Scheda insegnamento
Sistemi Dinamici
| anno accademico: | 2013/2014 |
| docenti: | Piero Negrini, Paolo Butta' |
| corsi di laurea: | Matematica (magistrale) Matematica per le Applicazioni (magistrale) |
| tipo di attività formativa: | caratterizzante |
| crediti formativi: | 6 (48 ore di lezione) |
| raggruppamento disciplinare: | MAT/07 Fisica matematica |
| lingua di insegnamento: | italiano |
| periodo: | II sem (03/03/2014 - 13/06/2014) |
Aula ed orario di lezione
Frequenza: consigliata
Programma di massima del corso:
- Aspetti generali. Processi di evoluzione deterministici. Campi vettoriali e flussi di fase. Struttura delle curve di fase: punti singolari e orbite periodiche. Legge di trasformazione dei campi vettoriali. Il teorema della scatola di flusso. Sistemi dinamici discreti (mappe).
- Cenni di teoria della biforcazione. Biforcazione dei punti singolari, condizione necessaria per l'esistenza di valori critici di biforcazione. Esempi di biforcazione per sistemi autonomi in dimensione uno dipendenti da un parametro reale.
- Richiami di teoria lineare ed applicazioni. Esponenziale di matrice, sue proprietà e strategie per il calcolo. Linearizzazione attorno a punti singolari. Norme adattate e convergenza esponenziale. Stabilità ed instabilità riconosciute dalla parte lineare.
- Studio qualitativo dei sistemi differenziali sul piano. Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Equilibri attrattivi e bacini di attrazione. Studio del pendolo piano con attrito lineare. Il criterio di Bendixson sulla non esistenza di orbite periodiche. Orbite isolate e cicli limite. Sezione di Poincaré e mappa del primo ritorno. Un esempio di ciclo limite attrattivo: l'oscillatore di van der Pol. Il teorema di Poincaré-Bendixson.
- Elementi di dinamica iperbolica. Punti iperbolici. Il teorema delle varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi. Struttura globale delle varietà invarianti. Intersezioni ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati e teorema di Poincaré sulle soluzioni periodiche. Formula di Melnikov per la determinazione dell'intersezione omoclina trasversa. Applicazione alla dinamica del pendolo forzato: esistenza di moti caotici.
- Meccanica hamiltoniana. Richiami sui sistemi hamiltoniani. Trasformazioni simplettiche. Variabili angolo-azione. Moto condizionatamente periodico. Il teorema di Arnold-Liouville sulla integrabilità dei sistemi hamiltoniani. Equazione di Hamilton-Jacobi ed esempi di separazione delle variabili. Teoria delle perturbazioni classica.
Testo consigliato: P. Buttà, P. Negrini, Note del corso di Sistemi Dinamici, reperibili in rete all'indirizzo http://www.mat.uniroma1.it/people/butta/didattica. Materiale bibliografico supplementare è indicato in queste dispense o viene reso disponibile al suddetto indirizzo di rete.
Modalità di erogazione: convenzionale
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito conoscenze teoriche rigorose ed avanzate nell'ambito della teoria dei sistemi dinamici non lineari, con particolare riguardo ai sistemi hamiltoniani e iperbolici.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: Gli studenti che abbiano seguito con profitto il corso saranno in grado di applicare le conoscenze acquisite nell'analisi di modelli di evoluzione non lineare nelle scienze applicate.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%