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Algebra lineare
| academic year: | 2013/2014 |
| instructor: | Roberto Pignoni |
| degree course: | Mathematics - DM 270/04 (triennale), I year |
| type of training activity: | di base |
| credits: | 9 (72 class hours) |
| scientific sector: | MAT/03 Geometria |
| teaching language: | italiano |
| program: | A-H |
| period: | I sem (30/09/2013 - 17/01/2014) |
Lecture meeting time and location
Presence: highly recommended
Module subject:
- Numeri complessi.
Definizione, proprietà (sono un campo), espressione trigonometrica, teorema fondamentale dell'algebra (solo enunciato). - Sistemi Lineari.
Lalgebra delle matrici: Somma di matrici, Prodotto di matrici, Matrici invertibili.Spazi vettoriali numerici. Eliminazione di Gauss. - Spazi vettoriali.
Esempi. Basi. Dimensione. Spazi vettoriali su ucampo qualsiasi. Algoritmo di Gauss per selezionare una base.Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somme dirette. Il rango di una matrice. - Determinanti.
Permutazioni. Definizione di determinante e sue proprietà. Inversa di una matrice. Calcolo del rango. Teorema di Cramer. Teorema di Rouchè- Capelli - Geometria Affine.
Sottospazi affini. Riferimenti cartesiani. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi. Rette, piani, condizioni di appartenenza, parallelismo. Geometria affine in dimensione due e tre. - Applicazioni lineari.
Applicazioni lineari definite da matrici. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali. Iniettivita` e suriettività. Nucleo ed Immagine. Matrice associata ad una trasformazionelineare. Composizione di applicazioni e prodotto righe per colonne. Funzionali lineari. Cambiamenti di base. Matrici simili. - Geometria Euclidea.
Prodotto scalare nello spazio dei vettori geometrici. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Prodotto vettoriale. Distanze. Condizioni di ortogonalità. Spazi euclidei. Geometria euclidea in dimensione due e tre. Circonferenza. Ellisse. Iperbole. Parabola. Sfera. - Diagonalizzazione degli operatori linari.
Autovalori ed autovettori. Autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Diagonalizzabilità reale e complessa.
Suggested reading:
Marco Abate - Chiara de Fabritiis, Geometria Analitica con elementidi algebra lineare, Ed. McGraw-Hill Libri Italia srl,Milano 2006
Marco Abate - Chiara de Fabritiis, Esercizi di Geometria, Ed. McGraw-Hill Libri Italia srl,Milano 1999
Edoardo Sernesi,Geometria 1,Bollati Boringhieri,seconda edizione,2000
Type of course: standard
Knowledge and understanding:
Succesful students will be able to understand: the concept of vector spaces and subspaces; the concept of basis and dimension of a vector space; the concept of linear map and of matrices associated to a linear map; the concept of conjugate matrices and of determinant; the concept of eigenvalues and eigenvectors of an endomorphism; the concept of algebraic and geometric moltiplicity of an eigenvalue; the concept of diagonalizable endomorphism; the concept of affine coordinate system.
The student will be also able to explain the basic results concernig the above concepts.
Skills and attributes:
Successful students will be able to utilize: Gauss` elimination algorithm in order to solve systems of linear equations, in order to compute the rank of a matrice, in order to compute the inverse of a square (invertible) matrix, in order to select a basis from a system of generators, in order to compute the determinant of a square matrix; Laplace`s expansion in order to compute a determinant; determinants in order to compute the rank of a matrix, in order to compute the inverse of a square mmatrix, in order to solve systems of linear equations.
The student will be also able to apply criteria that allow to establish when a square matrix is diagonalizable, and to solve some elementary problems in analytic geometry.
Personal study: the percentage of personal study required by this course is the 65% of the total.