Scheda insegnamento
Equazioni alle Derivate Parziali
| anno accademico: | 2013/2014 |
| docente: | Maria Michaela Porzio |
| corso di laurea: | Matematica (magistrale), II anno |
| tipo di attività formativa: | caratterizzante |
| crediti formativi: | 6 (48 ore di lezione) |
| raggruppamento disciplinare: | MAT/05 Analisi Matematica |
| lingua di insegnamento: | italiano |
| periodo: | I sem (30/09/2013 - 17/01/2014) |
Aula ed orario di lezione
Frequenza: consigliata
Programma di massima del corso:
Premessa:
Durante il corso, a valle di un breve ripasso, verranno studiate equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico e parabolico; un maggiore approfondimento verrà riservato a queste ultime, dal momento che quelle di tipo ellittico sono già state affrontate in altri corsi.
Il corso si prefigge di avviare gli studenti alla ricerca; per questo gli argomenti che verranno trattati si riferiscono per la maggior parte a problemi tuttora oggetto di studio. Per questo il programma potrà anche, su richiesta degli studenti, subire delle variazioni.
Durante il corso verranno inoltre redatte (con laiuto di volonterosi studenti) delle dispense; infatti molti degli argomenti trattati sono riferiti a risultati recentissimi che per questo non sono ancora rintracciabili su libri di testo ma solo pubblicati su riviste scientifiche internazionali (di cui verranno dati tutti i riferimenti).
Programma di massima:
Prerequisiti:
Distribuzioni , spazi di Sobolev e teoremi di compattezza.
Equazioni ellittiche:
Equazioni lineari e non lineari. Soluzioni classiche: il problema dellesistenza di tali soluzioni. Altri tipi di soluzioni. Il problema dellunicità delle soluzioni. Regolarità e dipendenza continua dai dati.
Equazioni paraboliche:
Equazioni lineari (Equazione del calore e sue generalizzazioni lineari)
Equazioni non lineari: equazione dei mezzi porosi, fast diffusion, p-Laplaciano, equazioni di tipo LerayLions, equazioni doppiamente non lineari.
Soluzioni distribuzionali, problema di Cauchy, Neumann, condizioni miste.
Teoremi di esistenza di soluzioni.
Regolarità delle soluzioni; come il dato iniziale e il termine noto influenzano la regolarità delle soluzioni.
Come cambiare la regolarità delle soluzioni: termini di reazione e di diffusione.
Come scoprire se cè esistenza globale delle soluzioni; comportamento delle soluzioni globali per tempi grandi; effetto regolarizzante di certe equazioni paraboliche. Stime di decadimento. Problemi per cui cè blow-up delle soluzioni o per cui le soluzioni tendono al problema ellittico associato.
Problema dellunicità delle soluzioni: il controesempio di Serrin.
Altre nozioni sulle soluzioni.
Testi consigliati:
- E. Di Benedetto: Partial Differential Equations (Birkhauser, 1995)
- L.C. Evans: Partial Differential Equations (Amer. Math. Soc., 1998)
- H. Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
- W.A. Strauss: Partial Differential Equations: An Introduction (Wiley, 1992)
- Jacques-Louis Lions: Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limits non linéaires
Modalità di erogazione: convenzionale
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:
Il corso fornisce agli studenti strumenti avanzati per lo studio di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.
Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno raggiunto una buona familiarità con le più recenti nozioni di soluzione e con le relative proprietà qualitative.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:
Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare lo studio avanzato delle soluzioni di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%