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Equazioni alle Derivate Parziali
| academic year: | 2013/2014 |
| instructor: | Maria Michaela Porzio |
| degree course: | Mathematics (magistrale), II year |
| type of training activity: | caratterizzante |
| credits: | 6 (48 class hours) |
| scientific sector: | MAT/05 Analisi Matematica |
| teaching language: | italiano |
| period: | I sem (30/09/2013 - 17/01/2014) |
Lecture meeting time and location
Presence: highly recommended
Module subject:
Premessa:
Durante il corso, a valle di un breve ripasso, verranno studiate equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico e parabolico; un maggiore approfondimento verrà riservato a queste ultime, dal momento che quelle di tipo ellittico sono già state affrontate in altri corsi.
Il corso si prefigge di avviare gli studenti alla ricerca; per questo gli argomenti che verranno trattati si riferiscono per la maggior parte a problemi tuttora oggetto di studio. Per questo il programma potrà anche, su richiesta degli studenti, subire delle variazioni.
Durante il corso verranno inoltre redatte (con laiuto di volonterosi studenti) delle dispense; infatti molti degli argomenti trattati sono riferiti a risultati recentissimi che per questo non sono ancora rintracciabili su libri di testo ma solo pubblicati su riviste scientifiche internazionali (di cui verranno dati tutti i riferimenti).
Programma di massima:
Prerequisiti:
Distribuzioni , spazi di Sobolev e teoremi di compattezza.
Equazioni ellittiche:
Equazioni lineari e non lineari. Soluzioni classiche: il problema dellesistenza di tali soluzioni. Altri tipi di soluzioni. Il problema dellunicità delle soluzioni. Regolarità e dipendenza continua dai dati.
Equazioni paraboliche:
Equazioni lineari (Equazione del calore e sue generalizzazioni lineari)
Equazioni non lineari: equazione dei mezzi porosi, fast diffusion, p-Laplaciano, equazioni di tipo LerayLions, equazioni doppiamente non lineari.
Soluzioni distribuzionali, problema di Cauchy, Neumann, condizioni miste.
Teoremi di esistenza di soluzioni.
Regolarità delle soluzioni; come il dato iniziale e il termine noto influenzano la regolarità delle soluzioni.
Come cambiare la regolarità delle soluzioni: termini di reazione e di diffusione.
Come scoprire se cè esistenza globale delle soluzioni; comportamento delle soluzioni globali per tempi grandi; effetto regolarizzante di certe equazioni paraboliche. Stime di decadimento. Problemi per cui cè blow-up delle soluzioni o per cui le soluzioni tendono al problema ellittico associato.
Problema dellunicità delle soluzioni: il controesempio di Serrin.
Altre nozioni sulle soluzioni.
Suggested readings:
- E. Di Benedetto: Partial Differential Equations (Birkhauser, 1995)
- L.C. Evans: Partial Differential Equations (Amer. Math. Soc., 1998)
- H. Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
- W.A. Strauss: Partial Differential Equations: An Introduction (Wiley, 1992)
- Jacques-Louis Lions: Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limits non linéaires
Type of course: standard
Knowledge and understanding:
Il corso fornisce agli studenti strumenti avanzati per lo studio di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.
Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno raggiunto una buona familiarità con le più recenti nozioni di soluzione e con le relative proprietà qualitative.
Skills and attributes:
Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare lo studio avanzato delle soluzioni di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.
Personal study: the percentage of personal study required by this course is the 65% of the total.