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Algebra III
| academic year: | 2013/2014 |
| instructor: | Alberto De Sole |
| degree course: | Mathematics - DM 270/04 (triennale), III year |
| type of training activity: | caratterizzante |
| credits: | 6 (48 class hours) |
| scientific sector: | MAT/02 Algebra |
| teaching language: | italiano |
| period: | I sem (30/09/2013 - 17/01/2014) |
Lecture meeting time and location
Presence: highly recommended
Module subject:
Algebre. Rappresentazioni. Ideali. Quozienti. Sotto rappresentazioni, omomorfismi, somma diretta. Esempi. Algebre di gruppo, Algebre di Lie, quivers e loro rappresentazioni. Caratteri di rappresentazioni, teoremi di Jordan-Holder e di Krull-Schmidt. Algebre di dimensione finita. Rappresentazioni ed algebre semisemplici. Classificazione.
Primi risultati. Completa riducibilità in caratteristica prima con l'ordine del gruppo. Irriducibili. Numero di irriducibili. Formula dei quadrati. Caratteri. Caratteri di somme dirette duali e prodotti tensoriali. Lemma di Schur. Ortogonalità di caratteri. Numeri e interi algebrici. Divisibilità di Frobenius. Teorema di Burnside. Caratteri indotti. Recoprocità di Frobenius. Teoremi di Artin e di Brauer.
Diagrammi e tabelle di Young. Costruzione delle rappresentazioni irriiducibili. Formula di Murnaghan-Nakayama. Hook-formula per la dimensione. Funzioni di Schur. Cenni alla dualità di Schur e allo studio delle rappresentazoni di GL(n). Rappresentazioni di Gl(2,F_q).
Definizione. L'algebra dei cammini. Rappresentazioni indecomponibili. Funtori di riflessione. Sistemi di radici e loro diagramma di Dynkin e gruppo di Weyl. Teorema di Gabriel. Moduli proiettivi. Dimensione omologica. Cenni di algebra omologica.
Type of course: standard
Knowledge and understanding: Il corso rappresenta un'introduzione dettagliata ai principali aspetti della teoria delle rappresentazioni, con particolare riguardo per le rappresentazioni dei gruppi finiti, delle algebre di Lie semisemplici, e dei quivers.
Skills and attributes: Al termine del corso, lo studente diligente dovrebbe essere in grado di calcolare senza problemi la tavola dei caratteri di gruppi finiti piccoli, calcolare le estensioni di rappresentazioni di quiver, costruire gli indecomponibili di un quiver di tipo finito, essere in grado di calcolare funtori di riflessione. Per quanto riguardo il gruppo simmetrico calcolare in modo algoritmico la decomposizione di una rappresentazione irriducibile rispetto ad un sottogruppo parabolico. Sara' infine in grado di cominciare lo studio della letteratura recente sull'argomento.
Personal study: the percentage of personal study required by this course is the 65% of the total.