Orario lezioni: martedì ore 9-11, mercoledì ore 12-14, giovedì ore 9-11
Aula 4, Nuovo Edificio di Fisica
Ricevimento studenti nel primo semestre: mercoledì ore 10.30-12 nello Studio N. 8 del Dipartimento di Matematica e per appuntamento.
Ricevimento studenti nel secondo semestre: martedì ore 11.30-13 nello Studio N. 8 del Dipartimento di Matematica e per appuntamento.
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 23-9-2015
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 26-6-2015
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 12-5-2015
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 10-2-2015
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 27-1-2015
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Seconda Prova Scritta d'Esonero , Elenco
degli Studenti esonerati dalla Prova Scritta d'Esame
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti ammessi alla Seconda Prova Scritta d'Esonero
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello di Geometria
(Lettere A-Ca) di settembre avranno inizio venerdì 25 settembre, alle ore
AVVISO: La Prova Scritta dell’Appello di Geometria
(Lettere A-Ca) di settembre avrà luogo mercoledì 23 settembre, dalle ore 9 alle
ore
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello estivo di Geometria ( Lettere A-Ca)
avranno inizio mercoledì 1° luglio, alle ore
AVVISO: Venerdì 26 giugno 2015, dalle ore 9 alle ore 12, avrà luogo
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello Straordinario di Geometria avranno inizio martedì 26 maggio, nello Studio N. 8 di Matematica, alle ore 11.35. Dalle ore 11.30 alle ore 11.35 dello stesso giorno gli studenti interessati potranno prendere visione dei loro elaborati relativi alla Prova Scritta del giorno 12 maggio.
AVVISO: Martedì 12 maggio 2015, dalle ore 11 alle ore
AVVISO: Le Prove Orali di
Geometria del II Appello avranno inizio venerdì 13 febbraio alle ore
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali di Geometria del 3 febbraio avranno luogo in Aula 2 del Dipartimento di Matematica.
AVVISO: Le Prove Orali di Geometria del 30 gennaio avranno luogo in Aula 8 del Nuovo Edificio di Fisica.
AVVISO: Le Prove Orali di
Geometria del I Appello avranno inizio giovedì 29 gennaio alle ore
AVVISO:
AVVISO: Lunedì 19 gennaio 2015, dalle ore 9 alle ore 12, avrà luogo
AVVISO: Mercoledì 17 dicembre, mercoledì 7 gennaio, mercoledì 14 gennaio e
mercoledì 21 gennaio la lezione di Geometria avrà luogo dalle ore 11 alle ore
AVVISO:
Durante il mese di novembre la lezione di Geometria del mercoledì avrà luogo
dalle ore 9 alle ore
AVVISO: Martedì 25 novembre 2014, dalle ore 8 alle ore 10.45, avrà luogo
Prenotazione
primo esonero (Prof. R. Mazzocco).
Norme d'esame per l'anno accademico 2014-2015
Programma
per l'anno accademico 2014-2015
Dal 30 settembre
al 2 ottobre 2014:
Richiami
sugli insiemi numerici N, Z, Q, R. Struttura di anello commutativo di Z.
Struttura di campo di Q e di R. Definizione e generalità sui numeri complessi.
Operazioni sui numeri complessi. Struttura di campo dell'insieme C dei numeri
complessi. Cenni sui campi finiti e sul corpo H dei quaternioni.
Digressione
sul prodotto cartesiano di insiemi. Insieme delle n-ple ordinate di elementi di
un campo K. Somma di due n-ple ordinate e sue proprietà. Prodotto di un
elemento di K per una n-pla ordinata e sue proprietà. Definizione assiomatica
di spazio vettoriale su un campo K. Struttura di spazio vettoriale, sul campo
K, dell’insieme delle n-ple ordinate di elementi di K. Matrici a elementi in un
campo K. Righe e colonne di una matrice. Matrici rettangolari e matrici
quadrate. Matrici nulle. Matrice opposta di una matrice assegnata. Matrici a
scala e loro pivots. Matrice trasposta di una matrice assegnata. Matrici
simmetriche. Matrici antisimmetriche. Matrici triangolari. Matrici diagonali.
Matrici scalari. Matrici unità.
Somma di
due matrici aventi lo stesso numero m di righe ed n di colonne. Proprietà della
somma di matrici. Prodotto di un elemento del campo K per una matrice ad
elementi nel campo K e sue proprietà. Struttura di spazio vettoriale
dell’insieme delle matrici con m righe ed n colonne ad elementi in un campo K.
Matrice trasposta della somma di due matrici. Matrice trasposta del prodotto di
un elemento del campo K per una matrice ad elementi nel campo K. Decomposizione
di una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica e di una matrice
antisimmetrica. Prodotto di una matrice riga per una matrice colonna e sue proprietà.
Prodotto (righe per colonne) di due matrici moltiplicabili. Proprietà del
prodotto di matrici. Struttura di anello dell'insieme delle matrici quadrate
d'ordine n ad elementi in un campo K. Struttura di algebra dell’insieme delle
matrici quadrate d’ordine n ad elementi in un campo K. Potenze ad esponente
intero positivo di una matrice quadrata. Matrici nilpotenti. Espressioni
polinomiali di una matrice quadrata. Matrici invertibili. Unicità della matrice
inversa di una matrice invertibile. Caratterizzazione delle matrici
invertibili. Gruppo lineare d'ordine n su un campo K.
Dal 7 ottobre al
9 ottobre 2014:
Potenze
ad esponente intero negativo di una matrice invertibile. Invertibilità della
matrice trasposta di una matrice invertibile. Matrici ortogonali. Gruppo
ortogonale d'ordine n. Struttura del gruppo ortogonale per n=1 e per n=2.
Sistemi di equazioni lineari a coefficienti in un campo K. Soluzioni di un
sistema di equazioni lineari. Compatibilità di un sistema di equazioni lineari.
Sistemi di equazioni lineari determinati. Sistemi di equazioni lineari
indeterminati. Sistemi di equazioni lineari incompatibili o impossibili.
Matrice dei coefficienti, o matrice incompleta, e matrice dei coefficienti e
dei termini noti, o matrice completa, di un sistema di equazioni lineari.
Scrittura matriciale di un sistema di equazioni lineari. Sistemi di equazioni
lineari omogenei. Soluzione nulla o banale di un sistema di equazioni lineari
omogeneo. Sistema di equazioni lineari omogeneo associato ad un sistema di equazioni
lineari. Teorema di struttura dell’insieme delle soluzioni di un sistema di
equazioni lineari.
Risoluzione
dei sistemi di equazioni lineari a scala. Sistemi di equazioni lineari
equivalenti. Operazioni elementari sui sistemi di equazioni lineari che
permettono di ottenere sistemi di equazioni lineari equivalenti. Metodo o
algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan per la risoluzione dei sistemi di
equazioni lineari.
Riduzione
a scala di una matrice. Rango di una matrice come numero dei pivots di una sua
riduzione a scala. Matrici non singolari. Teorema di Rouché-Capelli. Condizione
necessaria e sufficiente affinché un sistema di equazioni lineari quadrato
ammetta una sola soluzione. Condizione necessaria e sufficiente affinché un
sistema di equazioni lineari omogeneo ammetta soluzioni non banali. Risoluzione
dei sistemi di equazioni lineari triangolari inferiori. Metodo di eliminazione
di Gauss-Jordan all’indietro. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari col
doppio metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Invertibilità delle matrici non
singolari.
Dal 14 ottobre al
16 ottobre 2014:
Non
singolarità della matrice trasposta e della matrice inversa di una matrice non
singolare. Determinazione della matrice inversa di una matrice invertibile. Risoluzione
dei sistemi lineari quadrati, con matrice dei coefficienti non singolare, con
l’uso della matrice inversa. Rango delle matrici dipendenti da un parametro.
Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro. Spazio
vettoriale nullo. Spazio vettoriale K[x] dei polinomi in una indeterminata a
coefficienti in un campo K. Spazio vettoriale F(X,K) delle funzioni di un
insieme X a valori in un campo K.
Segmenti
orientati o vettori applicati. Segmenti orientati degeneri. Digressione sulle
relazioni di equivalenza. Relazione di equipollenza tra segmenti orientati.
Vettori geometrici o liberi. Vettore geometrico nullo. Vettore geometrico
opposto di un vettore geometrico assegnato. Vettori geometrici paralleli.
Vettori geometrici complanari. Proprietà dei vettori geometrici. Somma di due
vettori geometrici. Proprietà della somma di vettori geometrici. Prodotto di
uno scalare reale per un vettore geometrico. Proprietà del prodotto di uno
scalare reale per un vettore geometrico. Differenza di due vettori geometrici.
Struttura di spazio vettoriale dell’insieme
dei vettori geometrici. Alcune proprietà degli spazi vettoriali
deducibili dagli assiomi.
Struttura
di spazio vettoriale, su un sottocampo di K, di uno spazio vettoriale su K.
Prodotto cartesiano di due spazi vettoriali su uno stesso campo K. Sottospazi
vettoriali di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali impropri o banali.
Alcune proprietà dei sottospazi vettoriali. Esempi notevoli di sottospazi
vettoriali di spazi vettoriali. Sottovarietà lineari affini di uno spazio
vettoriale. Esempi notevoli di sottovarietà lineari affini di uno spazio
vettoriale. Intersezione di due sottospazi vettoriali di uno stesso spazio
vettoriale.
Dal 21 ottobre al
23 ottobre 2014:
Somma di
due sottospazi vettoriali di uno stesso spazio vettoriale. Somma diretta di due
sottospazi vettoriali. Proprietà della somma diretta di sottospazi vettoriali.
Sottospazi vettoriali supplementari. Esempi di somme e di somme dirette di
sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari di vettori. Sottospazio vettoriale
generato da un numero finito di vettori e proprietà relative. Sistemi (finiti)
di generatori di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati.
Sistemi infiniti di generatori di spazi vettoriali non finitamente generati. Esempi di spazi vettoriali finitamente
generati e di spazi vettoriali non finitamente generati.
Vettori
linearmente dipendenti. Vettori linearmente indipendenti. Proprietà dei vettori
linearmente dipendenti. Esempi notevoli di vettori linearmente dipendenti.
Proprietà dei vettori linearmente indipendenti. Esempi notevoli di vettori
linearmente indipendenti. Sistemi liberi di vettori di spazi vettoriali non
finitamente generati. Basi (finite) di uno spazio vettoriale. Coordinate di un
vettore rispetto ad una base assegnata. Esempi notevoli di basi di spazi
vettoriali finitamente generati. Basi infinite di spazi vettoriali non
finitamente generati. Esempi notevoli di basi di spazi vettoriali non
finitamente generati. Teorema dell'esistenza di basi di uno spazio vettoriale
finitamente generato. Metodo degli scarti successivi per l’estrazione di una
base da un sistema finito di generatori.
Traduzione
scalare di una uguaglianza vettoriale. Coordinate della somma di due vettori e
del prodotto di uno scalare per un vettore. Coordinate di una combinazione
lineare di vettori. Condizione analitica per la dipendenza lineare di un numero
finito di vettori. Massimo numero di vettori linearmente indipendenti in uno
spazio vettoriale avente una base finita. Dimensione di uno spazio vettoriale.
La dimensione di uno spazio vettoriale come numero massimo di vettori
linearmente indipendenti estraibili da un sistema di generatori. La dimensione
di uno spazio vettoriale come numero massimo di vettori linearmente indipendenti
dello spazio vettoriale. Dimensione di alcuni esempi notevoli di spazi
vettoriali. Dimensione infinita degli spazi vettoriali non finitamente
generati: il caso di K[x].
Dal 28 ottobre al
30 ottobre 2014:
Condizioni
affinché n vettori di uno spazio vettoriale di dimensione n costituiscano una
base. Teorema del completamento della base. Dimensione e codimensione dei
sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Sistemi di
generatori di una somma di sottospazi vettoriali di dimensione finita. Basi di
una somma diretta di sottospazi vettoriali di dimensione finita. Condizioni
affinché una somma di sottospazi vettoriali sia diretta. Formula di Grassmann vettoriale.
Spazio
delle righe di una matrice. Rango per righe di una matrice. Spazio delle
colonne di una matrice. Rango per colonne di una matrice. Teorema
sull’uguaglianza dei ranghi per righe e per colonne di una matrice (soltanto
cenni della dimostrazione). Rango di una matrice. Rango di una matrice
trasposta di una matrice assegnata. Algoritmo di Gauss-Jordan per l'estrazione
di una base da un sistema di generatori. Equazioni parametriche e cartesiane di
un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale di dimensione finita;
eliminazione dei parametri.
Ancora
sulla rappresentazione dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di
dimensione finita. Equazioni cartesiane dell’intersezione e della somma di due
sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Dal 4 novembre al
5 novembre 2014:
Definizione
di determinante per le matrici quadrate del primo, del secondo e del terzo
ordine. Digressione sulle permutazioni di n elementi. Segno di una
permutazione. Sostituzione associata ad una permutazione. Segno di una
sostituzione. Cenni sui gruppi di
sostituzioni e sui gruppi alterni. Definizione di determinante di una matrice
quadrata d'ordine n. Sottomatrici e minori di una matrice. Minore complementare
di un elemento di una matrice quadrata. Complemento algebrico o cofattore di un
elemento di una matrice quadrata. Formula o regola di Laplace per il calcolo
del determinante di una matrice quadrata (senza dimostrazione). Determinante di
una matrice trasposta di una matrice assegnata. Determinante di una matrice
triangolare. Teorema fondamentale sul determinante.
Ancora sul teorema fondamentale sul determinante. Corollario del teorema fondamentale sul determinante. Teorema di caratterizzazione delle matrici non singolari come matrici a determinante non nullo. Teorema di unicità della funzione determinante. Teorema di Binet (soltanto enunciato). Determinante della matrice inversa di una matrice invertibile assegnata. Invertibilità di una matrice ammettente un'inversa destra oppure sinistra.
Dal 11 novembre
al 13 novembre 2014:
Rango di
una sottomatrice di una matrice. Teorema di caratterizzazione del rango di una
matrice come ordine massimo delle sottomatrici quadrate a determinante non
nullo (soltanto enunciato) e suo corollario. Teorema di Kronecker o delle
sottomatrici quadrate orlate per il calcolo del rango di una matrice (soltanto
enunciato). Uso dei determinanti nello studio dei sottospazi vettoriali di uno
spazio vettoriale di dimensione finita.
Calcolo
della matrice inversa di una matrice invertibile con l'uso dei determinanti.
Formula di Cramer per la risoluzione dei sistemi quadrati di equazioni lineari
con matrice dei coefficienti a determinante non nullo. Risoluzione dei sistemi
di n-1 equazioni lineari omogenee in n incognite con matrice dei coefficienti
di rango massimo.
Risoluzione
di un sistema qualunque di equazioni lineari con l'uso dei determinanti.
Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro con
l'uso dei determinanti.
Dal 18 novembre
al 20 novembre 2014
Ancora
sulla risoluzione dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro
con l'uso dei determinanti. Risoluzione di esercizi ricapitolativi.
Ancora
sulla risoluzione di esercizi ricapitolativi. Definizione assiomatica di spazio
affine associato ad uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio affine,
rette e piani affini. Esempi notevoli di spazi affini: spazio affine ordinario;
spazi affini vettoriali; spazi affini numerici su un campo K.
Prime proprietà degli spazi affini. Riferimenti affini di uno spazio affine di dimensione finita. Coordinate affini di punto. Coordinate di un vettore individuato da due punti. Significato delle coordinate affini di punto nel caso dello spazio affine ordinario, nel caso di uno spazio affine vettoriale e nel caso di uno spazio affine numerico. Sottospazi affini di uno spazio affine. Giacitura e dimensione di un sottospazio affine. Codimensione di un sottospazio affine di uno spazio affine di dimensione finita. Iperpiani. Il caso dei sottospazi affini di dimensione due, uno e zero. Direzione e vettori direttori di un sottospazio affine di dimensione uno o retta. Sottospazi affini dello spazio affine ordinario. Sottospazi affini di uno spazio affine vettoriale.
Dal 26 novembre
al 27 novembre 2014
Prime proprietà dei sottospazi affini.
Sottospazio affine generato da m+1 punti. Punti indipendenti. Punti dipendenti.
Punti allineati. Punti complanari. Esempi di punti dipendenti e di punti
indipendenti. Massimo numero di punti indipendenti in uno spazio affine di
dimensione finita. Esistenza ed unicità della retta passante per due punti.
Equazioni parametriche di un sottospazio affine. Equazioni cartesiane di un
sottospazio affine. Eliminazione dei parametri.
Il caso
degli iperpiani. Iperpiani coordinati. Stella di iperpiani con vertice in un
punto assegnato. Parametri direttori di una retta. Equazioni in forma di
rapporti uguali di una retta. Stella di rette con vertice in un punto
assegnato. Parallelismo di due sottospazi affini. Coefficienti di giacitura di
un iperpiano. Condizione di parallelismo di due iperpiani. Condizione di
parallelismo di una retta e di un iperpiano. Condizione di parallelismo di due
rette.
Dal 2 dicembre al
4 dicembre 2014
Proprietà
dei sottospazi affini paralleli. Teorema di esistenza ed unicità di un
sottospazio affine passante per un punto e parallelo ad un sottospazio affine
della stessa dimensione. Intersezione di sottospazi affini. Sottospazi affini
incidenti. Sottospazi affini sghembi. Punto medio di due punti. Baricentro
(geometrico) di m punti. Segmenti, triangoli, parallelogrammi, tetraedri,
parallelepipedi, m-simplessi e m-parallelepipedi di uno spazio affine reale di
dimensione qualunque. Figure convesse. Inviluppo o involucro convesso di una
figura. Condizione di allineamento di tre punti e rappresentazione parametrica
e cartesiana di una retta di un piano affine. Parametri direttori e
coefficiente direttore di una retta assegnata mediante un'equazione cartesiana.
Parallelismo ed intersezione di rette di un piano affine.
Equazioni
cartesiane di un punto in un piano affine. Casi particolari dell'equazione
cartesiana di una retta. Fasci propri di rette. Fasci impropri di rette. La
direzione di una retta vista come punto improprio della retta. Cenni sulla
retta impropria di un piano affine. Il fascio improprio di rette visto come
fascio di rette passanti per il punto improprio delle rette. Condizione di
complanarità di quattro punti in uno spazio affine tridimensionale.
Rappresentazione parametrica e cartesiana di un piano di uno spazio affine
tridimensionale. Equazione cartesiana della stella di piani di vertice in un
punto. Condizioni di allineamento di tre punti e rappresentazione parametrica e
cartesiana di una retta di uno spazio affine tridimensionale. Equazioni
cartesiane in forma di rapporti uguali della stella di rette di vertice in un
punto. Parametri direttori di una retta assegnata mediante equazioni
cartesiane. Parallelismo ed intersezione di piani. Parallelismo ed intersezione
di rette e piani. Piano per un punto parallelo a due rette non parallele.
Equazioni
cartesiane di un punto in uno spazio affine tridimensionale. Casi particolari
dell'equazione cartesiana di un piano. Fasci propri di piani. Fasci
impropri di piani. Fasci di rette su un piano di uno spazio affine
tridimensionale. Interpretazione della giacitura di un piano come retta
impropria del piano. Cenni sul piano improprio di uno spazio affine
tridimensionale. Interpretazione del fascio improprio di piani come fascio di
piani avente come asse la retta impropria dei piani. Complanarità di due rette.
Condizione di complanarità di due rette.
Dal 9 dicembre al 11 dicembre 2014
Retta
per un punto complanare con due rette sghembe. Retta per un punto parallela a
due piani non paralleli. Retta per un punto incidente un’altra retta e
parallela ad un piano. Retta incidente due rette sghembe e parallela ad una
terza retta.
Decomposizione
di un vettore nella somma di un vettore appartenente alla giacitura di un piano
e di un vettore appartenente alla direzione di una retta non parallela al
piano. Cambiamento di basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Matrice associata ad un cambiamento di basi. Formule di trasformazione di
coordinate di vettore. Basi equiverse di uno spazio vettoriale reale di
dimensione finita. Orientazioni di uno spazio vettoriale reale di dimensione finita.
Il caso degli spazi vettoriali geometrici di una retta, di un piano e dello
spazio affine ordinario. Cambiamento di riferimenti affini di uno spazio affine
di dimensione finita. Formule di trasformazione di coordinate affini di punto.
Casi particolari di cambiamenti di riferimenti affini. Orientazioni di uno
spazio affine reale di dimensione finita.
Applicazioni
lineari tra spazi vettoriali. Caratterizzazione delle applicazioni lineari.
Proprietà delle applicazioni lineari. Applicazioni lineari surgettive,
applicazioni lineari iniettive, isomorfismi tra spazi vettoriali. Esempi
notevoli di applicazioni lineari. Forme e funzionali lineari. Esempi notevoli
di forme lineari e di funzionali lineari. Endomorfismi o operatori lineari di
uno spazio vettoriale. Esempi notevoli di endomorfismi di uno spazio
vettoriale. Struttura di spazio vettoriale dell'insieme Hom(V,W) delle
applicazioni lineari di V in W. Digressione sul prodotto operatorio di
applicazioni tra insiemi e proprietà relative. Prodotto operatorio di
applicazioni lineari. Struttura di algebra dell'insieme End(V) degli
endomorfismi di uno spazio vettoriale V. Isomorfismo inverso di un isomorfismo
assegnato. Automorfismi o trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale V.
Gruppo lineare GL(V) degli automorfismi di uno spazio vettoriale V. Teorema
fondamentale sulle applicazioni lineari.
Dal 16 dicembre
al 18 dicembre 2014
Nucleo
ed immagine di un'applicazione lineare. Teorema sulle dimensioni del nucleo e
dell'immagine di un'applicazione lineare avente come dominio uno spazio
vettoriale di dimensione finita (dimostrazione facoltativa). Condizioni
necessarie e sufficienti affinché un'applicazione lineare tra spazi vettoriali
aventi la stessa dimensione finita sia un isomorfismo. Condizione necessaria e
sufficiente affinché due spazi vettoriali di dimensione finita siano isomorfi.
Matrice associata ad un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali V e W, di
dimensioni finite n ed m, rispetto a due basi assegnate. Equazione matriciale
di un'applicazione lineare. Equazioni cartesiane di un'applicazione lineare.
Uso della matrice associata ad un'applicazione lineare per lo studio della
iniettività e della surgettività dell'applicazione. Caratterizzazione di un
isomorfismo tra spazi vettoriali in termini della matrice associata. Cenni
sull'isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,W) e lo spazio vettoriale delle
matrici ad elementi in K con m righe ed n colonne.
Matrice
associata al prodotto operatorio di due applicazioni lineari. Matrice associata
all'isomorfismo inverso di un isomorfismo assegnato. Formula di trasformazione
della matrice associata ad un'applicazione lineare. Matrici simili e loro
rango. Invarianti di una matrice per coniugazione. Matrici congruenti e loro
rango.
Matrice associata ad un endomorfismo di uno
spazio vettoriale rispetto ad una base assegnata. Cenni sull'isomorfismo tra
l'algebra End(V) e l'algebra delle matrici quadrate d'ordine n ad elementi in
K. Formula di trasformazione della matrice associata ad un endomorfismo di uno
spazio vettoriale. Endomorfismi diagonalizzabili. Matrici diagonalizzabili.
Autovettori ed autovalori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale.
Autovettori ed autovalori di una matrice quadrata. Diagonalizzabilità e basi di
autovettori di un endomorfismo e di una matrice quadrata. Spettro di un
endomorfismo e di una matrice quadrata. Autospazio associato ad un autovalore.
Proprietà degli autovettori e degli autovalori. Esempi notevoli di endomorfismi
diagonalizzabili e di endomorfismi non diagonalizzabili. Proprietà di
autovettori associati ad autovalori distinti. Criterio di diagonalizzabilità
degli endomorfismi e delle matrici.
Dal 7 gennaio al
8 gennaio 2015
Equazioni
cartesiane di un autospazio. Polinomio caratteristico di una matrice quadrata.
Invarianza per coniugazione del polinomio caratteristico di una matrice
quadrata e dei suoi coefficienti. Polinomio caratteristico di un
endomorfismo. Equazione caratteristica.
Calcolo degli autovalori di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Digressione sulla molteplicità delle soluzioni di un’equazione algebrica e sul
teorema fondamentale dell’algebra; campi algebricamente chiusi. Molteplicità
algebrica e geometrica di un autovalore. Proprietà delle molteplicità algebrica
e geometrica degli autovalori. Condizione
necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo o una matrice quadrata sia
diagonalizzabile (dimostrazione facoltativa della condizione necessaria).
Forme
bilineari. Cenni sulle forme multilineari. Proprietà delle forme bilineari.
Forme bilineari simmetriche. Esempi notevoli di forme bilineari simmetriche.
Forme bilineari simmetriche non degeneri. Esempi notevoli di forme bilineari
simmetriche non degeneri. Esempi notevoli di forme bilineari simmetriche
degeneri.
Dal 13 gennaio al
15 gennaio 2015
Forma
quadratica associata ad una forma bilineare. Proprietà delle forme quadratiche.
Forma bilineare simmetrica polare di una forma quadratica. Ortogonalità di due
vettori rispetto ad una forma bilineare simmetrica. Vettori isotropi.
Sottospazio vettoriale ortogonale ad un sottoinsieme. Sottospazi vettoriali
ortogonali. Matrice associata ad una forma bilineare, rispetto ad una base, di
uno spazio vettoriale di dimensione finita; il caso delle forme bilineari
simmetriche. Matrice associata ad una forma quadratica, rispetto ad una base,
di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Formula di trasformazione della
matrice associata ad una forma bilineare. Rango di una forma bilineare di uno
spazio vettoriale di dimensione finita. Condizione necessaria e sufficiente
affinché una forma bilineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita sia
non degenere (soltanto enunciato). Forme bilineari simmetriche reali definite
positive, semidefinite positive, definite negative, semidefinite
negative e non definite. Criterio di positività di Hurewicz di una forma
bilineare simmetrica reale di uno spazio vettoriale reale di dimensione finita
(soltanto enunciato). Prodotti scalari. Esempi notevoli di prodotti scalari.
Pseudoprodotti scalari. Esempi notevoli di pseudoprodotti scalari.
Pseudoprodotto scalare di Minkowski. Pseudoprodotti scalari di Lorentz. Vettori
tipo spazio, vettori tipo luce e vettori tipo tempo.
Spazi vettoriali euclidei ovvero spazi vettoriali reali dotati di prodotto scalare. Esempi notevoli di spazi vettoriali euclidei. Modulo di un vettore. Proprietà del modulo di un vettore. Disuguagianza di Cauchy-Schwarz (dimostrazione facoltativa). Alcune applicazioni della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in Analisi Matematica. Disuguaglianza triangolare. Angolo convesso di due vettori. Proprietà di vettori ortogonali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.Vettori unitari. Basi ortonormali e loro uso. Significato dei coefficienti dell'equazione cartesiana di un iperpiano vettoriale rispetto ad una base ortonormale. Cambiamento di basi ortonormali e matrici ortogonali.
Decomposizione di uno spazio vettoriale euclideo nella somma diretta di due sottospazi vettoriali ortogonali. Proiezione ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo su un sottospazio vettoriale. Simmetria ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo rispetto ad un sottospazio vettoriale; il caso particolare in cui il sottospazio vettoriale sia una retta o un iperpiano vettoriale.
Dal 20 gennaio al
22 gennaio 2015
Prodotto vettoriale di due vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale di due vettori linearmente indipendenti. Prodotto misto di tre vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto misto. Significato geometrico del segno del prodotto misto di tre vettori linearmente indipendenti. Significato geometrico del modulo del prodotto misto di tre vettori linearmente indipendenti. Spazio euclideo associato ad uno spazio vettoriale euclideo. Esempi notevoli di spazi euclidei. Riferimenti cartesiani di uno spazio euclideo. Cambiamenti di riferimenti cartesiani e matrici ortogonali. Distanza di due punti di uno spazio euclideo. Proprietà della distanza. Digressione sugli spazi metrici. Uso delle coordinate cartesiane di punto per il calcolo della distanza di due punti. Sfere e dischi di uno spazio euclideo n-dimensionale. Versori di una retta. Versore di una retta orientata. Angolo convesso di due rette orientate. Condizione di perpendicolarità di due rette di uno spazio euclideo di dimensione finita. Vettori normali ad un iperpiano. Condizione di perpendicolarità tra retta e iperpiano. Versori normali ad un iperpiano.
Distanza di un punto da un iperpiano. Distanza di due iperpiani paralleli. Distanza di un punto da una retta. Distanza di due rette parallele. Angoli tra iperpiani. Condizione di perpendicolarità di due iperpiani. Angoli tra rette e iperpiani. Geometria di un piano euclideo: distanze, angoli, perpendicolarità, area di parallelogrammi e di triangoli. Geometria di uno spazio euclideo tridimensionale: distanze, angoli, perpendicolarità, retta incidente e perpendicolare a due rette sghembe, distanza di due rette sghembe, area di parallelogrammi e di triangoli, volume di parallelepipedi e di tetraedri. Cenni sul volume di un n-parallelepipedo in uno spazio euclideo di dimensione n.
Risoluzione
di esercizi ricapitolativi.