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Istituzioni di ProbabilitÃ
| academic year: | 2013/2014 |
| instructor: | Emilio De Santis |
| degree courses: | Mathematics for applications (magistrale) Mathematics (magistrale) |
| type of training activity: | affine e integrativa |
| credits: | 9 (72 class hours) |
| scientific sector: | MAT/06 Probabilità |
| teaching language: | italiano |
| period: | II sem (05/03/2014 - 13/06/2014) |
Lecture meeting time and location
Presence: highly recommended
Module subject:
- Spazi di misura e loro proprietà.
- Eventi. Lemma di Borell-Cantelli e definizioni di limite superiore ed inferiore per eventi.
- Variabili aleatorie e sigma-algebre generate dalle variabili aleatorie. Rappresentazione di Skorokhod.
- Indipendenza delle sigma-algebre. Definizione di sigma-algebra coda e legge 0-1 di Kolmogorov.
- Valore atteso: disuguaglianza di Jensen, disuguaglianza di Schwarz, di Holder e Minkowski.
- Legge dei grandi numeri per variabili con momento quarto limitato.
- Valore atteso condizionato.
2. Martingale.
- Martingale e teorema di convergenza di Doob.
- Martingale arrestate e Teorema di Optional Stopping Time. Martingale e giochi equi.
- Martigale in L^2 e nuove leggi forti dei grandi numeri.
- Uniforme integrabilità.
- Martingale uniformemente integrabili.
- Fine del programma per gli studenti che sostengono l'esame da 6 crediti.
3. Convengerza in legge.
- Funzione Caratteristica.
- Convergenza debole e Lemma di Helly-Bray. Tightness.
- Teorema di Levy per la convergenza delle funzioni caratteristiche.
- Teorema del limite centrale.
- Un primo risultato di grandi deviazioni: il Teorema di Cramer.
1. Spazi di probabilità e valori attesi condizionati.
Suggested reading: Williams Probability with Martingales (Cambridge University Press, 1991)
Type of course: standard
Knowledge and understanding: At the end of the course the student should have the knowledge of the probabilistic models, in particular the use of martingales to derive the main limit theorems.
Skills and attributes: After the exam the student should be able to use probabilistic models and the relevant results about them in different situations of interest in applied mathematics.
Personal study: the percentage of personal study required by this course is the 65% of the total.