Orario lezioni: mercoledì ore 9-11, giovedì ore 11-13, venerdì ore 9-11
Aula 6, Nuovo Edificio di Fisica
Ricevimento studenti nel primo semestre: giovedì ore 9.30-11 nello Studio N. 8 del Dipartimento di Matematica e per appuntamento.
Ricevimento studenti nel secondo semestre: giovedì ore 11.30-13 nello Studio N. 8 del Dipartimento di Matematica e per appuntamento.
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 23-9-2014
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 20-6-2014
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 12-2-2014
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 29-1-2014
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Seconda Prova Scritta d'Esonero , Elenco
degli Studenti esonerati dalla Prova Scritta d'Esame
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti ammessi alla Seconda Prova Scritta d'Esonero
AVVISO: Lunedì 10 novembre 2014, dalle ore 9 alle ore 11.45, in Aula B del
Dipartimento di Matematica avrà luogo
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello di Geometria
(Lettere A-Co) di settembre avranno inizio giovedì 25 settembre, alle ore
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello di giugno di Geometria ( Lettere A-Co)
avranno inizio mercoledì 25 giugno, alle ore
AVVISO: Venerdì 20 giugno 2014, dalle ore 9 alle ore 12, avrà luogo
AVVISO: Mercoledì 21 maggio 2014, dalle ore 9 alle ore
AVVISO: Le Prove Orali del II Appello avranno inizio
venerdì 14 febbraio, in Aula Majorana, alle ore 9.30 seguendo un diario d'esami
che sarà concordato con i candidati. Dalle ore 9 alle ore 9.30 dello stesso
giorno gli studenti interessati potranno prendere visione dei loro elaborati
relativi alla Prova Scritta del giorno 12 febbraio.
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali del I Appello avranno inizio
venerdì 31 gennaio alle ore
AVVISO:
AVVISO: Martedì 14 gennaio e martedì 21 gennaio 2014, dalle ore 11 alle ore 13, avranno luogo due Lezioni Straordinarie di Geometria (Lettere A-Co) in Aula 6.
AVVISO: Martedì 21 gennaio 2014 dalle ore 15 alle ore
AVVISO: Giovedì 23 gennaio 2014, dalle ore 11 alle ore 13.45, avrà luogo
AVVISO: Mercoledì 20 novembre 2013 dalle ore 16 alle ore
AVVISO: Giovedì 21 novembre 2013, dalle ore 11 alle ore 13.45, avrà luogo
Gli studenti aventi diritto a partecipare a tale prova devono prenotarsi entro Lunedi' 18 al seguente link:
Prenotazione
primo esonero (Prof. R. Mazzocco).
Norme d'esame per l'anno accademico 2013-2014
Programma
per l'anno accademico 2013-2014
Dal 2 ottobre al
4 ottobre 2013:
Richiami
sugli insiemi numerici N, Z, Q, R. Struttura di anello commutativo di Z.
Struttura di campo di Q e di R. Definizione e generalità sui numeri complessi.
Operazioni sui numeri complessi. Struttura di campo dell'insieme C dei numeri
complessi. Cenni sui campi finiti e sul corpo H dei quaternioni.
Digressione sul prodotto cartesiano di
insiemi. Insieme delle n-ple ordinate di elementi di
un campo K. Somma di due n-ple ordinate e sue
proprietà. Prodotto di un elemento di K per una n-pla
ordinata e sue proprietà. Definizione assiomatica di spazio vettoriale su un
campo K. Struttura di spazio vettoriale, sul campo K, dell’insieme delle n-ple ordinate di elementi di K. Matrici a elementi in un
campo K. Righe e colonne di una matrice. Matrici rettangolari e matrici
quadrate. Matrici nulle. Matrice opposta di una matrice assegnata. Matrici a
scala e loro pivots. Matrice trasposta di una matrice
assegnata. Matrici simmetriche. Matrici antisimmetriche. Matrici triangolari.
Matrici diagonali. Matrici scalari. Matrici unità.
Somma di
due matrici aventi lo stesso numero m di righe ed n di colonne. Proprietà della
somma di matrici. Prodotto di un elemento del campo K per una matrice ad
elementi nel campo K e sue proprietà. Struttura di spazio vettoriale
dell’insieme delle matrici con m righe ed n colonne ad elementi in un campo K.
Matrice trasposta della somma di due matrici. Matrice trasposta del prodotto di
un elemento del campo K per una matrice ad elementi nel campo K. Decomposizione
di una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica e di una matrice
antisimmetrica. Prodotto di una matrice riga per una matrice colonna e sue
proprietà. Prodotto (righe per colonne) di due matrici moltiplicabili.
Proprietà del prodotto di matrici. Struttura di anello dell'insieme delle
matrici quadrate d'ordine n ad elementi in un campo K. Struttura di algebra
dell’insieme delle matrici quadrate d’ordine n ad elementi in un campo K.
Potenze ad esponente intero positivo di una matrice quadrata. Matrici
nilpotenti. Espressioni polinomiali di una matrice quadrata.
Dal 9 ottobre al 11 ottobre 2013:
Matrici invertibili.
Unicità della matrice inversa di una matrice invertibile. Caratterizzazione
delle matrici invertibili. Gruppo lineare d'ordine n su un campo K. Potenze ad
esponente intero negativo di una matrice invertibile. Invertibilità della
matrice trasposta di una matrice invertibile. Matrici ortogonali. Gruppo
ortogonale d'ordine n. Struttura del gruppo ortogonale per n=1 e per n=2.
Sistemi di equazioni lineari a coefficienti in un campo K. Soluzioni di un
sistema di equazioni lineari. Compatibilità di un sistema di equazioni lineari.
Sistemi di equazioni lineari determinati. Sistemi di equazioni lineari
indeterminati. Sistemi di equazioni lineari incompatibili o impossibili.
Matrice dei coefficienti, o matrice incompleta, e matrice dei coefficienti e dei
termini noti, o matrice completa, di un sistema di equazioni lineari. Scrittura
matriciale di un sistema di equazioni lineari.
Sistemi
di equazioni lineari omogenei. Soluzione nulla o banale di un sistema di
equazioni lineari omogeneo. Sistema di equazioni lineari omogeneo associato ad
un sistema di equazioni lineari. Teorema di struttura dell’insieme delle
soluzioni di un sistema di equazioni lineari. Risoluzione dei sistemi di
equazioni lineari a scala. Sistemi di equazioni lineari equivalenti. Operazioni
elementari sui sistemi di equazioni lineari che permettono di ottenere sistemi
di equazioni lineari equivalenti. Metodo o algoritmo di eliminazione di
Gauss-Jordan per la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari.
Riduzione
a scala di una matrice. Rango di una matrice come numero dei pivots di una sua riduzione a scala. Matrici non singolari.
Teorema di Rouché-Capelli. Condizione necessaria e
sufficiente affinché un sistema di equazioni lineari quadrato ammetta una sola
soluzione. Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di equazioni
lineari omogeneo ammetta soluzioni non banali. Risoluzione dei sistemi di
equazioni lineari triangolari inferiori. Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan
all’indietro. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari col doppio metodo di
eliminazione di Gauss-Jordan. Invertibilità delle matrici non singolari. Non
singolarità della matrice trasposta e della matrice inversa di una matrice non
singolare. Determinazione della matrice inversa di una matrice non singolare.
Dal 16 ottobre al
18 ottobre 2013:
Risoluzione
dei sistemi lineari quadrati, con matrice dei coefficienti non singolare, con
l’uso della matrice inversa. Rango delle matrici dipendenti da un parametro.
Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro. Spazio
vettoriale nullo. Spazio vettoriale K[x] dei polinomi in una indeterminata
a coefficienti in un campo K.
Spazio
vettoriale F(X,K) delle funzioni di un insieme X a
valori in un campo K. Segmenti orientati o vettori applicati. Segmenti
orientati degeneri. Digressione sulle relazioni di equivalenza. Relazione di
equipollenza tra segmenti orientati. Vettori geometrici o liberi. Vettore
geometrico nullo. Vettore geometrico opposto di un vettore geometrico
assegnato. Vettori geometrici paralleli. Vettori geometrici complanari.
Proprietà dei vettori geometrici. Somma di due vettori geometrici. Proprietà
della somma di vettori geometrici. Prodotto di uno scalare reale per un vettore
geometrico. Proprietà del prodotto di uno scalare reale per un vettore
geometrico. Differenza di due vettori geometrici. Struttura di spazio
vettoriale dell’insieme
dei vettori geometrici. Alcune proprietà degli spazi vettoriali
deducibili dagli assiomi. Struttura di spazio vettoriale, su un sottocampo di K,
di uno spazio vettoriale su K.
Prodotto
cartesiano di due spazi vettoriali su uno stesso campo K. Sottospazi vettoriali
di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali impropri o banali. Alcune
proprietà dei sottospazi vettoriali. Esempi notevoli di sottospazi vettoriali
di spazi vettoriali. Sottovarietà lineari affini di uno spazio vettoriale.
Esempi notevoli di sottovarietà lineari affini di uno spazio vettoriale. Altri
esempi notevoli di sottospazi vettoriali e di sottovarietà lineari affini di
uno spazio vettoriale. Intersezione e somma di due sottospazi vettoriali di uno
stesso spazio vettoriale.
Dal 23 ottobre al
25 ottobre 2013:
Somma
diretta di due sottospazi vettoriali. Proprietà della somma diretta di
sottospazi vettoriali. Sottospazi vettoriali supplementari. Esempi di somme e
di somme dirette di sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari di vettori.
Sottospazio vettoriale generato da un numero finito di vettori e proprietà
relative. Sistemi (finiti) di generatori di uno spazio vettoriale. Spazi
vettoriali finitamente generati. Sistemi infiniti di generatori di spazi
vettoriali non finitamente generati. Esempi
di spazi vettoriali finitamente generati e di spazi vettoriali non finitamente
generati.
Vettori
linearmente dipendenti. Vettori linearmente indipendenti. Proprietà dei vettori
linearmente dipendenti. Esempi notevoli di vettori linearmente dipendenti.
Proprietà dei vettori linearmente indipendenti. Esempi notevoli di vettori
linearmente indipendenti. Sistemi liberi di vettori di spazi vettoriali non
finitamente generati. Basi (finite) di uno spazio vettoriale. Coordinate di un
vettore rispetto ad una base assegnata. Esempi notevoli di basi di spazi
vettoriali finitamente generati. Basi infinite di spazi vettoriali non
finitamente generati. Esempi notevoli di basi di spazi vettoriali non
finitamente generati. Teorema dell'esistenza di basi di uno spazio vettoriale
finitamente generato.
Metodo
degli scarti successivi per l’estrazione di una base da un sistema finito di
generatori. Traduzione scalare di una uguaglianza
vettoriale. Coordinate della somma di due vettori e del prodotto di uno scalare
per un vettore. Coordinate di una combinazione lineare di vettori. Condizione
analitica per la dipendenza lineare di un numero finito di vettori. Massimo
numero di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale avente una
base finita. Dimensione di uno spazio vettoriale. La dimensione di uno spazio vettoriale come numero massimo
di vettori linearmente indipendenti estraibili da un sistema di generatori. La dimensione di uno spazio vettoriale come numero massimo
di vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale. Dimensione di
alcuni esempi notevoli di spazi vettoriali. Dimensione infinita degli spazi
vettoriali non finitamente generati: il caso di K[x].
Il 30 ottobre
2013:
Condizioni
affinché n vettori di uno spazio vettoriale di dimensione n costituiscano una
base. Teorema del completamento della base. Dimensione e codimensione
dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Sistemi di generatori di una somma di sottospazi vettoriali di dimensione
finita. Basi di una somma diretta di sottospazi vettoriali di dimensione
finita. Condizioni affinché una somma di sottospazi vettoriali sia diretta. Formula di Grassmann
vettoriale. Spazio delle righe di una matrice. Rango per righe di una matrice.
Spazio delle colonne di una matrice. Rango per colonne di una matrice. Teorema
sull’uguaglianza dei ranghi per righe e per colonne di una matrice (soltanto
cenni della dimostrazione). Rango di una matrice. Rango di una matrice
trasposta di una matrice assegnata.
Dal 6 novembre al 8 novembre 2013:
Algoritmo
di Gauss-Jordan per l'estrazione di una base da un sistema di generatori.
Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio vettoriale di uno spazio
vettoriale di dimensione finita; eliminazione dei parametri.
Equazioni
cartesiane dell’intersezione e della somma di due sottospazi vettoriali di uno
spazio vettoriale di dimensione finita.
Definizione di determinante per le matrici quadrate del primo, del secondo e del terzo ordine. Digressione sulle permutazioni di n elementi. Segno di una permutazione. Sostituzione associata ad una permutazione. Segno di una sostituzione. Cenni sui gruppi di sostituzioni e sui gruppi alterni. Definizione di determinante di una matrice quadrata d'ordine n. Sottomatrici e minori di una matrice. Minore complementare di un elemento di una matrice quadrata. Complemento algebrico o cofattore di un elemento di una matrice quadrata. Formula o regola di Laplace per il calcolo del determinante di una matrice quadrata (senza dimostrazione). Determinante di una matrice trasposta di una matrice assegnata. Teorema fondamentale sul determinante.
Dal 13 novembre
al 15 novembre 2013:
Corollario
del teorema fondamentale sul determinante. Teorema di caratterizzazione delle
matrici non singolari come matrici a determinante non nullo.Teorema di unicità della funzione determinante.
Teorema di Binet (soltanto enunciato). Determinante
della matrice inversa di una matrice invertibile assegnata. Invertibilità di
una matrice ammettente un'inversa destra oppure sinistra. Rango di una
sottomatrice di una matrice. Teorema di caratterizzazione del rango di una
matrice come ordine massimo delle sottomatrici quadrate a determinante non
nullo (soltanto enunciato) e suo corollario. Teorema di Kronecker
o delle sottomatrici quadrate orlate per il calcolo del rango di una matrice
(soltanto enunciato).
Uso dei
determinanti nello studio dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di
dimensione finita. Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile con
l'uso dei determinanti. Formula di Cramer per la
risoluzione dei sistemi quadrati di equazioni lineari con matrice dei
coefficienti a determinante non nullo.
Risoluzione
dei sistemi di n-1 equazioni lineari omogenee in n incognite con matrice dei
coefficienti di rango massimo. Risoluzione di un sistema qualunque di equazioni
lineari con l'uso dei determinanti.
Dal 20 novembre
al 22 novembre 2013
Risoluzione
dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro con l'uso dei
determinanti.
Risoluzione
di esercizi ricapitolativi.
Definizione assiomatica di spazio affine associato ad uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio affine, rette e piani affini. Prime proprietà degli spazi affini. Esempi notevoli di spazi affini: spazio affine ordinario; spazi affini vettoriali; spazi affini numerici su un campo K. Riferimenti affini di uno spazio affine di dimensione finita. Coordinate affini di punto. Coordinate di un vettore individuato da due punti. Significato delle coordinate affini di punto nel caso dello spazio affine ordinario, nel caso di uno spazio affine vettoriale e nel caso di uno spazio affine numerico. Sottospazi affini di uno spazio affine. Giacitura e dimensione di un sottospazio affine. Il caso dei sottospazi affini di dimensione due, uno e zero. Direzione e vettori direttori di un sottospazio affine di dimensione uno o retta.
Dal 27 novembre
al 29 novembre 2013
Sottospazi
affini dello spazio affine ordinario. Sottospazi affini di uno spazio affine
vettoriale. Prime proprietà dei sottospazi affini. Sottospazio affine generato
da m+1 punti. Punti indipendenti. Punti dipendenti. Punti allineati. Punti
complanari. Esempi di punti dipendenti e di punti indipendenti. Massimo numero
di punti indipendenti in uno spazio affine di dimensione finita. Codimensione di un sottospazio affine di uno spazio affine
di dimensione finita. Iperpiani. Equazioni parametriche di un sottospazio
affine. Parametri direttori di una retta. Equazioni parametriche di una retta.
Equazioni cartesiane di un sottospazio affine. Eliminazione dei parametri. Il
caso delle rette, dei piani e degli iperpiani. Iperpiani ed assi coordinati.
Equazioni
cartesiane in forma di rapporti uguali di una retta. Stella di rette con
vertice in un punto assegnato. Stella di iperpiani con vertice in un punto
assegnato. Parallelismo di due sottospazi affini. Condizione di parallelismo di
due rette. Proprietà dei sottospazi affini paralleli. Teorema di esistenza ed
unicità di un sottospazio affine passante per un punto e parallelo ad un
sottospazio affine della stessa dimensione. Coefficienti di giacitura di un
iperpiano. Condizione di parallelismo di due iperpiani.
Condizione
di parallelismo di una retta e di un iperpiano. Intersezione di sottospazi
affini. Sottospazi affini incidenti. Sottospazi affini sghembi. Punto medio di
due punti. Punto simmetrico di un punto rispetto ad un punto assegnato.
Baricentro (geometrico) di m punti. Semirette, segmenti, triangoli,
parallelogrammi, tetraedri, parallelepipedi, m-simplessi e m-parallelepipedi di
uno spazio affine reale di dimensione qualunque.
Dal 4 dicembre al
6 dicembre 2013
Figure
convesse. Inviluppo o involucro convesso di una figura. Condizione di
allineamento di tre punti e rappresentazione parametrica e cartesiana di una
retta di un piano affine. Parametri direttori e coefficiente direttore di una
retta assegnata mediante un'equazione cartesiana. Parallelismo ed intersezione
di rette di un piano affine. Equazioni cartesiane di un punto in un piano
affine. Casi particolari dell'equazione cartesiana di una retta. Fasci propri
di rette. Fasci impropri di rette. La direzione di una retta vista come punto
improprio della retta. Cenni sulla retta impropria di un piano affine. Il
fascio improprio di rette visto come fascio di rette passanti per il punto
improprio delle rette. Condizione di complanarità di quattro punti in uno
spazio affine tridimensionale.
Rappresentazione
parametrica e cartesiana di un piano di uno spazio affine tridimensionale.
Equazione cartesiana della stella di piani di vertice in un punto. Condizioni
di allineamento di tre punti e rappresentazione parametrica e cartesiana di una
retta di uno spazio affine tridimensionale. Equazioni cartesiane in forma di
rapporti uguali della stella di rette di vertice in un punto. Parametri
direttori di una retta assegnata mediante equazioni cartesiane. Parallelismo ed
intersezione di piani. Parallelismo ed intersezione di rette e piani. Piano per
un punto parallelo a due rette non parallele. Equazioni cartesiane di un punto
in uno spazio affine tridimensionale. Casi particolari dell'equazione
cartesiana di un piano. Fasci propri di piani. Fasci impropri di piani.
Fasci di rette su un piano di uno spazio affine tridimensionale.
Interpretazione della giacitura di un piano come retta impropria del piano.
Cenni sul piano improprio di uno spazio affine tridimensionale. Interpretazione
del fascio improprio di piani come fascio di piani avente come asse la retta
impropria dei piani. Complanarità di due rette. Condizione di complanarità di
due rette.
Dal
11 al 13 dicembre 2013
Retta
per un punto complanare con due rette sghembe. Retta per un
punto parallela a due piani non paralleli. Retta per un punto incidente
un’altra retta e parallela ad un piano. Retta incidente due
rette sghembe e parallela ad una terza retta. Decomposizione di un
vettore nella somma di un vettore appartenente alla giacitura di un piano e di
un vettore appartenente alla direzione di una retta non parallela al piano.
Cambiamento
di basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Matrice associata ad un
cambiamento di basi. Formule di trasformazione di coordinate di vettore. Basi
equiverse di uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Orientazioni di
uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Il caso degli spazi
vettoriali geometrici di una retta, di un piano e dello spazio affine
ordinario. Cambiamento di riferimenti affini di uno spazio affine di dimensione
finita. Formule di trasformazione di coordinate affini di punto. Casi
particolari di cambiamenti di riferimenti affini.
Orientazioni
di uno spazio affine reale di dimensione finita. Cenni sulle affinità di uno
spazio affine di dimensione finita. Esempi notevoli di affinità. Figure affinemente equivalenti. Esempi di figure affinemente equivalenti. Proprietà affini di una figura.
Cenni sulle equazioni canoniche affini delle coniche. Cenni sulla struttura di
gruppo dell’insieme delle affinità di uno spazio affine di dimensione finita.
Cenni sulla geometria nel senso di Klein. Applicazioni lineari tra spazi
vettoriali. Caratterizzazione delle applicazioni lineari. Proprietà delle
applicazioni lineari. Applicazioni lineari surgettive, applicazioni lineari
iniettive, isomorfismi tra spazi vettoriali. Esempi notevoli di applicazioni
lineari. Forme e funzionali lineari. Esempi notevoli di forme lineari e di
funzionali lineari. Applicazione d’inclusione. Endomorfismi o operatori lineari
di uno spazio vettoriale. Esempi notevoli di endomorfismi di uno spazio
vettoriale.
Dal 18 dicembre
al 20 dicembre 2013
Struttura
di spazio vettoriale dell'insieme Hom(V,W) delle applicazioni lineari di V in W. Digressione sul prodotto
operatorio di applicazioni tra insiemi e proprietà relative. Prodotto
operatorio di applicazioni lineari. Struttura di algebra dell'insieme End(V) degli endomorfismi di uno spazio vettoriale V.
Isomorfismo inverso di un isomorfismo assegnato. Automorfismi o trasformazioni
lineari di uno spazio vettoriale V. Gruppo lineare GL(V)
degli automorfismi di uno spazio vettoriale V. Teorema fondamentale sulle
applicazioni lineari.
Nucleo
ed immagine di un'applicazione lineare. Teorema sulle dimensioni del nucleo e
dell'immagine di un'applicazione lineare avente come
dominio uno spazio vettoriale di dimensione finita. Condizioni necessarie e
sufficienti affinché un'applicazione lineare tra spazi vettoriali aventi la
stessa dimensione finita sia un isomorfismo. Condizione necessaria e
sufficiente affinché due spazi vettoriali di dimensione finita siano isomorfi.
Matrice associata ad un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali V e W, di
dimensioni finite n ed m, rispetto a due basi assegnate. Equazione matriciale
di un'applicazione lineare. Equazioni cartesiane di un'applicazione lineare.
Uso
della matrice associata ad un'applicazione lineare per lo studio della iniettività e della surgettività dell'applicazione. Caratterizzazione di un
isomorfismo tra spazi vettoriali in termini della matrice associata. Cenni
sull'isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,W) e lo spazio vettoriale delle matrici ad elementi in K
con m righe ed n colonne. Matrice associata al prodotto operatorio di due
applicazioni lineari. Matrice associata all'isomorfismo inverso di un
isomorfismo assegnato. Cenni sull'isomorfismo tra l'algebra End(V) e l'algebra delle matrici quadrate d'ordine n ad
elementi in K.
Dal 8 gennaio al
10 gennaio 2014
Formula
di trasformazione della matrice associata ad un'applicazione lineare. Matrici
simili e loro rango. Invarianti di una matrice per coniugazione. Matrici
congruenti e loro rango. Matrice associata ad un endomorfismo di uno spazio
vettoriale rispetto ad una base assegnata. Formula di trasformazione della
matrice associata ad un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Determinante di
un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili.
Matrici diagonalizzabili. Autovettori
ed autovalori di un endomorfismo di uno spazio
vettoriale. Autovettori ed autovalori
di una matrice quadrata. Diagonalizzabilità e basi di
autovettori di un endomorfismo e di una matrice
quadrata. Spettro di un endomorfismo e di una matrice quadrata. Autospazio associato ad un autovalore.
Proprietà degli autovettori e degli autovalori. Esempi notevoli di endomorfismi diagonalizzabili e di endomorfismi non diagonalizzabili.
Proprietà di autovettori
associati ad autovalori distinti. Criterio di diagonalizzabilità degli endomorfismi e delle matrici.
Equazioni cartesiane di un autospazio. Polinomio
caratteristico di una matrice quadrata. Invarianza per coniugazione del
polinomio caratteristico di una matrice quadrata e dei suoi coefficienti.
Polinomio caratteristico di un endomorfismo.
Equazione caratteristica. Calcolo degli autovalori
di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Digressione sulla molteplicità delle soluzioni di un’equazione algebrica e sul teorema
fondamentale dell’algebra; campi algebricamente chiusi. Molteplicità algebrica
e geometrica di un autovalore. Proprietà delle
molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori.
Condizione necessaria e sufficiente
affinché un endomorfismo o una matrice quadrata sia diagonalizzabile
(dimostrazione facoltativa della condizione necessaria). Autovalori
di una matrice simmetrica reale.
Forme
bilineari. Cenni sulle forme multilineari. Forme bilineari simmetriche. Forme
bilineari antisimmetriche. Forme bilineari alterne. Esempi notevoli di forme
bilineari simmetriche.
Dal 14 gennaio al
17 gennaio 2014
Forma
quadratica associata ad una forma bilineare. Proprietà delle forme quadratiche.
Forma bilineare simmetrica polare di una forma quadratica. Identità di
polarizzazione. Forme bilineari simmetriche non degeneri. Esempi notevoli di
forme bilineari simmetriche non degeneri. Matrice associata ad una forma
bilineare, rispetto ad una base, di uno spazio vettoriale di dimensione finita;
il caso delle forme bilineari simmetriche. Matrice associata ad una forma
quadratica, rispetto ad una base, di uno spazio vettoriale di dimensione
finita. Formula di trasformazione della matrice associata ad una forma
bilineare. Rango di una forma bilineare di uno spazio vettoriale di dimensione
finita. Condizione necessaria e sufficiente affinché una forma bilineare di uno
spazio vettoriale di dimensione finita sia non degenere (soltanto enunciato).
Esempi notevoli di forme bilineari simmetriche degeneri. Ortogonalità di due
vettori rispetto ad una forma bilineare simmetrica. Vettori isotropi.
Sottospazio vettoriale ortogonale ad un sottoinsieme. Sottospazi vettoriali
ortogonali.
Forme
bilineari simmetriche reali definite positive, semidefinite
positive, definite negative, semidefinite
negative e non definite. Criterio di positività di Hurewicz
di una forma bilineare simmetrica reale di uno spazio vettoriale reale di
dimensione finita (soltanto enunciato). Prodotti scalari. Esempi notevoli di
prodotti scalari. Pseudoprodotti scalari. Esempi
notevoli di pseudoprodotti scalari. Pseudoprodotto scalare di Minkowski.
Pseudoprodotti scalari di Lorentz.
Vettori tipo spazio, vettori tipo luce e vettori tipo
tempo. Spazi vettoriali euclidei ovvero spazi vettoriali reali dotati di
prodotto scalare. Esempi notevoli di spazi vettoriali euclidei. Modulo di un
vettore. Proprietà del modulo di un vettore. Disuguagianza
di Cauchy-Schwarz (dimostrazione facoltativa). Alcune
applicazioni della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
in Analisi Matematica. Disuguaglianza triangolare. Angolo convesso di due
vettori. Proprietà di vettori ortogonali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Cenni sui polinomi di Legendre.
Vettori unitari. Basi ortonormali e loro uso. Significato dei coefficienti dell'equazione cartesiana di un iperpiano vettoriale rispetto ad una base ortonormale. Cambiamento di basi ortonormali e matrici ortogonali. Decomposizione di uno spazio vettoriale euclideo nella somma diretta di due sottospazi vettoriali ortogonali.
Proiezione ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo su un sottospazio vettoriale. Simmetria ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo rispetto ad un sottospazio vettoriale; il caso particolare in cui il sottospazio vettoriale sia una retta o un iperpiano vettoriale. Prodotto vettoriale di due vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale di due vettori linearmente indipendenti. Prodotto misto di tre vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto misto. Significato geometrico del segno del prodotto misto di tre vettori linearmente indipendenti. Significato geometrico del modulo del prodotto misto di tre vettori linearmente indipendenti. Spazio euclideo associato ad uno spazio vettoriale euclideo. Esempi notevoli di spazi euclidei. Riferimenti cartesiani di uno spazio euclideo. Cambiamenti di riferimenti cartesiani e matrici ortogonali. Distanza di due punti di uno spazio euclideo. Proprietà della distanza. Digressione sugli spazi metrici. Uso delle coordinate cartesiane di punto per il calcolo della distanza di due punti.
Dal 21 gennaio al
22 gennaio 2014
Sfere e dischi di uno spazio euclideo n-dimensionale. Versore di una retta orientata. Angolo convesso di due rette orientate. Condizione di perpendicolarità di due rette di uno spazio euclideo di dimensione finita. Coseni direttori di una retta orientata di uno spazio euclideo di dimensione finita. Vettori normali ad un iperpiano. Condizione di perpendicolarità tra retta e iperpiano. Versori normali ad un iperpiano. Distanza di un punto da un iperpiano. Distanza di due iperpiani paralleli. Distanza di un punto da una retta. Distanza di due rette parallele. Angoli tra iperpiani. Condizione di perpendicolarità di due iperpiani. Angoli tra rette e iperpiani. Geometria di un piano euclideo: distanze, angoli, perpendicolarità, area di parallelogrammi e di triangoli. Geometria di uno spazio euclideo tridimensionale: distanze, angoli, perpendicolarità, retta incidente e perpendicolare a due rette sghembe, distanza di due rette sghembe, area di parallelogrammi e di triangoli, volume di parallelepipedi e di tetraedri. Cenni sul volume di un n-parallelepipedo in uno spazio euclideo di dimensione n.
Risoluzione
di esercizi ricapitolativi.
Endomorfismi simmetrici, o autoaggiunti reali, di uno spazio vettoriale euclideo.
Esempi notevoli di endomorfismi simmetrici. Proprietà degli autovalori
e degli autovettori di un endomorfismo simmetrico.
Cenni sul sistema ortogonale. Teorema spettrale per gli endomorfismi
simmetrici. Endomorfismo simmetrico associato ad
una forma bilineare simmetrica reale. Forma canonica metrica di una forma
bilineare simmetrica reale di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione
finita. Forma canonica metrica di una forma quadratica reale di uno spazio
vettoriale euclideo di dimensione finita. Segnatura di una forma bilineare
simmetrica reale di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita.
Criterio di positività, in termini di autovalori, di
una forma bilineare simmetrica reale di uno spazio vettoriale euclideo di
dimensione finita.