Laurea triennale in Matematica.
Orario: Lun-Mar-Gio, 11-13, Aula III.
Orario Ricevimento durante lo svolgimento del corso: Lunedi' e Mercoledi' 13.30-14.30.
Tutoraggio: il Giovedi' in Aula I, dalle 14 alle 16.
Libri di Testo: [PC] Giulia Maria Piacentini Cattaneo: "Algebra un approccio algoritmico", ed Zanichelli.
[A] Michael Artin:
"Algebra", ed Boringhieri .
[C] Giulio Campanella "Appunti di Algebra 1" ed Nuova Cultura.
[C2] Giulio Campanella "Appunti di Algebra 1. 200 esercizi svolti". Ed. Nuova Cultura.
Esoneri: 15 Aprile, ore 15, 15 Giugno, ore 9.30. Orali ad inizio Luglio.
Esami scritti: 4 Luglio, 18 Luglio, 6 Settembre, 19 Settembre.
Prima settimana. Ripasso di teoria degli insiemi. Relazioni. Unione, intersezione e composizione di relazioni. Esempi.
Relazioni di equivalenza
Partizioni e relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Teorema di decomposizione per le applicazioni.
Relazioni d'ordine parziale.
Catene. Diagramma di Hasse. Cenno sugli assiomi di Peano. Assioma del buon ordinamento.
Principio d'induzione (prima e seconda forma).
Equivalenza dell'assioma del buon ordinamento con il principio d'induzione (in entrambe le forme)
Ripasso sulle applicazioni. Cardinalita'. Insiemi equipotenti.
Teorema di Schroeder-Bernstein
(se X ha cardinalita' minore o uguale a Y ed Y ha cardinalita' minore o uguale a X allora
X ed Y hanno la stessa cardinalita').
Referenze bibliografiche:
- ripasso teoria degli insiemi: [PC], sezione 1.1;
- relazioni: [PC], sezione 1.2;
- ripasso sulle applicazioni: [PC], sezione 1.3;
- teorema di decomposizione delle applicazioni: [C] Teorema 3 p. 14;
- gli assiomi di Peano (facoltativo): [C] 1.5.A, pp 25, 26 27, 28. In alternativa, Note di Alessandro D'Andrea.
- equivalenza fra principio d'induzione ed assioma del buon ordinamento: M. Abate "Geometria", sezione 3c.1;
in alternativa [C] teorema 1 p. 28
- cardinalita': note di Alessandro D'Andrea. (pagine1 e 2,
fino alla Prop. 1.12 esclusa).
Esercizi.
Svolgere i seguenti esercizi in [PC] : 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5; 1.2.1, 1.2.2., 1.2.3; 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3.,
1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.3.8.; 1.4.2, 1.4.3, 1.4.4
Seconda settimana. 2.1: Insiemi numerabili. Un insieme infinito contiene sempre un sottoinsieme numerabile.
Un s.i. di un numerabile e' finito o numerabile. 2.2: Aggiungendo o togliendo ad un insieme numerabile un
insieme finito si ottiene un insieme numerabile.
2.3: L'unione di un numero finito di insiemi numerabili e'
numerabile. 2.4 L'unione di un'infinita' numerabile di insiemi numerabili e' numerabile
(processo diagonale
di Cantor). Esempi: gli interi, i razionali, il prodotto di due insiemi numerabili e' numerabile.
2.5: Teorema di Cantor (|X|<|P(X)|). 2.6: Teorema di Dedekind. 2.7 Ripasso di calcolo combinatorico.
2.8 Bestiario di strutture algebriche:
gruppo, gruppo commutativo, anello, campo. Esempi. Proprieta' elementari dei gruppi: unicita' dell'elemento neutro, unicita'
del reciproco, legge di cancellazione.
Proprieta' elementari degli anelli. Divisori dello zero, legge di cancellazione
in un anello integro.
Referenze bibliografiche:
2.1: [C] Prop 1 p. 44
2.2 e 2.3: Note di Alessandro D'Andrea.
(Lemma 2.2, 2.3, Cor 2.4, Lemma 2.5, Cor 2.6, Cor 2.7)
2.4: [C] Teorema 2 pag 45 + [PC] Teo. 1.5.5
2.5: [C] Teorema 4 p.47
2.6: [C] Lemma 1 + Teorema 3 p. 46.
2.7: [PC] 1.1.6, pp36, 3738, 39
2.8: [C] cap 1, sezione 4, pp 19, 20, 21, 22, 23.
Esercizi.
1. Se A e' finito ed f:A->A e' un'applicazione, allora f e' iniettiva sse e' suriettiva
2. Completare dim teorema 1.3.7 in [PC]
3. Svolgere es. 1.5.5. p. 35 in [PC]
4. Se |X|=n allora |P(X)|=2^n (per induzione su n).
5. Es. 4 in [PC] p. 40
Prima esercitazione pomeridiana (tutoraggio, a cura di Francesca De Marchis).
Esercizi di riepologo: [C] 1.11 p. 52; [C] 1.16 p 53; [C] 1.25 p. 54: [C] 1.26, p. 54
Terza settimana.
3.1. Interi: definizione e prime proprieta'. Somma e prodotto. Gli interi sono un anello commutativo unitario integro.
3.2. Esistenza ed unicita' della divisione.
3.3. Massimo Comun Divisore. Identita' di Bezout. Algoritmo euclideo delle divisioni successive.
3.4. Numeri primi. Teorema fondamentale dell'aritmetica.
3.5. Elementi primi ed irriducibili di un dominio d'integrita'. Ogni elemento primo e' irriducibile.
Referenze bibliografiche:
3.1: [C] cap I, sezione 5 B, tutta.
3.2: [C] cap II, sezione 1.
3.3: [C] cap II, sezione 2, tutta.
3.4 + 3.5: [C] cap II, sezione 3, fino a pag 71 inclusa.
Esercizi.
1. Gli interi sono un anello commutativo unitario.
2. |k+m| minore o uguale di |k| + |m|; |km|=|k| |m|
3. Dimostrare che l'equazione ax+by=c, con a,b,c interi ha soluzioni intere sse MC(a,b)=d divide c.
4. Determinare MCD ed un'identita' di Bezout per a=72 e b=22. Stesso esercizio per a=630 e b=132.
Seconda esercitazione pomeridiana (tutoraggio, a cura di Francesca De Marchis).
Soluzione degli esercizi non corretti in classe
(sempre a cura di Francesca De Marchis).
Quarta settimana.
4.1 Minimo comun multiplo e sua relazione con MCD.
4.2. Applicazioni del teorema fondamentale dell'aritmetica.
4.3. L'anello delle classi resto modulo n
4.4. Divisori dello zero. Invertibili.
4.5. Z_p con p primo
4.6. Equazioni e sistemi. Il teorema cinese del resto. Sistemi generali.
4.7. Piccolo teorema di Fermat. Funzione di Eulero.
Referenze bibliografiche:
4.1 + 4.2: [C], cap II, sezione 3, p.72.
4.3-->4.5: [C], cap II, sezione 4, fino a p. 77
4.6: [C], cap II, sezione 5.
Vedere anche [PC] p. 79
4.7: [C], cap II, sezione 6, fino alla Prop. 1 pag. 91 compresa.
Esercizi.
[PC] 2.7.1, 2.7.2, 2.7.3, 2.7.5 .
[C] p. 93, 2.3, 2.4. 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10.
Terza esercitazione pomeridiana (tutoraggio, a cura di Francesca De Marchis).
Quinta settimana.
- Teorema di Eulero(-Fermat)
- Esercitazione in classe
del 11/4.
- Esercitazione in classe
del 12/4.
- Soluzioni per gli esercizi del 12/4.
Quarta esercitazione pomeridiana
(a cura di Francesca De Marchis).
Soluzioni quarta esercitazione pomeridiana
(a cura di Francesca De Marchis). Nuovo documento alle 13.08 del 14/4
Venerdi' 11 Aprile, ore 15, AULA I e AULA V (ULTIMO PIANO): primo esonero.
Testo e soluzione
del primo esonero (a cura di Francesca De Marchis).
Giovedi' 28 Aprile.
Polinomi su un campo $K$. Struttura di anello commutativo unitario. Dominio d'integrita'.
Invertibili. Associati. Funzioni polinomiali. Divisione con resto. MCD. Identita' di Bezout. Lemma di Euclide.
Referenze bibliografiche:
[C] cap III, sezione 1 e 2, fino a pag 105 inclusa.
Settima settimana.
7.1. Elementi irriducibili e primi in K[X]. Un elemento e' primo se e solo e' irriducibile.
Fattorizzazione unica. Minimo comun multiplo e massimo comun divisore via fattorizzazione unica.
Teorema Ruffini. Principio identita' dei polinomi. Irriducibilita' : proprieta' generali. Irriducibilita'
nel campo complesso. Teorema fondamentale dell'algebra.
7.2. Irriducibilita' nel campo reale.
7.3. Dimostrazione teorema fondamentale dell'algebra.
7.4. Irriducibilita' sui razionali e gli interi. Teorema di Gauss. Criterio Eisenstein.
Riduzione mod p.
Referenze bibliografiche:
7.1: [C], cap III, sezione 2 e sezione 3 fino a pag. 110 inclusa.
7.2: [PC], sezione 3.3.4.
7.3: [A], pag. 621-622.
7.4: [C] cap III, sezione 3, tutta oppure, in alternativa, [PC], cap 3, sezione 3.3.
Esercizi.
[C], pag. 129, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.11, 3.12, 3.14, 3.15
[PC], Cap3. sezione 3.3. Es. 1,4,5,6.
Quinta esercitazione pomeridiana
(a cura di Francesca De Marchis).
Ottava settimana.
8.1 Anelli. Omomorfismi. Ideali. Anello quoziente.
8.2. Teorema di omomorfismo. Primo e secondo teorema di isomorfismo.
8.3. Ideale generato da un sottoinsieme. Anelli principali. Anelli primi e massimali.
8.4. Caratterizzazione ideali massimali e primi tramite il quoziente.
8.5. Campo dei quozienti di un dominio di integrita'.
8.6. Anelli euclidei. Interi di Gauss.
Referenze bibliografiche:
[PC] Cap. 4, sezioni 4.1--> 4.7, fino a pag 182 inclusa
Esercizi.
[PC]: 4.1.1, 4.1.2, 4.1.7, 4.1.8, 4.1.9, 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3,
4.2.4, 4.2.8, 4.2.10, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.4.5, 4.4.6, 4.4.7
4.5.5., 4.5.7
Sesta esercitazione pomeridiana
(a cura di Jacopo Gandini).
Soluzioni sesta esercitazione pomeridiana
(anche a cura di Jacopo Gandini).
Nona settimana.
9.1 Ogni dominio euclideo e' principale. MCD. Elementi invertibili.
9.2 Domini a fattorizzazione unica. Elementi primi ed irriducibili.
Principale implica a fattorizzazione unica. Polinomi a coefficienti in
un dominio a fattorizzazione unica.
9.3 Caratteristica di un anello. Sottocampo fondamentale di un campo.
Referenze bibliografiche:
[PC] Cap. 4, da pag 182 a pag 194 e da pag 200 a pag 202.
Esercizi.
[PC]: 4.7.1, 4.7.2, 4.7.3, 4.7.4 , 4.7.5, 4.7.6, 4.7.8, 4.8.1, 4.8.4.
Settima esercitazione pomeridiana
(a cura di Francesca De Marchis).
Decima settimana.
10.1. Moduli su un anello. Proprieta' generali.
10.2. Diagonalizzazione di matrici intere.
10.3. Sottogruppi di un gruppo abeliano libero sono liberi.
10.4 Anelli noetheriani. Sottomoduli di moduli finitamente
generati (solo enunciati).
10.5. Presentazione di un modulo finitamente generato. Matrice di
presentazione e sue semplificazioni.
10.6. Teorema di classificazione gruppi abeliani finitamente generati.
Referenze bibliografiche.
[A] cap. 12, da pag 532 a pag 551.
Poi:
Prop. 5.13, Lemma 5.14, Prop. 5.17, Teo. 5.18
Prop. 5.19, Cor. 5.20 solo enunciati.
Da pag 556 a pag. 558.
Vedere anche le
note di Alessandro D'Andrea. (Oss: ho usato il Lemma 1.17 di queste note
nella dimostrazione del
Teorema di classificazione per i gruppi abeliani.)
Ottava esercitazione pomeridiana
(con soluzione, tutto a cura di Jacopo Gandini).
Undicesima settimana.
Forma canonica di Jordan.
Referenze bibliografiche.
[A] cap. 12, da pag 561 a pag 566.
Nona esercitazione pomeridiana
(a cura di Jacopo Gandini).
Soluzioni nona esercitazione pomeridiana
(a cura di Jacopo Gandini).
Dodicesima settimana.
Esercizi.
Esercizi svolti il 6 Giugno (a cura di Francesca De Marchis).
Esercizi svolti il 7 Giugno (a cura di Francesca De Marchis).
Decima esercitazione pomeridiana
(a cura di Jacopo Gandini).
Soluzioni decima esercitazione pomeridiana
(anche a cura di Jacopo Gandini).
Secondo esonero:.
- il 15 Giugno alle 9.30 in Aula I e Aula III
- sara' consentito consultare solamente i testi [PC] e [A]
- sono ammessi al secondo esonero coloro che hanno superato il primo.
Testo e soluzione
del secondo esonero (soluzione a cura di Alessandro D'Andrea).
Risultati del secondo esonero.
Elenco degli esonerati.
Soluzioni compito scritto del 4/7 (a cura di Alessandro D'Andrea).
Prossimo esame: il 27 Gennaio alle 15.30 (scritto); Aula I Orale Lunedi' 30.
Risultati dell'esame scritto del 27/1:
Agnese Janigro 22
Francesca Marrone 26
Sara Nascimben 16.5
Orali il 30/1 alle 17. Aula B.