrici quadrate d'ordine n ad
elementi in K.
Formula
di trasformazione della matrice associata ad un'applicazione lineare. Matrici
simili e loro rango. Invarianti di una matrice per coniugazione. Matrici
congruenti e loro rango. Matrice associata ad un endomorfismo di uno spazio
vettoriale rispetto ad una base assegnata. Formula di trasformazione della
matrice associata ad un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Determinante di
un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili.
Matrici diagonalizzabili. Autovettori
ed autovalori di un endomorfismo di uno spazio
vettoriale. Autovettori ed autovalori
di una matrice quadrata. Diagonalizzabilità e basi di
autovettori di un endomorfismo e di una matrice
quadrata. Spettro di un endomorfismo e di una matrice quadrata. Autospazio associato ad un autovalore.
Proprietà degli autovettori e degli autovalori. Esempi notevoli di endomorfismi diagonalizzabili e di endomorfismi non diagonalizzabili.
Proprietà di autovettori associati ad autovalori distinti. Criterio di diagonalizzabilità
degli endomorfismi e delle matrici. Equazioni cartesiane di un autospazio.
Polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Invarianza per coniugazione del polinomio caratteristico di una matrice quadrata e dei suoi coefficienti. Polinomio caratteristico di un endomorfismo. Equazione caratteristica. Calcolo degli autovalori di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Digressione sulla molteplicità delle soluzioni di un’equazione algebrica e sul teorema fondamentale dell’algebra; campi algebricamente chiusi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Proprietà delle molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori.
Dal 15 gennaio al
18 gennaio 2013:
Condizione
necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo o una matrice quadrata sia diagonalizzabile (dimostrazione facoltativa). Autovalori di una matrice simmetrica reale (dimostrazione
facoltativa). Forme bilineari. Cenni sulle forme multilineari. Forme bilineari
simmetriche. Forme bilineari antisimmetriche. Forme bilineari alterne. Forma
quadratica associata ad una forma bilineare. Proprietà delle forme quadratiche.
Forma bilineare simmetrica polare di una forma quadratica. Identità di
polarizzazione. Esempi notevoli di forme bilineari simmetriche.
Forme
bilineari simmetriche non degeneri. Esempi notevoli di forme bilineari
simmetriche non degeneri. Matrice associata ad una forma bilineare rispetto ad
una base; il caso delle forme bilineari simmetriche. Matrice associata ad una
forma quadratica rispetto ad una base. Formula di trasformazione della matrice
associata ad una forma bilineare. Rango di una forma bilineare di uno spazio
vettoriale di dimensione finita. Condizione necessaria e sufficiente affinché
una forma bilineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita sia non
degenere (soltanto enunciato). Esempi notevoli di forme bilineari simmetriche
degeneri. Ortogonalità rispetto ad una forma bilineare simmetrica. Vettori
isotropi. Forme bilineari simmetriche reali definite positive, semidefinite positive, definite negative, semidefinite negative e non definite. Criterio di
positività di Hurewicz di una forma bilineare
simmetrica reale. Prodotti scalari, Esempi notevoli di prodotti scalari. Pseudoprodotti scalari. Esempi notevoli di pseudoprodotti scalari. Pseudoprodotto
scalare di Minkowski. Pseudoprodotti
scalari di Lorentz. Vettori tipo
spazio, vettori tipo luce e vettori tipo tempo. Spazi vettoriali
euclidei ovvero spazi vettoriali reali dotati di prodotto scalare. Esempi
notevoli di spazi vettoriali euclidei. Modulo di un vettore. Proprietà del
modulo di un vettore. Disuguagianza di Cauchy-Schwarz (dimostrazione facoltativa).
Alcune
applicazioni della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
in Analisi Matematica. Disuguaglianza triangolare. Angolo convesso di due
vettori. Procedimento di ortogonalizzazione di
Gram-Schmidt. Polinomi di Legendre.
Vettori unitari. Basi ortonormali e loro uso..
Significato dei coefficienti dell'equazione cartesiana di un iperpiano
vettoriale rispetto ad una base ortonormale. Cambiamento di basi ortonormali e
matrici ortogonali. Decomposizione di uno spazio vettoriale euclideo nella
somma diretta di due sottospazi vettoriali ortogonali. Proiezione ortogonale di
uno spazio vettoriale euclideo su un sottospazio vettoriale. Simmetria
ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo rispetto ad un sottospazio
vettoriale; il caso particolare in cui il sottospazio vettoriale sia una retta
o un iperpiano vettoriale.
Dal 22 gennaio al
24 gennaio 2013:
Prodotto vettoriale di due vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale di due vettori linearmente indipendenti. Prodotto misto di tre vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto misto. Significato geometrico del segno del prodotto misto di tre vettori linearmente indipendenti. Significato geometrico del modulo del prodotto misto di tre vettori indipendenti. Spazio euclideo associato ad uno spazio vettoriale euclideo. Esempi notevoli di spazi euclidei. Riferimenti cartesiani di uno spazio euclideo. Cambiamenti di riferimenti cartesiani e matrici ortogonali. Distanza di due punti di uno spazio euclideo. Proprietà della distanza. Digressione sugli spazi metrici. Uso delle coordinate cartesiane di punto per il calcolo della distanza di due punti. Sfere e dischi di uno spazio euclideo n-dimensionale. Versore di una retta orientata. Angolo convesso di due rette orientate. Condizione di perpendicolarità di due rette. Coseni direttori di una retta orientata. Vettori normali ad un iperpiano. Condizione di perpendicolarità tra retta e iperpiano. Versori normali ad un iperpiano.
Distanza di un punto da un iperpiano. Distanza di due iperpiani paralleli. Distanza di un punto da una retta. Distanza di due rette parallele. Angoli tra iperpiani. Condizione di perpendicolarità di due iperpiani. Angoli tra rette e iperpiani. Geometria di un piano euclideo: distanze, angoli, perpendicolarità, area di parallelogrammi e di triangoli. Geometria di uno spazio euclideo tridimensionale: distanze, angoli, perpendicolarità, retta incidente e perpendicolare a due rette sghembe, distanza di due rette sghembe, area di parallelogrammi e di triangoli, volume di parallelepipedi e di tetraedri. Cenni sul volume di un n-parallelepipedo in uno spazio euclideo di dimensione n.
Endomorfismi simmetrici, o autoaggiunti
reali, di uno spazio vettoriale euclideo. Esempi notevoli di endomorfismi simmetrici.
Proprietà degli autovalori e degli autovettori di un endomorfismo simmetrico. Sistema
ortogonale. Teorema spettrale per gli endomorfismi simmetrici.