Scheda insegnamento
Geometria Riemanniana
| anno accademico: | 2013/2014 |
| docente: | Andrea Sambusetti |
| corso di laurea: | Matematica (magistrale) |
| tipo di attività formativa: | caratterizzante |
| crediti formativi: | 6 (48 ore di lezione) |
| raggruppamento disciplinare: | MAT/03 Geometria |
| lingua di insegnamento: | italiano |
| periodo: | I sem (30/09/2013 - 17/01/2014) |
Aula ed orario di lezione
Frequenza: consigliata
Programma di massima del corso:
- Richiami sulle sottovarieta' di uno spazio euclideo: spazio tangente, campi di vettori, funzioni e applicazioni differenziabili tra sottovarieta' (parametrizzazioni/immersioni/embeddings/summersioni), derivate direzionali di funzioni e differenziale di applicazioni tra sottovarieta' di uno spazio euclideo; fibrato tangente, bracket, distriuzioni e teorema di Frobenius, tensori e forme differenziali; struttura riemanniana (I e II forma fondamentale), operatore forma e derivata covariante su sottovarieta' di E^n.
- Varieta' Riemanniane: esempi; connessione e trasporto parallelo; geodetiche, applicazione esponenziale, coordinate normali, punti coniugati, cut locus; curvatura, relazione con la curvatura di sottovarieta' (Teorema di Gauss); campi di Jacobi, formule della variazione prima e seconda.
- Alcuni teoremi importanti di Geometria Riemanniana: teorema di Cartan-Hadamard, teorema di Synge, primo teorema di Cartan.
- Spazi-forma e loro geometria.
- Argomenti di geometria di paragone: relazioni tra volume, curvatura, e gruppo fondamentale.
Testo consigliato:
S. Gallot-D. Hulin-J. Lafontaine "Riemannian geometry", Graduate Texts in Math., Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1993;
Do Carmo, "Riemannian Geometry", BIrkhauser, Boston, 1992;
A. Sambusetti "Complementi ed Esercizi di Geometria differenziale", http://www1.mat.uniroma1.it/people/sambusetti/andreas_webpage/geometria.html
Modalità di erogazione: convenzionale
Prerequisiti:
- Algebra lineare. Topologia elementare, gruppo fondamentale. Analisi in R^n: parametrizzazioni ed equazioni cartesiane di sottoinsiemi dello spazio euclideo (regolarita', teorema del Dini, teorema della funzione inversa, moltiplicatori di Lagrange etc). Conoscenza e uso di nozioni di derivazione e differenziabilita' in R^n e su sottovarieta' di R^n. Conoscenza e uso di teoremi i calcolo integrale in R^n e su sottovarieta' di R^n (sottovarieta' a bordo, teoremi di Green e di Stokes). Geometria differenziale elementare delle curve e delle superfici dello spazio euclideo.
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:
Gli studenti che abbiano superato lesame saranno in grado di affrontare argomenti di base della geometria Riemanniana, inclusi gli esempi fondamentali di varieta Riemanniane, e le sue applicazioni all'astronomia, teoria della relativita' , fisica teorica, etc. Essi avranno raggiunto una buona familiarita con concetti fondamentali quali tensori, derivate covarianti, metriche Riemanniane.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:
Gli studenti che abbiano superato lesame saranno in grado di eseguire le principali operazioni del calcolo tensoriale, quali la derivata di Lie e la differenziazione di forme esterne. Calcolare lalgebra di Lie di un gruppo di Lie. Studiare sottovarieta dello spazio euclideo definite mediante equazioni cartesiane o parametriche, sia dal punto di vista locale che globale, calcolandone la metrica, la connessione di Levi Civita e il corrispondente trasporto parallelo, le geodetiche, la curvatura. Inoltre, essi sapranno utilizzare il software Mathematica per lo studio della geometria differenziale delle curve e delle superfici.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%