Orario lezioni: martedì ore 9-11, giovedì ore 9-11, venerdì ore 11-13
Aula 4, nuovo edificio di Fisica
Ricevimento studenti: giovedì ore 12-13.30 nello Studio N. 8 del Dipartimento di Matematica e per appuntamento
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 10-11-2011
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 5-9-2011
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 18-7-2011
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 2-3-2011
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 16-2-2011
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti ammessi alla Seconda Prova Scritta d'Esonero
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Seconda Prova Scritta d'Esonero , Elenco
degli Studenti esonerati dalla Prova Scritta d'Esame
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello Straordinario di novembre avranno inizio giovedì 17, alle ore 11.15, in Aula H dell’Edificio “G. Castelnuovo” del Dipartimento di Matematica.
AVVISO: Giovedì 10 novembre 2011 dalle ore 11.30 alle ore 13.30, in Aula B
dell’Edificio “G. Castelnuovo” di Matematica, avrà luogo
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello di settembre avranno inizio mercoledì
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello di luglio avranno inizio mercoledì
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali del II Appello avranno inizio venerdì 4 marzo, in Aula 8, alle ore 9.30, subito dopo la discussione degli elaborati, seguendo un calendario d'esami che sarà concordato con i candidati.
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali del I Appello avranno inizio venerdì 18 febbraio, in Aula 2, alle ore 10, subito dopo la discussione degli elaborati, seguendo un calendario d'esami che sarà concordato con i candidati.
AVVISO:
AVVISO: Martedì 8 febbraio dalle ore 14 alle ore
AVVISO:
AVVISO: Lunedì 20 dicembre in Aula 4, dalle ore 11 alle ore 13, avrà luogo la prima lezione di recupero di Geometria. Altre lezioni di recupero avranno luogo lunedì 10 gennaio, lunedì 17 gennaio, lunedì 24 gennaio, lunedì 31 gennaio e lunedì 7 febbraio sempre in Aula 4 e nello stesso orario.
AVVISO: La lezione di Geometria prevista per martedì 30 novembre dalle ore 9
alle ore
AVVISO: Martedì 30 novembre dalle ore 16 alle ore 17.30 precise, in Aula IV
dell’Edificio “G. Castelnuovo” di Matematica, il Prof. Renzo Mazzocco terrà una Esercitazione Straordinaria di Geometria per il Canale B
in vista della Prova Scritta d’Esonero del 2 dicembre. Il Tutoraggio previsto
per tale data non avrà luogo.
AVVISO: La prima Prova d’Esonero per il Canale B, comprendente i Sottocanali
B1, B2 e C3 (Lettere H-Z), avrà luogo giovedì 2 dicembre dalle ore 8 alle ore
AVVISO: Martedì 26 ottobre, ore 16 - 17.30 precise, in Aula II dell’Edificio
“G. Castelnuovo” di Matematica avrà inizio il Tutoraggio di Geometria tenuto
dal Dott. Gabriele Mondello. Tale attività proseguirà nella stessa Aula secondo
l’Orario riportato nella pagina del Tutoraggio gestita dal Tutor.
Norme d'esame per l'anno accademico 2010-2011
Programma per l'anno accademico 2010-2011
Dal 19 ottobre al
22 ottobre 2010:
Richiami
sugli insiemi numerici N, Z, Q, R. Struttura di anello commutativo di Z.
Struttura di campo di Q e di R.
Definizione
e generalità sui numeri complessi. Operazioni sui numeri complessi. Struttura
di campo dell'insieme C dei numeri complessi. Cenni sul campo Q(√2), sul corpo H dei quaternioni e sui campi finiti.
Digressione sul prodotto cartesiano di insiemi. Insieme delle n-ple ordinate di elementi di un campo K.
Somma di
due n-ple ordinate e sue proprietà. Prodotto di un
elemento di K per una n-pla ordinata e sue proprietà.
Combinazioni lineari di n-ple ordinate. Definizione
assiomatica di spazio vettoriale su un campo K. Struttura di spazio vettoriale
su un campo K dell’insieme delle n-ple ordinate di
elementi di K. Matrici a elementi in un campo K. Righe e colonne di una
matrice. Matrici rettangolari e matrici quadrate. Matrici nulle. Matrice
opposta di una matrice assegnata. Matrici a scala e loro pivots.
Matrice trasposta di una matrice assegnata. Matrici simmetriche. Matrici
antisimmetriche. Matrici triangolari. Matrici diagonali. Matrici scalari.
Matrici unità.
Dal 26 ottobre al
29 ottobre 2010:
Somma di
due matrici aventi lo stesso numero m di righe ed n di colonne. Proprietà della
somma di matrici. Prodotto di un elemento del campo K per una matrice ad
elementi nel campo K e sue proprietà. Struttura di spazio vettoriale
dell’insieme delle matrici con m righe ed n colonne ad elementi in un campo K.
Matrice trasposta della somma di due matrici. Matrice trasposta del prodotto di
un elemento del campo K per una matrice ad elementi nel campo K. Decomposizione
di una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica e di una matrice
antisimmetrica. Prodotto di una matrice riga per una matrice colonna e sue
proprietà. Prodotto (righe per colonne) di due matrici moltiplicabili.
Proprietà del prodotto di matrici. Struttura di anello dell'insieme delle
matrici quadrate d'ordine n ad elementi in un campo K. Struttura di algebra
dell’insieme delle matrici quadrate d’ordine n ad elementi in un campo K. Matrici
invertibili. Unicità della matrice inversa di una matrice invertibile.
Caratterizzazione delle matrici invertibili. Gruppo lineare d'ordine n su un
campo K.
Potenze
ad esponente intero positivo di una matrice quadrata. Matrici nilpotenti.
Espressioni polinomiali di una matrice quadrata. Potenze ad esponente intero
negativo di una matrice invertibile. Matrici ortogonali. Gruppo ortogonale
d'ordine n. Struttura del gruppo ortogonale per n=1 e per n=2. Segmenti
orientati o vettori applicati. Segmenti orientati degeneri.
Digressione
sulle relazioni di equivalenza. Relazione di equipollenza tra segmenti
orientati. Vettori geometrici o liberi. Vettore geometrico nullo. Vettore
geometrico opposto di un vettore geometrico assegnato. Vettori geometrici
paralleli. Vettori geometrici complanari. Proprietà dei vettori geometrici.
Somma di due vettori geometrici. Proprietà della somma di vettori geometrici.
Prodotto di uno scalare reale per un vettore geometrico. Proprietà del prodotto
di uno scalare reale per un vettore geometrico. Differenza di due vettori
geometrici.
Dal 2 novembre al
5 novembre 2010:
Struttura di spazio vettoriale dell’insieme dei vettori
geometrici. Postulati euclidei di tipo affine. Geometria affine del piano e
dello spazio ordinario. Assiomatica vettoriale del piano e dello spazio
ordinario. Compatibilità dei postulati euclidei di tipo affine ricondotta alla
compatibilità della teoria dei numeri naturali. Spazio vettoriale nullo. Spazio
vettoriale K[x] dei polinomi in una indeterminata a
coefficienti in un campo K. Spazio vettoriale F(X,K) delle funzioni di un
insieme X a valori in un campo K. Sistemi di equazioni lineari a coefficienti
in un campo K. Soluzioni di un sistema di equazioni lineari. Compatibilità di
un sistema di equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari determinati.
Sistemi di equazioni lineari indeterminati. Sistemi di equazioni lineari
incompatibili o impossibili.
Matrice
dei coefficienti, o matrice incompleta, e matrice dei coefficienti e dei
termini noti, o matrice completa, di un sistema di equazioni lineari. Scrittura
matriciale di un sistema di equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari
omogenei. Soluzione nulla o banale di un sistema di equazioni lineari omogeneo.
Sistema di equazioni lineari omogeneo associato ad un sistema di equazioni
lineari. Teorema di struttura dell’insieme delle soluzioni di un sistema di
equazioni lineari. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari triangolari superiori.
Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari a scala.
Sistemi
di equazioni lineari equivalenti. Operazioni elementari sui sistemi di
equazioni lineari che permettono di ottenere sistemi di equazioni lineari
equivalenti. Metodo o algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan per la
risoluzione dei sistemi di equazioni lineari.
Dal 9 novembre al
12 novembre 2010:
Riduzione
a scala di una matrice. Rango di una matrice come numero dei pivots di una sua riduzione a scala. Teorema di Rouché-Capelli. Condizione necessaria e sufficiente
affinché un sistema di equazioni lineari quadrato ammetta una sola soluzione.
Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di equazioni lineari
omogeneo ammetta soluzioni non banali. Risoluzione dei sistemi di equazioni
lineari triangolari inferiori. Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan
all’indietro. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari col doppio metodo di
eliminazione di Gauss-Jordan. Matrici non singolari. Invertibilità delle
matrici non singolari. Non singolarità della matrice trasposta e della matrice
inversa di una matrice non singolare. Determinazione della matrice inversa di
una matrice non singolare.
Risoluzione
dei sistemi lineari quadrati, con matrice dei coefficienti non singolare, con
l’uso della matrice inversa. Rango delle matrici dipendenti da un parametro.
Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro. Alcune
proprietà di uno spazio vettoriale su un campo K deducibili dagli assiomi.
Prodotto cartesiano di due spazi vettoriali su uno stesso campo K. Sottospazi
vettoriali di uno spazio vettoriale. Proprietà dei sottospazi vettoriali.
Sottospazi vettoriali impropri o banali.
Esempi
di sottospazi vettoriali di spazi vettoriali. Sottovarietà lineari affini di
uno spazio vettoriale. Esempi di sottovarietà lineari affini di uno spazio
vettoriale. Intersezione e somma di due sottospazi vettoriali di uno stesso
spazio vettoriale. Somma diretta di due sottospazi vettoriali.
Dal 16 novembre
al 19 novembre 2010:
Proprietà
della somma diretta di sottospazi vettoriali. Sottospazi vettoriali
supplementari. Esempi di somme e di somme dirette di sottospazi vettoriali.
Combinazioni lineari di vettori. Sottospazio vettoriale generato da un numero
finito di vettori e proprietà relative. Sistemi di generatori di uno spazio
vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati. Esempi di spazi vettoriali
finitamente generati e di spazi vettoriali non finitamente generati. Vettori
linearmente dipendenti. Vettori linearmente indipendenti. Proprietà dei vettori
linearmente dipendenti.
Esempi
notevoli di vettori linearmente dipendenti. Proprietà dei vettori linearmente
indipendenti. Basi (finite) di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore
rispetto ad una base assegnata. Traduzione scalare di una uguaglianza
vettoriale. Coordinate della somma di due vettori e del prodotto di uno scalare
per un vettore. Sistemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Teorema
dell'esistenza di basi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Coordinate
di una combinazione lineare di vettori. Condizione analitica per la dipendenza
lineare di un numero finito di vettori.
Massimo
numero di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale avente una
base finita. Dimensione di uno spazio vettoriale. La dimensione di uno spazio vettoriale come numero massimo
di vettori linearmente indipendenti estraibili da un sistema di generatori. La dimensione di uno spazio vettoriale come numero massimo
di vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale. Dimensione di
alcuni esempi notevoli di spazi vettoriali. Sistemi infiniti di generatori di
spazi vettoriali non finitamente generati. Sistemi liberi di vettori di spazi
vettoriali non finitamente generati. Basi infinite di spazi vettoriali non
finitamente generati. Dimensione infinita degli spazi vettoriali non
finitamente generati: il caso di K[x]. Uso delle coordinate di vettore
nell'algebra lineare. Condizioni affinché n vettori di uno spazio vettoriale di
dimensione n costituiscano una base. Teorema del completamento della base.
Dal 23 novembre
al 26 novembre 2010:
Dimensione
e codimensione dei sottospazi vettoriali di uno
spazio vettoriale di dimensione finita. Formula di Grassmann
vettoriale. Spazio delle righe di una matrice. Rango per righe di una matrice.
Spazio delle colonne di una matrice. Rango per colonne di una matrice.
Uguaglianza dei ranghi per riga e per colonna di una matrice. Rango di una
matrice.
Rango di
una matrice trasposta di una matrice assegnata. Algoritmo di Gauss-Jordan per
l'estrazione di una base da un sistema di generatori. Equazioni parametriche e cartesiane di un
sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale di dimensione finita;
eliminazione dei parametri.
Dal 30 novembre
al 3 dicembre2010:
Basi di
somme e di intersezioni di sottospazi vettoriali. Condizioni affinché una somma
di sottospazi vettoriali sia diretta.
Esempi
notevoli di sottovarietà lineari affini. Equazioni parametriche e cartesiane di
una sottovarietà lineare affine di uno spazio vettoriale di dimensione finita;
eliminazione dei parametri. Definizione di determinante per le matrici quadrate
del primo, del secondo e del terzo ordine. Digressione sulle permutazioni di n
elementi. Segno di una permutazione.
Sostituzione
associata ad una permutazione. Cenni sui gruppi di sostituzioni. Definizione di
determinante di una matrice quadrata d'ordine n. Complemento algebrico o
cofattore di un elemento di una matrice quadrata. Formula o regola di Laplace
per il calcolo del determinante di una matrice quadrata (senza dimostrazione).
Determinante di una matrice trasposta di una matrice assegnata. Teorema
fondamentale sui determinanti e suo corollario.
Dal 7 dicembre al
10 dicembre 2010:
Teorema
di unicità della funzione determinante. Teorema di caratterizzazione delle
matrici non singolari come matrici a determinante non nullo. Teorema di Binet (soltanto enunciato). Determinante della matrice
inversa di una matrice invertibile assegnata. Invertibilità di una matrice
ammettente un'inversa destra oppure sinistra. Rango di una sottomatrice di una
matrice. Teorema di caratterizzazione del rango di una matrice come ordine
massimo delle sottomatrici quadrate a determinante non nullo e suo corollario
(soltanto enunciati). Teorema di Kronecker
o delle sottomatrici quadrate orlate per il calcolo del rango di una matrice
(soltanto enunciato).
Uso dei
determinanti nello studio di sottospazi vettoriali e di sottovarietà lineari
affini di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Calcolo della matrice
inversa di una matrice invertibile con l'uso dei determinanti. Formula di Cramer per la risoluzione dei sistemi quadrati di equazioni
lineari con matrice dei coefficienti a determinante non nullo. Risoluzione dei
sistemi di n-1 equazioni lineari omogenee in n incognite con matrice dei
coefficienti di rango massimo.
Risoluzione
di un sistema qualunque di equazioni lineari con l'uso dei determinanti.
Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro con
l'uso dei determinanti.
Dal 16 dicembre
al 17 dicembre 2010:
Definizione
assiomatica di spazio affine associato ad uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio affine, rette e piani affini. Prime
proprietà degli spazi affini. Esempi notevoli di spazi affini: spazio affine
ordinario; spazi affini vettoriali; spazi affini numerici su un campo K.
Riferimenti affini di uno spazio affine di dimensione finita. Coordinate affini
di punto. Coordinate di un vettore individuato da due punti. Significato delle
coordinate affini di punto nel caso dello spazio affine ordinario, nel caso di
uno spazio affine vettoriale e nel caso di uno spazio affine numerico.
Sottospazi
affini di uno spazio affine. Giacitura e dimensione di un sottospazio affine.
Il caso dei sottospazi affini di dimensione due, uno e zero. Direzione e
vettori direttori di un sottospazio affine di dimensione uno o retta.
Sottospazi affini dello spazio affine ordinario. Sottospazi affini di uno
spazio affine vettoriale. Prime proprietà dei sottospazi affini. Sottospazio
affine generato da m+1 punti. Punti indipendenti. Punti dipendenti. Punti
allineati. Punti complanari. Esempi di punti dipendenti e di punti
indipendenti. Massimo numero di punti indipendenti in uno spazio affine di
dimensione finita. Teorema di esistenza e unicità della retta passante per due
punti distinti. Teorema di esistenza ed unicità del piano passante per tre
punti non allineati. Codimensione di un sottospazio
affine di uno spazio affine di dimensione finita. Iperpiani. Equazioni
parametriche di un sottospazio affine. Parametri direttori di una retta.
Equazioni parametriche di una retta.
Dal 20 dicembre
al 21dicembre 2010:
Equazioni
cartesiane di un sottospazio affine. Eliminazione dei parametri. Il caso delle
rette, dei piani e degli iperpiani. Stella di iperpiani con vertice in un punto
assegnato. Iperpiani ed assi coordinati. Punti unità degli assi coordinati.
Intersezione di sottospazi affini. Equazioni cartesiane in forma di rapporti
uguali di una retta. Stella di rette con vertice in un punto assegnato.
Parallelismo
di due sottospazi affini. Condizione di parallelismo di due rette. Proprietà
dei sottospazi affini paralleli. Cenni sugli spazi vettoriali quozienti.
Teorema di esistenza ed unicità di un sottospazio affine passante per un punto
e parallelo ad un sottospazio affine della stessa dimensione.
Dal 10 gennaio al
14 gennaio 2011:
Coefficienti
di giacitura di un iperpiano. Condizione di parallelismo di due iperpiani.
Condizione di parallelismo di una retta ed un iperpiano. Sottospazi affini
incidenti. Sottospazi affini sghembi. Semirette, segmenti, triangoli,
parallelogrammi, tetraedri, parallelepipedi, m-simplessi e m-parallelepipedi di
uno spazio affine reale di dimensione qualunque. Figure convesse. Inviluppo o
involucro convesso di una figura. Punto medio di due punti. Punto simmetrico di
un punto rispetto ad un punto assegnato. Baricentro (geometrico) di m punti.
Semispazi individuati da un iperpiano.
Condizione
di allineamento di tre punti e rappresentazione parametrica e cartesiana di una
retta di un piano affine. Parametri direttori e coefficiente direttore di una
retta assegnata mediante un'equazione cartesiana. Parallelismo ed intersezione
di rette di un piano affine. Equazioni cartesiane di un punto in un piano
affine. Casi particolari dell'equazione cartesiana di una retta. Fasci propri
di rette.
Fasci
impropri di rette. La direzione di una retta vista come punto improprio della
retta. Cenni sulla retta impropria di un piano affine. Il fascio improprio di
rette visto come fascio di rette passanti per il punto improprio delle rette.
Condizione di complanarità di quattro punti e rappresentazione parametrica e
cartesiana di un piano di uno spazio affine tridimensionale. Equazione
cartesiana della stella di piani di vertice un punto. Condizioni di
allineamento di tre punti e rappresentazione parametrica e cartesiana di una
retta di uno spazio affine tridimensionale. Equazioni cartesiane in forma di
rapporti uguali della stella di rette di vertice un punto. Parametri direttori
di una retta assegnata mediante equazioni cartesiane.
Parallelismo
ed intersezione di piani. Parallelismo ed intersezione di rette e piani. Piano
per un punto parallelo a due rette non parallele. Equazioni cartesiane di un
punto in uno spazio affine tridimensionale. Casi particolari dell'equazione
cartesiana di un piano. Complanarità di
due rette. Condizione di complanarità di due rette (senza dimostrazione).
Dal 17 gennaio al
21 gennaio 2011:
Fasci
propri di piani. Fasci impropri di piani. Interpretazione della giacitura di un
piano come retta impropria del piano. Cenni sul piano improprio di uno spazio
affine tridimensionale. Interpretazione del fascio improprio di piani come
fascio di piani avente come asse la retta impropria dei piani. Fasci di rette
su un piano di uno spazio affine tridimensionale. Retta per un punto complanare
con due rette sghembe. Retta per un punto parallela a
due piani non paralleli.
Cambiamento
di basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Matrice associata ad un
cambiamento di basi. Formule di trasformazione di coordinate di vettore. Basi
equiverse di uno spazio vettoriale reale. Orientazioni di uno spazio vettoriale
reale di dimensione finita. Il caso degli spazi vettoriali geometrici di una
retta, di un piano e dello spazio affine ordinario. Cambiamento di riferimenti
affini di uno spazio affine. Formule di trasformazione di coordinate affini di
punto.
Casi
particolari di cambiamenti di riferimenti affini. Riferimenti affini equiversi
di uno spazio affine reale. Orientazioni di uno spazio affine reale.
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Caratterizzazione delle applicazioni
lineari. Proprietà delle applicazioni lineari. Applicazioni lineari surgettive,
applicazioni lineari iniettive, isomorfismi tra spazi vettoriali. Esempi
notevoli di applicazioni lineari. Forme e funzionali lineari.
Esempi
notevoli di forme lineari e di funzionali lineari. Restrizione di
un’applicazione lineare ad un sottospazio vettoriale. Applicazione
d’inclusione. Endomorfismi o operatori lineari di uno spazio vettoriale. Esempi
notevoli di endomorfismi di uno spazio vettoriale. Struttura di spazio
vettoriale dell'insieme Hom(V,W)
delle applicazioni lineari di V in W. Spazio vettoriale duale di uno spazio
vettoriale assegnato. Prodotto operatorio di applicazioni lineari. Struttura di
algebra dell'insieme End(V) degli endomorfismi di uno
spazio vettoriale V. Isomorfismo inverso di un isomorfismo assegnato.
Automorfismi o trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale V. Gruppo lineare
GL(V) degli automorfismi di uno spazio vettoriale V.
Teorema fondamentale sulle applicazioni lineari.
Dal 24 gennaio al
28 gennaio 2011:
Nucleo
ed immagine di un'applicazione lineare. Teorema sulle dimensioni del nucleo e
dell'immagine di un'applicazione lineare avente come
dominio uno spazio vettoriale di dimensione finita. Condizioni necessarie e
sufficienti affinché un'applicazione lineare tra spazi vettoriali aventi la
stessa dimensione finita sia un isomorfismo. Condizione necessaria e sufficiente
affinché due spazi vettoriali di dimensione finita siano isomorfi. Matrice
associata ad un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali V e W, di
dimensioni finite n ed m, rispetto a due basi assegnate. Equazione matriciale
di un'applicazione lineare. Equazioni cartesiane di un'applicazione lineare.
Uso della matrice associata ad un'applicazione lineare per lo studio della iniettività e della surgettività dell'applicazione. Caratterizzazione di un
isomorfismo tra spazi vettoriali in termini della matrice associata. Cenni
sull'isomorfismo tra lo spazio vettoriale Hom(V,W) e lo spazio vettoriale delle matrici ad elementi in K
con m righe ed n colonne. Dimensioine dello spazio
vettoriale duale di uno spazio vettoriale assegnato di dimensione finita.
Matrice
associata al prodotto operatorio di due applicazioni lineari. Matrice associata
all'isomorfismo inverso di un isomorfismo assegnato.
Formula
di trasformazione della matrice associata ad un'applicazione lineare. Matrici
simili e loro rango. Invarianti di una matrice per coniugazione. Matrici
congruenti e loro rango. Matrice associata ad un endomorfismo di uno spazio
vettoriale rispetto ad una base assegnata. Formula di trasformazione della
matrice associata ad un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Determinante di
un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili.
Matrici diagonalizzabili. Cenni sull'isomorfismo tra
l'algebra End(V) e l'algebra delle matrici quadrate
d'ordine n ad elementi in K. Autovettori ed autovalori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Autovettori ed autovalori di una
matrice quadrata. Diagonalizzabilità e basi di autovettori di un endomorfismo e di una matrice quadrata.
Spettro di un endomorfismo e di una matrice quadrata. Autospazio
associato ad un autovalore. Proprietà degli autovettori e degli autovalori.
Esempi notevoli di endomorfismi diagonalizzabili e di
endomorfismi non diagonalizzabili.
Proprietà
di autovettori associati ad autovalori
distinti. Criterio di diagonalizzabilità degli
endomorfismi e delle matrici. Equazioni cartesiane di un autospazio.
Polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Invarianza per coniugazione
del polinomio caratteristico di una matrice quadrata e dei suoi coefficienti.
Polinomio caratteristico di un endomorfismo.
Equazione caratteristica. Calcolo degli autovalori
di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Digressione sulla molteplicità delle soluzioni di un’equazione algebrica e sul teorema
fondamentale dell’algebra; campi algebricamente chiusi. Molteplicità algebrica
e geometrica di un autovalore. Proprietà delle
molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori.
Condizione necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo o una matrice
quadrata sia diagonalizzabile. Autovalori
di una matrice simmetrica reale.
Dal 31 gennaio al
4 febbraio 2011:
Applicazioni
bilineari. Applicazioni bilineari simmetriche. Applicazioni bilineari
antisimmetriche. Cenni sulle applicazioni multilineari. Forme bilineari. Forme
bilineari simmetriche, forme bilineari antisimmetriche e forme bilineari alterne.
Esempi notevoli di forme bilineari simmetriche e di forme bilineari
antisimmetriche.
Matrice
associata ad una forma bilineare rispetto ad una base; il caso delle forme
bilineari simmetriche e di quelle antisimmetriche. Formula di trasformazione della
matrice associata ad una forma bilineare. Rango di una forma bilineare di uno
spazio vettoriale di dimensione finita. Forme bilineari non degeneri.
Condizione necessaria e sufficiente affinché una forma bilineare di uno spazio
vettoriale di dimensione finita sia non degenere (soltanto enunciato). Esempi
notevoli di forme bilineari non degeneri e di forme bilineari degeneri. Forma
quadratica associata ad una forma bilineare. Proprietà delle forme quadratiche.
Matrice associata ad una forma quadratica. Forma bilineare simmetrica polare di
una forma quadratica. Identità di polarizzazione. Teorema di Carnot. Teorema di
Pitagora. Vettori ortogonali o perpendicolari rispetto
ad un forma bilineare simmetrica. Sottospazio vettoriale ortogonale ad un
sottoinsieme di vettori. Sottospazi vettoriali ortogonali. Vettori isotropi.
Coefficiente di Fourier di un vettore rispetto ad un vettore non isotropo.
Decomposizione di un vettore nella somma di due vettori ortogonali. Basi
ortogonali rispetto ad una forma bilineare simmetrica. Cenni sulla diagonalizzabilità delle forme bilineari simmetriche.
Forme
bilineari simmetriche reali definite positive, semidefinite
positive, definite negative, semidefinite
negative e non definite. Criterio di positività di una forma bilineare
simmetrica reale. Prodotti scalari, Esempi notevoli di prodotti scalari. Pseudoprodotti scalari. Esempi notevoli di pseudoprodotti scalari. Pseudoprodotto
scalare di Minkowski: vettori tipo
spazio, vettori tipo luce e vettori tipo tempo. Spazi vettoriali
euclidei ovvero spazi vettoriali reali dotati di prodotto scalare. Esempi
notevoli di spazi vettoriali euclidei. Modulo di un vettore. Proprietà del
modulo di un vettore. Disuguagianza di Cauchy-Schwarz (dimostrazione facoltativa). Alcune
applicazioni della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
in Analisi Matematica. Disuguaglianza triangolare. Angolo convesso di due
vettori.
Indipendenza di vettori ortogonali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Polinomi di Legendre. Vettori unitari. Basi ortonormali e loro uso. Significato delle coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale. Significato dei coefficienti dell'equazione cartesiana di un iperpiano vettoriale rispetto ad una base ortonormale. Cambiamento di basi ortonormali e matrici ortogonali.
Dal 7 febbraio
all’11 febbraio 2011:
Decomposizione di uno spazio vettoriale euclideo nella somma diretta di due sottospazi vettoriali ortogonali. Proiezione ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo su un sottospazio vettoriale. Simmetria ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo rispetto ad un sottospazio vettoriale; il caso particolare in cui il sottospazio sia una retta o un iperpiano vettoriale. Prodotto vettoriale di due vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale di due vettori indipendenti. Prodotto misto di tre vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto misto. Significato geometrico del segno del prodotto misto di tre vettori indipendenti. Significato geometrico del modulo del prodotto misto di tre vettori indipendenti.
Spazio euclideo associato ad uno spazio vettoriale euclideo. Esempi notevoli di spazi euclidei. Riferimenti cartesiani di uno spazio euclideo. Cambiamenti di riferimenti cartesiani e matrici ortogonali. Distanza di due punti di uno spazio euclideo. Proprietà della distanza. Digressione sugli spazi metrici. Uso delle coordinate cartesiane di punto per il calcolo della distanza di due punti. Sfere e dischi di uno spazio euclideo n-dimensionale. Versore di una retta orientata. Angolo convesso di due rette orientate. Condizione di perpendicolarità di due rette. Coseni direttori di una retta orientata. Vettori normali ad un iperpiano. Condizione di perpendicolarità tra retta e iperpiano. Versori normali ad un iperpiano. Distanza di un punto da un iperpiano. Distanza di un punto da una retta. Angoli tra iperpiani. Condizione di perpendicolarità di due iperpiani. Angoli tra rette e iperpiani. Geometria di un piano euclideo: distanze, angoli, perpendicolarità, area di parallelogrammi e di triangoli. Geometria di uno spazio euclideo tridimensionale: distanze, angoli, perpendicolarità, retta incidente e perpendicolare a due rette sghembe. area di parallelogrammi e di triangoli, volume di parallelepipedi e di tetraedri. Cenni sul volume di un n-parallelepipedo in uno spazio euclideo di dimensione n.
Digressione sulle applicazioni ortogonali tra spazi vettoriali euclidei. Endomorfismi ortogonali o unitari reali di uno spazio vettoriale euclideo. Gruppo ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo. Proprietà degli endomorfismi ortogonali. Automorfismi o trasformazioni ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita e matrici ortogonali associate. Gruppo ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita. Rotazioni di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita. Cenni sulle trasformazioni di Lorentz. Endomorfismi simmetrici o autoaggiunti reali di uno spazio vettoriale euclideo. Esempi notevoli di endomorfismi simmetrici. Proprietà degli autovalori e degli autovettori di un endomorfismo simmetrico. Sistema ortogonale. Teorema spettrale per gli endomorfismi simmetrici. Forme bilineari simmetriche reali ed endomorfismi simmetrici associati. Forma canonica metrica di una forma bilineare simmetrica reale e della forma quadratica reale ad essa associata. Criterio di positività di una forma bilineare simmetrica reale in termini di autovalori. Forma canonica affine di una forma bilineare simmetrica reale e della forma quadratica reale ad essa associata. Cenni sulle affinità di uno spazio affine associato ad uno spazio vettoriale. Cenni sulle isometrie di uno spazio euclideo e loro proprietà.