Scheda insegnamento
Analisi reale
| anno accademico: | 2013/2014 |
| docenti: | Luca Fanelli, Lucio Boccardo |
| corso di laurea: | Matematica - DM 270/04 (triennale), III anno |
| tipo di attività formativa: | caratterizzante |
| crediti formativi: | 9 (72 ore di lezione) |
| raggruppamento disciplinare: | MAT/05 Analisi Matematica |
| lingua di insegnamento: | italiano |
| periodo: | I sem (30/09/2013 - 17/01/2014) |
Aula ed orario di lezione
Frequenza: consigliata
Programma di massima del corso:
- Spazi metrici.
Proprieta`; esempi fondamentali. Teorema delle contrazioni, applicazione alla risoluzione di alcune equazioni integrali. Proprieta` di completezza di alcuni spazi metrici. Teorema del completamento. - Spazi di Banach.
Proprieta` di compattezza della sfera unitaria. Spazi di successioni: esempi e rappresentazione di alcuni duali. - Compattezza in Co.
Teorema di Ascoli-Arzela`. - Spazi di Hilbert.
Teorema della proiezione. Duale di uno spazio di Hilbert. Successioni limitate in uno spazio di Hilbert separabile. - Misura astratta.
Proprieta` generali. Esempi significativi. Funzioni misurabili. Convergenza in misura. Cenni sulla costruzione della misura di Lebesgue in Rn. - Integrazione astratta.
Teoremi di convergenza rispetto alla convergenza quasi ovunque (Levi, Fatou, Lebesgue, Lebesgue-Vitali). Caratterizzazione della convergenza in misura. Assoluta continuita` dellintegrale. Teorema di Radon-Nikodym. - Spazi Lp
Completezza. Cenni su densita` e separabilita`, Lp come completamento di Co. Diseguaglianze di Clarkson e teorema della proiezione in Lp. Teoremi di rappresentazione del duale di Lpe L1; seconda dimostrazione, usando il teorema di Radon-Nikodym. Continuita` delloperatore di composizione fra spazi Lp. Successioni limitate in Lp, p > 1. Convergenza debole: definizione ed esempi significativi (Lemma di Riemann- Lebesgue). Forma debole del teorema di Bolzano-Weierstass in Lp, p > 1. Patologia delle successioni limitate in L1. Cenni su compattezza in Lp.
Testo consigliato: H. Royden, Real Analysis
Modalità di erogazione: convenzionale
Prerequisiti:
Calcolo I, Calcolo II, Analisi I, Algebra Lineare, Geometria Analitica.
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Il corso fornisce agli studenti le basi per lo studio della teoria delle distribuzioni, degli spazi di Sobolev, e delle equazioni ellittiche lineari.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno appreso gli strumenti fondamentali per lo studio avanzato delle soluzioni deboli per equazioni alle derivate parziali.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%