Fogli settimanali di esercizi:
Testi di esami passati:
Diario delle lezioni:
23.9.2019. Introduzione su famiglie di simmetrie di varietà differenziabili dipendenti da un parametro reale, bracket di due campi vettoriali, e gruppi di Lie. Algebre di Lie: definizione, primi esempi.
24.9.2019. Sottoalgebre di Lie e omomorfismi. Esempi. Struttura di algebra di Lie su un'algebra associativa, e sulle derivazioni di un'algebra non necessariamente associativa. L'omomorfismo di algebre di Lie ad:L→Der(L). Ideali e centro di un'algebra di Lie, esempi.
26.9.2019. Esempi di algebre derivate. Definizione di algebre di Lie semplici, esempio di sl(2) in caratteristica diversa da 2. Quozienti di algebre di Lie, normalizzatore e centralizzatore di un sottospazio. Legami usuali fra ideali e omomorfismi. Definizione di rappresentazione, rappresentazione sul duale. Serie derivata e serie centrale discendente. Definizione di algebre di Lie risolubili e nilpotenti.
30.9.2019. Prime proprietà di algebre di Lie nilpotenti e risolubili, confronti ed esempi. Enunciato del Teorema di Engel e del primo teorema "di punto fisso". Lemma: un endomorfismo nilpotente è ad-nilpotente.
1.10.2019. Dimostrazione dei teoremi enunciati il 30.9.; secondo teorema "di punto fisso", per algebre risolubili, e dimostrazione.
3.10.2019. Teorema di Lie e corollari. Decomposizione di Fitting (somma diretta degli autospazi generalizzati), enunciato della decomposizione di Jordan-Chevalley.
7.10.2019. Dimostrazione della decomposizione di Jordan-Chevalley. Enunciato del Criterio di Cartan, enunciato e dimostrazione di proposizione e lemma per la dimostrazione del criterio di Cartan.
8.10.2019. Dimostrazione del criterio di Cartan, e corollario al teorema (versione astratta del criterio). Forma di Killing e sue proprietà, restrizione a un ideale. Criterio di semisemplicità (forma di Killing non degenere) e dimostrazione. Teorema: L è semisemplice se e solo se è somma diretta di algebre di Lie semplici, con dimostrazione.
10.10.2019. Risoluzione di esercizi in aula. Fine della dimostrazione del teorema precedente. Corollario: se L è semisemplice, allora L=[L,L], sono semisemplici tutte le immagini omomorfe, e ogni ideale di L è somma diretta degli 'addendi' semplici di L.
14.10.2019. Teorema: se L è semisemplice, allora ad(L)=Der(L). Corollario: decomposizione di Jordan-Chevalley "astratta" in un'algebra di Lie semisemplice. Definizione di prodotto tensoriale di spazi vettoriali (con la proprietà universale), unicità a meno di isomorfismo.
15.10.2019. Esistenza del prodotto tensoriale di spazi vettoriali, isomorfismo fra Hom(M,N) e M*⊗N, esempi. Definizione di modulo di un'algebra di Lie, di sottomoduli e omomorfismi. Esempio di kn con L=gl(n) oppure sl(n).
17.10.2019. Risoluzione di esercizi in aula. Somma diretta di L-moduli. Definizione di L-moduli completamente riducibili, condizione equivalente (ogni sottomodulo ha un complemento). Esempi.
21.10.2019. Struttura naturale di L-modulo sul prodotto tensoriale di due L-moduli, sul duale di un L-modulo, sugli omomorfismi (come spazi vettoriali) fra due L-moduli. Lemma di Schur. Forma bilineare associata a una rappresentazione fedele, elemento di Casimir di una rappresentazione di un'algebra di Lie L semisemplice. Indipendenza dell'elemento di Casimir dalla scelta della base di L. L'elemento di Casimir commuta con l'immagine di L. Lemma: se L è semisemplice, l'immagine di una sua rappresentazione è sempre dentro sl.
22.10.2019. Teorema di Weyl con dimostrazione.
31.10.2019. Risoluzione di esercizi in aula. Comportamento della decomposizione di Jordan-Chevalley tramite rappresentazioni, confronto della decomposizione "standard" e della decomposizione "astratta" per sottoalgebre di Lie semisemplici di gl(V).
4.11.2019. Studio degli sl(2)-moduli, esempi. Sottoalgebre torali. Una sottoalgebra torale è abeliana.
5.11.2019. Radici di un'algebra di Lie semisemplice rispetto a una sottoalgebra torale massimale H, esempi, prime proprietà. Il centralizzatore di H coincide con H.
7.11.2019. Risoluzione di esercizi in aula. Identificazione di H e H* tramite la forma di Killing, esempi. L'insieme delle radici genera H*.
11.11.2019. Proprietà delle radici e dei relativi autospazi: i soli multipli di una radice α che sono radici sono α e -α. La dimensione di Lα è 1 per ogni radice α.
12.11.2019. Esempi. Altre proprietà delle radici e dei relativi autospazi; la α-stringa di β.
14.11.2019. Risoluzione di esercizi in aula. Data una base di H* fatta di radici, ogni radice è combinazione lineare della base a coefficienti razionali. Lo spazio vettoriale reale E. La forma di Killing assume valori razionali sulle radici, ed è definita positiva su E.
18.11.2019. Definizione di sistema di radici, esempi. I possibili angoli fra due radici α e β non proporzionali, assumendo (α,β)>0. Lemma: se α e β non proporzionali, allora α-β è una radice se (α,β)>0, e α+β è una radice se (α,β)<0. Corollario: la α-stringa di β è fatta di radici. Definizione di base di un sistema di radici, vettori regolari e base Δ(γ) associata a un vettore regolare γ.
19.11.2019. Esistenza di basi di un sistema di radici. Ogni base è della forma Δ(γ) per qualche γ. Biiezione fra l'insieme delle camere di Weyl e l'insieme delle basi. Gruppo di Weyl: definizione, esempio di sl(n). Una riflessione rispetto a una radice semplice permuta le altre radici positive. L'elemento δ, azioni delle riflessioni semplici su di esso. Ogni radice è elemento di qualche base.
21.11.2019. Risoluzione di esercizi in aula. Il gruppo di Weyl è generato dalle riflessioni semplici e agisce in modo transitivo sull'insieme delle basi. Definizione di lunghezza di un elemento di W, esempi.
25.11.2019. Teorema: la lunghezza di un elemento è il numero di radici positive che cambiano segno. Corollario: il gruppo di Weyl agisce in modo semplicemente transitivo sull'insieme delle basi. Camera fondamentale. La chiusura della camera fondamentale è un dominio fondamentale per l'azione del gruppo di Weyl su E. Matrice di Cartan, grafo di Coxeter, diagramma di Dynkin di un sistema di radici. Esempi.
26.11.2019. Il diagramma di Dynkin determina il sistema di radici a meno di isomorfismi. Sistemi di radici irridicubili e diagrammi di Dynkin connessi: elenco dei tipi An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8, F4, G2. Teorema: questi sono tutti e soli i diagrammi di Dynkin connessi. Inizio della dimostrazione.
28.11.2019. Risoluzione di esercizi in aula. Fine della dimostrazione.
2.12.2019. Esistenza di un'algebra di Lie semisemplice avente un sistema di radici dato (Teorema di Serre). Inizio della dimostrazione: definizione dell'algebra di Lie libera su certi generatori, e definizione di algebra di Lie data per generatori e relazioni. Le relazioni di Serre: dimostrazione che valgono in un'algebra di Lie semisemplice.
3.12.2019. Algebra di Lie L0 in cui valgono solo le relazioni (S1), (S2), (S3). Definizione di una sua rappresentazione, con dimostrazione che l'azione passa dall'algebra di Lie libera al suo quoziente L0. Proprietà dei generatori visti come elementi di L0: inizio della dimostrazione.
5.12.2019. Risoluzione di esercizi in aula.
9.12.2019. Fine della dimostrazione delle proprietà dei generatori di L0. Per la dimostrazione del Teorema di Serre: esponenziali di endomorfismi nilpotenti, proprietà. Studio di sl(2): proprietà degli elementi exp(e)exp(-f)exp(e), exp(ad(e))exp(-ad(f))exp(ad(e)), e dell'elemento exp(φ(e))exp(-φ(f))exp(φ(e)) dove φ è una rappresentazione di sl(2).
10.12.2019. Inizio della dimostrazione del Teorema di Serre.
12.12.2019. Risoluzione di esercizi in aula. Passo 8 della dimostrazione del Teorema di Serre.
16.12.2019. Fine della dimostrazione del Teorema di Serre. Unicità dell'algebra di Lie semisemplice con un sistema di radici dato. Indipendenza del sistema di radici dalla sottoalgebra torale massimale (senza dimostrazione). Definizione di algebra universale inviluppante, proprietà universale. Teorema di Poncaré-Birkhoff-Witt (senza dimostrazione). Proprietà universale dell'algebra di Lie libera.
17.12.2019. Rappresentazioni di algebre di Lie semisemplici. Vettori massimali e moduli ciclici standard. Proprietà, peso più alto. Esempi. Classificazione dei moduli irriducibili ciclici standard tramite il loro peso più alto: unicità ed esistenza.
19.12.2019. Risoluzione di esercizi in aula. Classificazione dei moduli irriducibili di dimensione finita (integralità e dominanza del peso più alto), esempi. Descrizione dell'insieme dei pesi di un tale modulo.