Sapienza Università di Roma
Facoltà di Scienze Statistiche

Matematica 1o Corso

per gli studenti il cui cognome inizia con le lettere dalla M alla Z
di tutti i corsi di laurea triennale della facoltà

Anno accademico 2010-2011

Docente: Prof. Paolo Papi

Numero di crediti formativi: 9

Orario delle lezioni: Lunedì 10.30-12.30; 15-17
Mercoledì 12.30-14.30;
Venerdì 10.30-12.30.
Tutte le lezioni si terranno in aula III.

Orario di ricevimento: Per appuntamento.




Esami di profitto: L'esame di profitto del corso consiste in una prova scritta (o due prove scritte parziali d'esonero) e una orale. Per sostenere una prova orale occorre aver superato una prova scritta (o entrambe le prove scritte parziali). Una prova scritta (o l'insieme delle due prove scritte parziali) può essere però utilizzata per sostenere solamente una prova orale, preferibilmente (ma non necessariamente) quella immediatamente successiva. La prove scritte parziali si svolgeranno rispettivamente nella seconda metà del mese di novembre 2009 e nel mese di gennaio 2010. Sono poi previste due prove scritte e quattro orali nella sessione d'esame di gennaio-febbraio 2010, due prove scritte e due orali nella sessione d'esame di giugno-luglio 2010, una prova scritta e due orali nella sessione di settembre 2010.

Testo consigliato: M. Abate, C. de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw-Hill Editrice.

Eserciziario consigliato: M. Abate, C. de Fabritiis, Esercizi di geometria, McGraw-Hill Editrice.

Avvisi: ESAMI DI SETTEMBRE
unica prova scritta: LunedI' 19 settembre 2011 ore 14,30;
prima prova orale: venerdI' 23 settembre 2011 ore 14,30;
seconda prova orale: lunedI' 26 settembre 2011 ore 14,30.

Programma

(Prerequisiti di questo corso sono gli argomenti del Corso Propedeutico di Matematica.)


1. GEOMETRIA DEGLI SPAZI AFFINI

Rette, piani, vettori. Proprieta' degli spazi affini. Vettori applicati linearmente indipendenti (definizione geometrica). Sistemi di riferimento e coordinate (in particolare, continuita' della retta). Equazioni vettoriali e cartesiane di rette e piani, vettori direttori, giacitura. Studio della posizione di rette e piani in uno spazio affine tridimensionale.

2. GEOMETRIA DEGLI SPAZI EUCLIDEI

Proprieta' affini e proprieta' metriche degli oggetti geometrici. Ortogonalita'. Proiezioni ortogonali. Problemi metrici nello studio di rette e piani. Norma dei vettori. Prodotto scalare e sue proprieta'. Applicazioni: calcolo dei coefficienti di Fourier. Basi ortonormali ed espressione del prodotto scalare in coordinate ortonormali. Calcolo di distanze.

3. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Sistemi omogenei, non omogenei, consistenti e inconsistenti. Matrici. Operazioni con le matrici e loro struttura di spazio vettoriale. Soluzione dei sistemi mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan. Rango di una matrice. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema.

4. SPAZI VETTORIALI

Campi. Numeri complessi. Spazi e sottospazi vettoriali. Esempi (in particolare: soluzioni di un sistema lineare omogeneo, matrici simmetriche, antisimmetriche, a traccia nulla, polinomi di grado minore di n). Generatori, basi, dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Esistenza di una base. Dimensione. Teorema di Rouche'- Capelli. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann (senza dimostrazione). Somma diretta di sottospazi.

5. APPLICAZIONI LINEARI

Definizioni di base. Condizioni per l'esistenza e l'unicita' di un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Spazio vettoriale delle applicazioni lineari. Nucleo e immagine; relazione fra le loro dimensioni. Matrice associata a un'applicazione lineare e a una coppia di basi. Costruzione di applicazioni lineari con condizioni assegnate. Matrici nonsingolari e matrici di transizione. Inversa di una matrice nonsingolare. Algoritmo per il calcolo della matrice inversa. Matrici simili.

6. DETERMINANTI

Sviluppo di Laplace del determinante di una matrice. Unicita' del determinante (senza dimostrazione). Proprieta' dei determinanti (senza dimostrazione) e relazione con l'algoritmo di Gauss-Jordan. Legame con l'invertibilita' e il rango di una matrice (senza dimostrazione).

7. AUTOVALORI E AUTOVETTORI

Operatori e matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico e calcolo degli autovalori e degli autovettori. Esempi di operatori diagonalizzabili e non. Autospazi, molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonabilizzabilita' di matrici e operatori.

8. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

Prodotto scalare definito positivo in uno spazio vettoriale reale. Ortogonalita'. Insiemi ortogonali di vettori. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Coefficiente di Fourier. Basi ortogonali e loro costruzione: procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complementare ortogonale di un sottospazio. Basi ortonormali. Prodotti hermitiani. Matrici ortogonali.

9. FORME BILINEARI E FORME QUADRATICHE

Matrice associata a una forma bilineare e a una base. Matrici congruenti. Forme bilineari e simmetriche. Forme quadratiche. Forma polare di una forma quadratica e identita' di polarizzazione. Ortogonalita' rispetto a una forma. Basi ortogonali. Forme definite. Forme degeneri. Nucleo e nullita' di una forma. Vettori isotropi. Classi di congruenza di matrici simmetriche. Teorema di Sylvester e indice di positivita'.

10. OPERATORI AUTOAGGIUNTI

Matrici autoaggiunte e operatori autoaggiunti in uno spazio euclideo reale o complesso. Proprieta' degli autovalori e degli autovettori degli operatori autoaggiunti. Diagonalizzazione delle matrici reali e simmetriche e delle matrici hermitiane. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti. Applicazione al calcolo degli indici di una forma bilineare e simmetrica. Cenni sugli operatori normali.

11. ARGOMENTI VARI

Induzione, binomio di Newton. Intorni sferici nello spazio euclideo. Topologia nello spazio euclideo (cenni).

Esercizi
esercitazione del 18-10
esercizi su spazi vettoriali e applicazioni lineari

Esoneri
Testo e soluzione della prima prova.
Testo e soluzione della seconda prova.



ESAMI
Testo e soluzione della prova del 28-1.

Testo e soluzione della prova del 11-2.
Testo e soluzione della prova del 21 giugno 2011
Risultati della prova scritta del 12-7-2011: Mancinelli 15, Paponi 21, Taddia 18, Zamponi 17 gli altri compiti sono insufficienti.

Importante: regole sulla prenotazione.Gli studenti dovranno effettuare la, entro il giorno precedente la prova scritta la prenotazione alla prova orale via web accedendo al sito INFOSTUD.
La prenotazione via web richiede che gli studenti,
1) si colleghino al seguente sito web: http://www.infostud.uniroma1.it/
2) utilizzino il link ACCEDI,
3) utilizzino il link ACCEDI AL SISTEMA,
4) inseriscano "numero utente/matricola" e "password",
5) procedano alla prenotazione.
"Numero utente/matricola" e "password" sono stati comunicati agli studenti al momento dell'immatricolazione. Qualora non più disponibili, possono essere richiesti al CIAO, Centro Informazioni Accoglienza Orientamento (ciao@uniroma1.it, Tel 064991020).