Corso di laurea in Statistica Gestionale.
Crediti Formativi: 9 (84 ore complessive)
Docenti: Paolo Piazza (Lunedi' e Mercoledi'); Enrico Casadio Tarabusi (Venerdi')
Orario: Lunedi' 8.30-10.30, Mercoledi' 10.30 - 12.30, Venerdi' 10.30-12.30, Venerdi' 12.30 - 14.30.
Aula III (a Statistica). Prima lezione: Lunedi' 22 Febbraio 2016. Ultima lezione: Venerdi' 27 Maggio 2016.
Orario Ricevimento: il Lunedi' dalle 14.30 alle 15.30 oppure per appuntamento.
Libro di Testo:
Marcellini-Sbordone: Analisi matematica uno (Liguori Ed.)
Marcellini-Sbordone: Esercitazioni di Matematica primo volume (prima e seconda parte) (Liguori Ed.)
Breve descrizione del programma:
Estremo superiore e inferiore. Successioni e loro limiti. Funzioni reali di una variabile reale. Limiti. Continuità.
Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Derivate. Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili. Formula di Taylor.
Massimi e minimi relativi e assoluti. Studio del grafico di una funzione. Serie numeriche. Criteri di convergenza. Serie di potenze.
Serie di Taylor. Integrali definiti e indefiniti. Funzione integrale e teorema fondamentale. Integrali impropri.
Equazioni differenziali ordinarie: equazioni a variabili separabili ed equazioni lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti.
Esoneri ed esami:
L'esame si compone di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta potra' contenere uno o piu' quesiti
di carattere teorico.
Durante il semestre si terranno due prove di esonero. Chi avra' la media di 18/30 nelle prove di esonero potra' essere ammesso alla prova orale
di uno dei 2 appelli
della sessione estiva con la media dei voti delle prove di esonero.
Per essere ammessi alla seconda prova di esonero e'
necessario aver ricevuto almeno 15/30 nella prima prova di esonero.
In tutti gli altri casi: il voto di uno scritto vale solo per gli appelli della sessione in cui si e' svolto lo scritto, in altre parole,
se non verrete all'orale nella stessa sessione dello scritto (o vi ritirerete) dovrete rifare lo scritto.
Per essere ammessi all'orale e`
necessario avere almeno 18/30 nello scritto.
A discrezione del docente (dipende da come e' stato svolto il compito scritto) il candidato che ha superato la prova scritta
o gli esoneri
potra' verbalizzare il minimo fra il voto dello scritto e 24/30, senza sostenere la prova orale.
Regole sulla prenotazione:
Gli studenti dovranno effettuare la prenotazione entro il venerdì precedente la prova scritta la
prenotazione via web accedendo al sito INFOSTUD.
PRIMA SETTIMANA.
Alcuni preliminari di logica elementare
Lezione del 22/2: Assiomi di campo, numeri reali, ordinamento,
assioma di continuita'. Numeri naturali, interi, razionali. Radice quadrata di 2.
I numeri complessi.
Lezione del 24/2: Valore assoluto di un numero reale. Disuguaglianza triangolare. Disuguaglianza di Bernoulli.
Intorno di raggio r di un punto nella retta reale. Massimo, minimo,
estremo superiore/inferiore.
Lezione del 26/2:
funzioni, dominio e codominio, dominio di esistenza, argomenti e valori, variabili indipendente
e dipendente, monotonia debole e stretta, intervalli di monotonia, inversione, funzioni affini e significato dei parametri,
potenze a esponente reale e proprietà, funzioni potenza, funzioni esponenziali, logaritmi.
Cosa dovete studiare: con riferimento al libro di testo,
sezione 2, sezione 3, sezione 5, sezioni 6, 7, 8, 9.
Quali esercizi dovete svolgere:
risolvere il
Primo compito a casa.
Soluzioni del primo compito a casa.
Ulteriori informazioni:
per la parte di matematica elementare (disequazioni, potenze, radicali, esponenziali, logaritmi)
potete anche consultare
il testo
Istituzioni di Matematiche di D'Ancona-Manetti
oppure le
dispense dei precorsi.
SECONDA SETTIMANA.
Lezione del 29/2: successioni e loro limiti. Esempi. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate.
Teorema della permanenza del segno e suoi corollari.
Lezione del 2/3: teorema dei due carabinieri (con dimostrazione). Teoremi di confronto. Limite di un prodotto
di una successione limitata
e di una successione infinitesima. Esempi. Limiti notevoli.
Lezione del 4/3: logaritmo e proprietà, definizione e principali proprietà delle funzioni trigonometriche
dirette e inverse, limiti di successioni monotone con dimostrazione (casi di limite finito e infinito),
qualche esempio e controesempio elementare, monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n senza dimostrazione,
cenno alle forme indeterminate delle potenze (0^0, infinito^0, 1^infinito).
Cosa dovete studiare: con riferimento al libro di testo,
sezioni 10, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31.
Quali esercizi dovete svolgere:
risolvere il
Secondo compito a casa.
TERZA SETTIMANA.
Lezione del 7/3: soluzione in classe del secondo compito a casa.
Ulteriori esercizi su disequazioni di secondo grado,
equazioni con radicali, disequazioni con il modulo.
Lezione del 9/3: richiami su successioni monotone; il numero di Nepero; infiniti di ordine crescente;
criterio del rapporto (con dimostrazione); esempi; successioni estratte; teorema di Bolzano-Weistrass;
successioni di Cauchy; criterio di Cauchy.
Lezione del 11/3: punti d'accumulazione finiti e infiniti, definizione di limiti di funzioni, unicità del limite,
permanenza del segno, passaggio al limite di disuguaglianze, teorema del confronto, limiti di restrizioni,
limiti destro e sinistro e relazioni col limite bilatero, limiti di funzioni monotone,
operazioni coi limiti e forme indeterminate.
Cosa dovete studiare: con riferimento al libro di testo,
sezioni 33, 34, 35, 50 (solo def. di punto di accumulazione), 40, 41, 42, 43, 49 (teorema sulle funzioni monotone).
Quali esercizi dovete svolgere:
risolvere il terzo compito a casa
(e' un compito di ripasso sui logaritmi).
Soluzioni del terzo compito a casa
Ulteriori esercizi sulle successioni
QUARTA SETTIMANA.
Lezione del 14/3: Esercizi su successioni. Ripasso sui limiti di funzioni. Esercizi.
Lezione del 16/3: Limiti e grafici di funzioni (asintoti verticali ed orizzontali). Funzioni continue.
Somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Composizione. Esercizi sulla composizione.
Teorema della permanenza del segno. Teorema degli zeri. Primo teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.
Lezione del 18/3: necessita` delle ipotesi nel teorema di Weierstrass;
secondo teorema dei valori intermedi;
relazioni tra continuita`, invertibilita` e monotonia
(f monotona su A intervallo => (f(A) intervallo <=> f continua);
f continua e invertibile su intervallo => f strettamente monotona ed f^(-1) continua e strettamente monotona);
tipi di discontinuità; richiamo della continuità della composizione e condizioni di validità del cambio di variabile nel limite;
dimostrazione
del primo teo. di esistenza dei valori intermedi a partire dal teorema degli zeri;
dimostrazione del secondo teorema dei valori intermedi
Esempi e controesempi.
Cosa dovete studiare: Sezioni 44, 45, 46, 49.
Quali esercizi dovete svolgere: svolgere gli esercizi 4.3, 4.5 e 4.6 del cap. 4.
Soluzione esercizio 4.5 (sui limiti)
QUINTA SETTIMANA.
Lezione del 21/3: Derivabilita'. Funzione derivata. Derivabilita' implica continuita'.
Esempi. Operazioni con le derivate. Derivata di una funzione composta. Derivata di una funzione
inversa.
Alcune derivate notevoli.
Lezione del 23/3:Ulteriori derivate notevoli. Esercizi sulle derivate e sulla continuita'. Significato geometrico
della derivata.
Lezione del 25/3: vacanza accademica
Quali esercizi dovete svolgere:
Compito a casa del 29/3/2016
SESTA SETTIMANA.
Sospensione della didattica.
PRIMA PROVA IN ITINERE: Venerdi' 1 Aprile alle 13.45 in Aula III a Matematica
(primo piano).
Attenzione: per poter partecipare alla prova in itinere e` necessario prenotarsi.
Cliccare qui per prenotarsi.
Testo e soluzione della prima prova
in itinere (compito A; il compito B era del tutto analogo).
Risultati del primo esonero.
Avviso: la seconda prova in itinere si svolgera' Lunedi'
30 maggio alle ore 14 in Aula III a Matematica.
SETTIMA SETTIMANA. OTTAVA SETTIMANA. NONA SETTIMANA. DECIMA SETTIMANA. UNDICESIMA SETTIMANA. DODICESIMA SETTIMANA. TREDICESIMA SETTIMANA.
Testo della seconda prova
in itinere. PROSSIMI APPUNTAMENTI.
Lezione del 4/4: Massimi e minimi relativi. Teo. di Fermat. Teo. di Rolle. Teo. di Lagrange.
Criterio di monotonia. Esempi. Caratterizzazione funzioni costanti in un intervallo . Criterio monotonia stretta.
Lezione del 6/4: Funzioni convesse e concave. Criteri. Esempi. Studio punti critici.
Lezione del 8/4:Funzioni trigonometriche inverse e loro derivate. Ancora sugli asintoti. Studio del grafico
di una funzione. Esempi. Esercizi.
Cosa dovete studiare: Sezioni 60, 61 62,63 64, 65. Con dimostrazioni.
Quali esercizi dovete svolgere: svolgere gli esercizi 6.1, 6.2, 6.8, 6.10, 6.16, 6.20, 6.22, 6.26 (a) e (c).
Lezione del 11/4:
Formula di Taylor: prime proprietà'.
Sulla continuità' della funzione derivata: un esempio di funzione derivabile
con derivata non continua.
Introduzione al calcolo dei limiti usando Taylor (e confronto
con L'Hopital).
Lezione del 13/4:
Area del segmento di parabola.
Definizione di integrabilita' secondo Riemann.
Teorema: se f definita su [a,b] e' continua allora e' integrabile
(senza dimostrazione).
Lezione del 15/4: ancora sullo sviluppo di Taylor (esempi di applicazioni al calcolo di limiti e raffronto col criterio di de l'Hôpital).
Proprietà dell'integrale definito: linearità, monotonia, relazione tra integrale del valore assoluto e valore assoluto dell'integrale, primo e secondo teorema della media integrale (questi due con dimostrazione).
Cosa dovete studiare: Sezioni 66, 78, 79, 80, 83.
Quali esercizi dovete svolgere: 6.17 (d), 6.22 (a) (b), 6.23 (d), 6.24 (a), 6.26 (f), 6.27 (d), 6.32.
Lezione del 18/4:
Teorema fondamentale calcolo integrale (con dimostrazione). Primitive.
Formula fondamentale
del calcolo integrale. L'integrale indefinito.
Lezione del 20/4:
Integrazione per decomposizione in somma.
Integrazione delle funzioni razionali (inclusa la divisione euclidea).
Lezione del 22/4: integrazione per parti e per sostituzione. Esempi ed esercizi.
Integrazione in senso improprio:
definizione e calcolo esplicito per la funzione x^(-a) in zero e in più infinito.
Cosa dovete studiare: Sezioni 86, 87, 88 + Esercizio 9.3, 89, 90, 91,92,95.
Quali esercizi dovete svolgere:
Compito a casa del 23/4/2016 (nuova versione
del 28/4 (c'era un errore di stampa nel'esercizio con la funzione razionale)).
Lezione del 25/4: festa nazionale.
Lezione del 27/4: soluzione in classe degli esercizi del compito del 23/4/2016.
Lezione del 29/4: raffronto tra integrazione in senso improprio di f e di |f|,
altri esercizi di limiti con la formula di Taylor, forme di Peano, Lagrange e integrale per il resto di Taylor,
esercizi sull'integrazione di funzioni razionali, sostituzione razionale di sin e cos
Cosa dovete studiare: Sezioni 98, 99, 100, 101.
Lezione del 2/5: serie numeriche: carattere di una serie, criterio necessario di convergenza,
criterio di Cauchy. Serie a termini positivi. Serie armonica, serie geometrica e serie armonica generalizzata
Lezione del 4/5: criteri di convergenza per le serie a termini positivi. serie alternate. convergenza assoluta.
Lezione del 6/5: esercizi sulle serie.
Cosa dovete studiare: Sezioni 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110.
Quali esercizi dovete svolgere:
Compito a casa del 8/5/2016.
Lezione del 9/5: serie di Taylor; equazioni differenziali ordinarie (ODE) lineari del primo ordine; esempi;
formula risolutiva; teorema di unicita' per il problema di Cauchy associato; soluzione di alcuni esercizi.
Lezione del 13/5: esercizi su ODE lineari di primo ordine e del corrispondente problema di Cauchy,
equazioni a variabili separabili, espressione della soluzione generale
di un'ODE lineare come somma di una particolare e della soluzione dell'ODE omogenea associata,
equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti di secondo ordine e cenno all'ordine qualsiasi.
Cosa dovete studiare: Sezioni 112, 116, 117, 119, 120.
Quali esercizi dovete svolgere:
Compito a casa del 14/5/2016.
Sketch delle soluzioni per i compiti a casa del 8/5 e del 14/5/2016.
Lezione del 16/5:
Riassunto sulle equazioni lineari del primo ordine, equazione del primo ordine a variabili
separabili, equazioni lineari del secondo ordine. Problema di Cauchy e teorema di unicita'.
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza. Esercizi.
Lezione del 18/5: ancora sul metodo di somiglianza. Principio di sovrapposizione. Metodo della variazione
delle costanti. Esercizi.
Cosa dovete studiare: Sezioni 121, 122, 123, 124.
Per il metodo di somiglianza ed il principio
di sovrapposizione cliccate qui (tratto da Crasta-Malusa,
Analisi 2).
Testo dell'esame scritto del 6/6/16.
Testo dell'esame scritto del 11/7/16.
Testo dell'esame scritto del 14/9/16.
Esito dell'esame scritto del 14/9/16.
Eventuali orali + visione compiti + verbalizzazioni: Lunedi' 19 Settembre
ore 14.30, stanza 123 a Matematica (primo piano).