Corso di Geometria
canale secondo, per gli studenti il cui cognome inizia con le
lettere da A a CE
Anno accademico 2012-2013
Docente: Prof. Paolo Papi
Numero di crediti formativi: 9
Orario delle lezioni: martedì e
giovedì ore 9-11, venerdì ore 11-13, aula 6.
Orario di
ricevimento: Per appuntamento o dopo la lezione del
martedì.
Esami di profitto: L'esame di profitto del corso consiste in
una prova scritta (o due prove scritte parziali d'esonero)
e una orale. Per sostenere una prova orale occorre aver superato una
prova scritta (o entrambe le prove scritte parziali).
Una prova scritta (o l'insieme delle due prove scritte parziali)
può essere però utilizzata per sostenere solamente una prova
orale, preferibilmente (ma non necessariamente) quella
immediatamente successiva.
La prove scritte parziali si svolgeranno
rispettivamente nella seconda metà del mese di novembre 2012 e nel
mese di gennaio 2013.
Testi
consigliati :
(A) Marco Abate, Geometria, McGraw-Hill
Editrice.
(B) Enrico Schlesinger ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA, ZANICHELLI
(C) Paolo De Bartolomeis, Algebra Lineare , La Nuova Italia
Eserciziario consigliato: M.
Abate, C. de Fabritiis, Esercizi di geometria, McGraw-Hill
Editrice.
1. GEOMETRIA DEGLI SPAZI AFFINI
Rette, piani, vettori. Proprieta' degli spazi affini. Vettori
applicati linearmente indipendenti (definizione geometrica). Sistemi
di riferimento e coordinate (in particolare, continuita' della
retta). Equazioni vettoriali e cartesiane di rette e piani, vettori
direttori, giacitura. Studio della posizione di rette e piani in uno
spazio affine tridimensionale.
Riferimenti Bibliografici: (A)
2. GEOMETRIA DEGLI SPAZI EUCLIDEI
Proprieta' affini e proprieta' metriche degli oggetti geometrici.
Ortogonalita'. Proiezioni ortogonali. Problemi metrici nello studio
di rette e piani. Norma dei vettori. Prodotto scalare e sue
proprieta'. Applicazioni: calcolo dei coefficienti di Fourier. Basi
ortonormali ed espressione del prodotto scalare in coordinate
ortonormali. Prodotto vettoriale. Calcolo di distanze.
Riferimenti Bibliografici: (A)
3. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
Sistemi omogenei, non omogenei, consistenti e inconsistenti.
Matrici. Operazioni con le matrici e loro struttura di spazio
vettoriale. Soluzione dei sistemi mediante l'algoritmo di
Gauss-Jordan. Rango di una matrice. Struttura dell'insieme delle
soluzioni di un sistema.
Riferimenti Bibliografici: (A), (B)
4. SPAZI VETTORIALI
Campi. Numeri complessi. Spazi e sottospazi vettoriali. Esempi (in
particolare: soluzioni di un sistema lineare omogeneo, matrici
simmetriche, antisimmetriche, a traccia nulla, polinomi di grado
minore di n). Generatori, basi, dipendenza e indipendenza lineare di
vettori. Esistenza di una base. Dimensione. Teorema di Rouche'-
Capelli. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di
Grassmann (senza dimostrazione). Somma diretta di sottospazi.
Riferimenti Bibliografici: (A), (B)
5. APPLICAZIONI LINEARI
Definizioni di base. Condizioni per l'esistenza e l'unicita' di
un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Spazio vettoriale
delle applicazioni lineari. Nucleo e immagine; relazione fra le loro
dimensioni. Matrice associata a un'applicazione lineare e a una
coppia di basi. Costruzione di applicazioni lineari con condizioni
assegnate. Matrici nonsingolari e matrici di transizione. Inversa di
una matrice nonsingolare. Algoritmo per il calcolo della matrice
inversa. Matrici simili.
Riferimenti Bibliografici: (A), (B)
6. DETERMINANTI
Sviluppo di Laplace del determinante di una matrice. Unicita' del
determinante (senza dimostrazione). Proprieta' dei determinanti
(senza dimostrazione) e relazione con l'algoritmo di Gauss-Jordan.
Legame con l'invertibilita' e il rango di una matrice (senza
dimostrazione).
Riferimenti Bibliografici: (A)
7. AUTOVALORI E AUTOVETTORI
Operatori e matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico e
calcolo degli autovalori e degli autovettori. Esempi di operatori
diagonalizzabili e non. Autospazi, molteplicita' algebrica e
geometrica di un autovalore. Condizioni necessarie e sufficienti per
la diagonabilizzabilita' di matrici e operatori.
Riferimenti Bibliografici: (A), (B)
Cenni sulla forma canonica di Jordan.
Riferimenti Bibliografici: (B)
8. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI
Prodotto scalare definito positivo in uno spazio vettoriale reale.
Ortogonalita'. Insiemi ortogonali di vettori. Proiezione ortogonale
su un sottospazio. Coefficiente di Fourier. Basi ortogonali e loro
costruzione: procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Complementare ortogonale di un sottospazio. Basi ortonormali.
Prodotti hermitiani. Matrici ortogonali.
Riferimenti Bibliografici: (A), (B)
9. FORME BILINEARI E FORME QUADRATICHE
Matrice associata a una forma bilineare e a una base. Matrici
congruenti. Forme bilineari e simmetriche. Forme quadratiche. Forma
polare di una forma quadratica e identita' di polarizzazione.
Ortogonalita' rispetto a una forma. Basi ortogonali. Forme definite.
Forme degeneri. Nucleo e nullita' di una forma. Vettori isotropi.
Classi di congruenza di matrici simmetriche. Teorema di Sylvester e
indice di positivita'.
Riferimenti Bibliografici: (C)
10. OPERATORI AUTOAGGIUNTI
Matrici autoaggiunte e operatori autoaggiunti in uno spazio euclideo
reale o complesso. Proprieta' degli autovalori e degli autovettori
degli operatori autoaggiunti. Diagonalizzazione delle matrici reali
e simmetriche e delle matrici hermitiane. Teorema spettrale per
operatori autoaggiunti. Applicazione al calcolo degli indici di una
forma bilineare e simmetrica. Cenni sugli operatori normali.
Riferimenti Bibliografici: (C)
Esercizitazioni
Test
del 26 ottobre
Test
del 14 novembre
ESONERI
TESTO
E SOLUZIONI DELLA PROVA DEL 23 NOVEMBRE
TESTO
E SOLUZIONI DELLA PROVA DEL 25 GENNAIO
RISULTATI
FINALI
L'ESONERO DALLA PROVA SCRITTA VALE PER LA PRIMA SESSIONE, A MENO DI
ACCORDI COL DOCENTE
ESAMI
Importante: regole sulla prenotazione. Gli studenti dovranno
effettuare la, entro la domenica precedente la prova
scritta la prenotazione alla prova orale via web accedendo al
sito INFOSTUD. Gli studenti non prenotati non saranno ammessi alla
prova scritta. Si ricorda che su infostud si trovano solo gli
appelli orali.
PROVA DEL 30 GENNAIO 2013
TESTO
E SOLUZIONI (molto schematiche) DELLA PROVA
PROVA DEL 13 FEBBRAIO 2013
TESTO
DELLA PROVA
PROVA DEL 21 GIUGNO 2013
TESTO
DELLA PROVA
Traccia
delle soluzioni
PROVA DEL 24 SETTEMBRE 2013
TESTO
DELLA PROVA
Risultati della prova del 24/9: Arena 20, Belli
20, Biondini 24, Capotosti 15; gli
altri compiti sono insufficienti. Le prove orali avranno
inizio alle ore 9.30.