Seminario di Dipartimento - 09/01/2024
Martedì 9 gennaio alle ore 14 in Sala di Consiglio si terrà il Seminario di Dipartimento del dott Davide Torlo, risultato vincitore di una procedura selettiva per una posizione da RTT nel SSD MAT08.
Speaker: Davide Torlo
Titolo: Metodi d'alto ordine, preservazione di strutture e riduzione dell'ordine del modello per equazioni alle derivate parziali iperboliche.
Abstract
Le equazioni alle derivate parziali iperboliche descrivono numerosi fenomeni fisici e trovare soluzioni analitiche di questi problemi è spesso impossibile. Per questo dobbiamo ricorrere a metodi numerici per approssimare le loro soluzioni per problemi complessi.
Per avere approssimazioni accurate e affidabili, l'uso di metodi numerici classici (Elementi Finiti, Volumi Finiti, ecc.) richiede un costo computazionale non indifferente che può diventare proibitivo.
Per questo motivo, è fondamentale lo studio di metodi numerici che possano raggiungere soluzioni precise in tempi computazionali più brevi.
Questo obiettivo si può raggiungere in diversi modi.
In primis, l'utilizzo di metodi di alto ordine velocizza l'arrivo a convergenza dei metodi, quindi con discretizzazioni più lasche siamo in grado di ottenere risultati molto più accurati. Il prezzo da pagare è il trovare delle tecniche di stabilizzazione che diano risultati accurati anche in presenza di discontinuità (spesso presenti nei problemi iperbolici). Nella presentazione vedremo metodi che possano essere di ordine di accuratezza arbitrario per equazioni alle derivate ordinarie e parziali, risparmiando costo computazionale rispetto ai metodi originali, e introducendo controlli sulle proprietà fisiche della soluzione.
Un'altra strategia che permette di ottenere risultati molto più accurati senza rifinire le discretizzazioni è quella di imporre alla soluzione numerica dei vincoli che la soluzione fisica verifica, per esempio, positività, divergenza nulla, essere in equilibrio su particolari soluzioni stazionarie, mantenere o dissipare funzioni di entropia o Hamiltoniane. Vedremo metodi modified Patankar che permettono di mantenere la positività di alcune quantità, metodi con flusso globale che preservano alcuni equilibri a livello discreto e metodi di rilassamento che permettono di preservare delle entropie. Tutti queste strategie contribuiscono ad avvicinarsi molto più velocemente alle soluzioni fisiche, senza rifinire le discretizzazioni.
Infine, quando queste strategie non sono applicabili o non sono sufficienti, in casi di problemi parametrici, la riduzione dell'ordine del modello può venirci in aiuto. Questa consiste nella ricerca di un modello surrogato che sia molto accurato rispetto a quello della discretizzazione originale, ma che contenga molti meno gradi di libertà. Per problemi iperbolici i metodi classici per la riduzione di modello sono spesso fallimentari per la presenza di strutture locali che si muovono al variare del tempo e dei parametri. Vedremo alcune tecniche che permettono di applicare i metodi classici anche in questa situazione attraverso trasformazioni geometriche o reti neurali a grafo.