Laurea triennale in Matematica.

Orario: Lunedi' 11-13, Martedi' 9-11, Giovedi' 11-13.

Orario dell'esercitazione pomeridiana (tutoraggio): il Mercoledi', dalle 14 alle 16, in Aula III. Tutor: Filippo Cerocchi.

Orario Ricevimento: il Lunedi' dalle 14.30 alle 15.30 oppure per appuntamento.

Orario Ricevimento di Filippo Cerocchi: il Martedi' dalle 16.15 alle 17.15.

Testi consigliati (soprattutto i primi due):
[C] Giulio Campanella, "Appunti di Algebra 1" ed esercizi, disponibile in rete a questo link.
[PC] Giulia Maria Piacentini Cattaneo, "Algebra, un approccio algoritmico", Zanichelli 1996.
[A] Michael Artin, "Algebra", Boringhieri, 1997.
[S-VG] Rene' Schoof e Lambertus Van Geemen, "Algebra", disponibile in rete a questo link.

Esoneri ed esami:
L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale. Accede alla prova orale lo studente il cui compito è stato giudicato almeno quasi sufficiente (voto >14/30).
Per sostenere la prova è necessario iscriversi all'appello via INFOSTUD. Durante il semestre si terranno due prove di esonero.
Lo studente ottiene l'esonero dalla prova scritta finale se ha riportato nelle due prove di esonero una votazione media >14/30 ed in ciascuna delle due una
votazione >11/30. Gli esoneri e gli scritti di Luglio sono validi fino al 30 Settembre.

Diario delle attivita'

Prima settimana (argomenti trattati, referenze, esercizi, esercitazione pomeridiana, complementi)
Lezione del 1/3/16 + Lezione del 3/3/16:
Relazioni. Inversa, Unione, Intersezione. Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Teorema di decomposizione di applicazioni.
Teorema fondamentale delle applicazioni. Relazioni d'ordine. Esempi. Massimo, minimo, insiemi limitati superiormente/inferiormente,
estremo superiore/inferiore, elementi massimali/minimali. Catene. Assioma della scelta. Lemma di Zorn. Ogni spazio vettoriale ammette una base.
Referenze: Tutta la Sezione 3 in [C] piu' il Teorema 1 della Sezione 4.
Esercizi: Risolvere il Primo compito a casa.

Seconda settimana
Lezione del 7/3: soluzione in classe dell'esercizio 3 del primo compito a casa.
Per la soluzione del primo esercizio cliccate qui; per la soluzione del secondo esercizio cliccate qui
ed andate alla soluzione dell'esercizio 7.
Numeri naturali: assiomi di Peano, ordinamento, somma e prodotto (solo definizioni).
Lezione del 8/3: Teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein (con dimostrazione). Due insiemi hanno sempre cardinalita' confrontabili (con dimostrazione)
Esercitazione pomeridiana del 9/3 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Soluzioni degli esercizi per casa assegnati durante l'esercitazione pomeridiana del 9/3 (a cura di Filippo Cerocchi).
Lezione del 10/3: Alcune proprieta' elementari degli insiemi numerabili. Teorema fondamentale del numerabile.
Se X e' infinito e Y e' finito o numerabile allora X e X-unione-Y hanno la stessa cardinalita'.
Teorema di Dedekind (X e' infinito sse e' in corrispondenza biunivoca con un suo s.i. proprio).
Teorema di Cantor.
Referenze: Per i numeri naturali potete consultare la breve dispensa di Alessandro D'Andrea, disponibile a questo link.
Il Teorema di unicita' enunciato a lezione e' reperibile in: Eugenio Sinestrari "Fondamenti di Analisi Matematica".
Vedere in particolare il Teorema 1.36.
I due teoremi dimostrati l'8/3 sono reperibili nel libro di Marco Manetti "Topologia" e
per gentile concessione dell'autore trovate qui le pagine rilevanti. Vedere in particolare il Teorema 2.12 e la Proposizione 2.25.
Il materiale per la lezione del 10/3 e' tutto in [C] (con qualche variazione).
Esercizi: Risolvere il Secondo compito a casa.

Terza settimana
Lezione del 14/3: soluzione in classe del secondo compito a casa.
Soluzioni del secondo compito a casa.
Lezione del 15/3: Interi: definizione e struttura di anello commutativo unitario privo di
divisori dello zero e totalmente ordinato. Strutture algebriche: gruppo, anello, campo. Esempi.
Esercitazione pomeridiana del 16/3 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Soluzioni della seconda esercitazione pomeridiana e degli ulteriori esercizi assegnati a casa.
Lezione del 17/3: Divisione con resto. Esistenza ed unicita' del Massimo Comun Divisore (MCD).
Proprieta' elementari del MCD. Isentita' di Bezout. Algoritmo delle divisioni successive.
Referenze: Il materiale per questa settimana e' tutto in [C]: Cap. I.4, Cap. I.5(B), Cap. II.1, Cap. II.2 fino a pag 66.
Esercizi: risolvere il Terzo compito a casa.

Quarta settimana
Lezione del 21/3: Elementi primi ed elementi irriducibili di un dominio di integrita'. Numeri primi.
Teorema fondamentale dell'aritmetica.
Lezione del 22/3: risoluzione in classe del terzo compito a casa. Minimo comune multiplo.
Classi resto modulo n. Struttura di anello commutativo unitario. Elementi invertibili. Struttura di campo sse n e` primo.
Esercitazione pomeridiana del 23/3 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Soluzioni dell'esercitazione pomeridiana del 23/3 (sempre a cura di Filippo Cerocchi).
Lezione del 24/3: vacanza accademica.

Quinta settimana
Lezione del 28/3: Lunedi' di Pasqua.
Lezione del 29/3: vacanza accademica.
Esercitazione pomeridiana del 30/3 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Lezione del 31/3: equazioni e sistemi di equazioni conrguenziali.
Esercizi: risolvere gli esercizi per casa assegnati da Filippo Cerocchi il 29/3 e gli esercizi del quarto compito a casa.
Soluzioni dell'esercitazione pomeridiana del 30/3 (sempre a cura di Filippo Cerocchi).

Sesta settimana
Lezione del 4/4: correzione quarto compito a casa.
Lezione del 5/4: seconda formulazione teorema cinese del resto; ulteriore esercizio di aritmetica modulare.
Gruppi: generalita'. Esempi: il gruppo degli invertibili di un anello commutativo unitario, GL(n,R), gruppi di mappe, il gruppo simmetrico.
Gruppi commutativi: Z, Z_n. Omomorfismi di gruppi: generalita'. Sottogruppi;criterio affinche' un sottoinsieme sia un sottogruppo.
Esercitazione pomeridiana del 6/4 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Soluzioni dell'esercitazione pomeridiana del 6/4 (sempre a cura di Filippo Cerocchi).
Lezione del 7/4: esempi di sottogruppi : descrizione dei sottogruppi di Z; O(n); il gruppo diedrale D_n, nucleo ed immagine di un omomorfismo.
Sottogruppo generato da un insieme. Gruppi ciclici: esempi. Ordine di un elemento. Ordine di un gruppo.
Classi laterali sinistre ed associata partizione. Classi laterali destre ed associata partizione.
Relazioni di equivalenza associate e loro non-uguaglianza quando G non e' commutativo. Teorema di Lagrange.
Esercizi: risolvere gli esercizi per casa assegnati da Filippo Cerocchi il 6/4.
Risolvere il quinto compito a casa.
Referenze: per la parte di aritmentica modulare vedere [C] Cap. II, 4 (sono esclusi i criteri di divisibilita'), Cap. II, 5 (tutto)
Cap. II, 6 (tutto). Per la dimostrazione del teorema cinese del resto vedere anche [PC], p. 79.
Per la parte sui gruppi: [C] Cap I.4 (fino a pag 21 inclusa), Cap IV. 1 (tutto fino a pag. 143, Oss. 6 inclusa).
Osservazione: abbiamo definito il sottogruppo generato da un elemento g e piu' in generale da un insieme X seguendo [S-VG] p. 40;
per la Proposizione 2 e la Proposizione 3 in [C], p. 141 e 142, le due definizioni nei due libri sono compatibili.
Per il gruppo diedrale vedere [S-VG] p. 17. Vedere anche Abate, "Geometria" esempio 12.21 oppure Abate-De Fabritiis esempio 11.17.
Osservazione: la definizione di O(2) data in [S-VG] e' equivalente a quella data da noi (non e' banale).
Per i sottogruppi di Z: [S-VG] p. 24. Vedere anche le pagine seguenti in [S-VG] per le generalita' sugli omomorfismi.
Permutazioni: leggere bene pagina 21 in [C] e p. 151 in [C], fino alla definizione 1 inclusa. Vedere anche Prop.4.1 e Def. 4.3 in [S-VG].
Ordine, classi laterali e teorema di Lagrange: [S-VG] 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.9, 5.10, 5.11, 5.12 (vedere anche [C] lemma 3, p. 169),
5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.18, 5.19.
Leggere anche [C] p. 167, p. 168 fino a def 2 inclusa, p. 169 tutta, p. 170 la prima riga.

Settima settimana
Lezione del 11/4: Sottogruppo normale H. Gruppo quoziente G/H. I sottogruppi di indice due sono normali. Altri esempi. Primo teorema di isomorfismo.
Lezione del 12/4: Esercizio 10 quinto compito a casa: relazioni di equivalenza compatibili e struttura di gruppo nell'insieme quoziente.
Corrispondenza fra relazioni di equivalenza compatibili e sottogruppi normali. Soluzione quinto compito a casa.
Esercitazione pomeridiana del 13/4 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Lezione del 14/4: Teorema di corrispondenza. Corrispondenza fra sottogruppi che contengono H e sottogruppi di G/H. Secondo e terzo teorema di isomorfismo.
Esercizi: risolvere gli esercizi per casa assegnati da Filippo Cerocchi il 13/4.
Soluzioni dell'esercitazione pomeridiana del 13/4 e degli esercizi assegnati a casa (sempre a cura di Filippo Cerocchi).
Referenze: per il materiale di questa settimana non ho seguito un unico testo.
Sottogruppo normale: [C], pag 170 (tutta); pp 183, 184, 185, 186.
Va anche bene [S-VG] che va pero' integrato con il Corollario 5 p. 186 in [C].
Il testo di Piacentini Cattaneo [PC] e' piuttosto chiaro in questa parte e contiene tutto quello che ho spiegato:
sezione 5.8 (vedere la sezione 5.5 per la notazione); sezione 5.9, sezione 5.10.

Prima prove in itenere: Venerdi' 22 Aprile alle ore 9 in Aula III e Aula I.
Testo della prima prova in itinere (Compito B; il compito A era concettualmente identico).
Testo e soluzione della prima prova in itinere (soluzioni a cura di Ernesto Spinelli).

Ottava settimana: sospensione della didattica (settimana delle prove in itinere)

Nona settimana
Lezione del 25/4: vacanza accademica.
Lezione del 26/4: gruppi ciclici (teorema di struttura, sottogruppi, generatori). Il gruppo simmetrico: prime
proprieta' (decomposizione in cicli disgiunti).
Esercitazione pomeridiana del 27/4 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo (con modifica del 2/5/2016).
Cliccate qui per le soluzioni.
Lezione del 28/4: ordine di un k-ciclo; ordine di una permutazione; segno di una permutazione; il gruppo alterno e sua normalita'.
Struttura ciclica e coniugio. Da studiare a casa: partizioni e cardinalita' dei k-cicli.
Esercizi: risolvere il compito a casa del 29/4/2016.
Addendum esercizi: cliccate qui per il foglio speciale preparato da Filippo Cerocchi.
Referenze: [C] cap. IV, sezione 2, tutta, fino alla Prop. 5 esclusa
(da fare a casa da soli: radici k-me dell'unita').
[C] cap IV, sezione 3: p 151 (vedere [S-VG] per la Proposizione 1), p. 152, 153 (vedere anche [S-VG] per la definizione di segno di una permutazione).
[C] pp 154, 155, 156, 157.

Decima settimana
Lezione del 2/5: anelli, relazioni di equivalenza compatibili, ideali.
Anello quoziente per un ideale: R/I. Teorema di omomorfismo. Teorema di corrispondenza fra sottoanelli (ideali) di R contenenti I e sottoanelli (ideali) di R/I.
Lezione del 3/4: Secondo e Terzo teorema di isomorfismo per gli anelli. Esempi. Polinomi: prime proprieta'.
Esercitazione pomeridiana del 4/5 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo (nuova versione, del 9/5).
Lezione del 5/5: discussione in classe del compito a casa del 29/4.
Esercizi: risolvere il compito a casa del 8/5/2016 e, inoltre, gli esercizi assegnati da Filippo Cerocchi per casa il giorno 4/5.
Soluzioni dell'esercitazione pomeridiana del 4/5 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per le soluzioni (incluse quelle per gli esercizi da fare a casa)
Soluzioni foglio speciale distribuito il 27/4 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per le soluzioni.
Referenze: [PC] Sezioni 4.1, 4.2, 4.3, 4.4.

Undicesima settimana
Lezioni del 9/5 e del 10/5: divisione con resto fra polinomi. Massimo comun divisore. Identita' di Bezout.
Polinomi irriducibili. Irriducibile e' equivalente a primo. Teorema di fattorizzazione unica.
Minimo comune multiplo. Radici. Teorema di Ruffini. Un polinomio di grado n ha al piu' n radici.
Funzioni polinomiali e polinomi quando il campo e' infinito. Studio dell'irriducibilita' : prime proprieta'.
Esercitazione pomeridiana del 11/5 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Lezione del 12/5: discussione in classe del compito a casa del 8/5 e degli esercizi per casa del foglio 8.
Esercizi: risolvere il compito a casa del 15/5/2016 e, inoltre, gli esercizi assegnati da Filippo Cerocchi per casa il giorno 11/5.
Soluzioni dell'esercitazione pomeridiana del 11/5 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per le soluzioni (incluse quelle per gli esercizi da fare a casa)
Referenze:
[PC] Sezioni 3.1, 3.2.

Dodicesima settimana
Lezioni del 16/5 e del 17/5: studio dell'irriducibilita' per polinomi a coefficienti complessi e reali. Irriducibilita' sui razionali e sugli interi. Teorema di Gauss. Criterio di Eisentstein.
Esercitazione pomeridiana del 18/5 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Lezione del 19/5: Altri criteri di irriducibilita' (passaggio a Z_p). Ideali primi e massimali
Esercizitazione del 20/5: cliccate qui per il testo.
Esercizi per casa: risolvere il compito a casa del 21/5/2016 e, inoltre, gli esercizi assegnati da Filippo Cerocchi per casa il giorno 18/5.
Addendum esercizi: cliccate qui per il secondo foglio speciale preparato da Filippo Cerocchi.
Soluzioni esercitazione pomeridiana del 18/5 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per le soluzioni.
Referenze:
[PC] Sezione 3.3.

Tredicesima settimana
Lezioni del 23/5 e del 24/5: dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra. campo dei quozienti di un dominio di integrita'.
anelli euclidei. anelli principali. Interi di Gauss.
Esercitazione pomeridiana del 25/5 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Lezione del 26/5: correzione del compito del 21/5. Domini a fattorizzazione unica e loro caratterizzazione.
Esercizi per casa: risolvere il compito a casa del 28/5/2016
Referenze:
Per il teorema fondamentale dell'algebra cliccate qui (tratto da Artin, "Algebra") e anche qui
Per la parte sugli anelli ho seguito abbastanza fedelmente [PC].
Soluzioni esercitazione pomeridiana del 25/5 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per le soluzioni.

Quattordicesima settimana
Lezioni del 30/5 e del 31/5: i domini principali sono a fattorizzazione unica. Se R e' un DFU allora
R[X] e' un DFU. Caratteristica di un anello. Sottocampo fondamentale e sue proprieta'. Primi di Gauss (solo enunciati).
Correzione del compito a casa del 28/5.
Esercitazione pomeridiana del 1/6 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per il testo.
Soluzioni esercitazione pomeridiana del 1/6 (a cura di Filippo Cerocchi): cliccate qui per le soluzioni.
Referenze: anche per questa parte ho seguito [PC]. Per gli interi di Gauss cliccate qui (vedere la Sezione 8) oppure cliccate qui (Proposizione 1).
Potete anche consultare [A] Teorema 5.1
Addendum esercizi: cliccate qui per il terzo (ed ultimo) foglio speciale preparato da Filippo Cerocchi.

Seconda prova in itenere: Martedi' 7 Giugno 2016.
Testo della seconda prova in itinere
Soluzione della seconda prova in itinere (soluzione a cura di Ernesto Spinelli).

Primo compito scritto: Venerdi' 1 Luglio 2016.
Testo del primo esame scritto
Soluzione del primo esame scritto (soluzione a cura di Ernesto Spinelli).

Secondo compito scritto: Giovedi' 21 Luglio 2016.
Testo del secondo esame scritto
Soluzione del secondo esame scritto (soluzione a cura di Ernesto Spinelli).

Terzo compito scritto: Venerdi' 9 Settembre 2016.
Testo del terzo esame scritto
Soluzione del terzo esame scritto (soluzione a cura di Ernesto Spinelli).

Quarto compito scritto: Giovedi' 22 Settembre 2016.
Testo del quarto esame scritto
Soluzione del quarto esame scritto (soluzione a cura di Ernesto Spinelli).

22/10/2017: prossimi appuntamenti.
E' stato aperto su Infostud un appello ordinario nella settimana degli esoneri del corso Algebra 1 a.a. 2017-2018
Lo scritto per questo appello sara' il 15/11 alle 15.15 in Aula I (durante l'esonero di Algebra 1 a.a. 2017-2018)