Algebra lineare A-H

Lezione 1. Somma e prodotto di numeri complessi, l'anello dei polinomi a coefficienti reali, generalità sugli anelli ed i loro morfismi, il nucleo di un morfismo di anelli, ideali, le divisioni col resto e gli ideali di Z e di K[x], l'identità di Bezout.

Lezione 2. Il coniugato di un numero complesso; il piano complesso, la norma di un numero complesso, l'inverso di un numero complesso non nullo, la forma polare di un numero complesso, moltiplicazioni espresse in forma polare.

Lezione 3. Interpretazione geometrica di somma e prodotto di numeri complessi, parte reale e parte immaginaria di un numero complesso come morfismi R-lineari, le radici n-me dell'unità, l'equazione zⁿ=w

Lezione 5. Sottospazi vettoriali, basi e coordinate, cambi di coordinate, la notazione di Einstein. Le soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari sono un sottospazio vettoriale.

Lezione 6. Complementi sui numeri complessi; il teorema fondamentale dell'algebra (cenni). I polinomi di Lagrange

Lezione 7. Applicazioni lineari (gli spazi vettoriali su K come categoria), applicazioni lineari e matrici. Esempi.

Lezione 8. Ancora sulla corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. Il nucleo e l'immagine di un'applicazione lineare, l'equazione φ(v)=w ed i sistemi lineari.

Lezione 9. Sistemi di generatori, sistemi di vettori linearmente indipendenti e basi. Se un sistema di vettori linearmente indipendenti I è contenuto in un sistema di generatori G, allora esiste una base B contenuta in G e che estende I. Esistenza delle basi. Esempi.

Lezione 10. Ancora su sistemi di generatori, sistemi di vettori linearmente indipendenti e basi. Il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Applicazioni alla soluzione di sistemi lineari, al problema di stabilire se un dato insieme di vettori sia un sistema di vettori linearmente indipendenti, un sistema di generatori, una base, e al problema di estrarre una base da un sistema di generatori e di completare un sistema di vettori indipendenti a una base. Esempi.

Lezione 11. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità (caso di dimensione finita). Dimensione di uno spazio vettoriale. Lo spazio vettoriale Hom_K(V,W) e lo spazio vettoriale delle matrici. La composizione di applicazioni lineari e il prodotto di matrici.

Lezione 12. Ancora su somma e prodotto di matrici. Noncommutativià del prodotto di matrici. La base di Hom_K(V,W) associata ad una base V ed una base di W. La K-algebra End_K(V) degli endomorfismi di uno spazio vettoriale. La matrice identità. Matrici diagonali e matrici scalari. Isomorfismi di spazi vettoriali. Un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è un isomorfismo se e solo se e biiettiva. Cenni (minimi) al concetto di categoria e funtore.

Lezione 13.Ancora sugli isomorfismi di spazi vettoriali. Spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione. Tutti gli spazi della stessa dimensione sono isomorfi tra loro; in particolare uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K è isomorfo a Kⁿ. Isomorfismi di spazi vettoriali e matrici invertibili, calcolo dell'inversa di una matrice mediante l'eliminazione di Gauss-Jordan. Equazioni parametriche e cartesiane della retta per due punti e del piano per tre punti.

Lezione 14. Espressione matriciale di un endomorfismo dello spazio vettoriale V in sè rispetto a diverse scelte di basi di V. Esempio: espressione in coordinate della simmetria rispetto ad una retta per l'origine di R². La formula dim ker &phi+ dim Im &phi= dim V e sue applicazioni. Per un'applicazione lineare &phi tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita sono equivalenti: &phi è iniettiva; &phi è suriettiva; &phi è un isomorfismo. Somme dirette di spazi vettoriali e somme di sottospazi. La formula di Grassmann.

Lezione 15. Ancora su somme di spazi vettoriali e somme (dirette e non) di sottospazi. Lo spazio duale V^* di uno spazio vettoriale V.

Lezione 16. Ancora sullo spazio duale. Annullatori. Il numero di righe indipendenti di una matrice è uguale al numero di colonne indipendenti. Il rango di una matrice.

Lezione 17. Ancora sullo spazio duale. Basi del duale e sistemi di coordinate. Il biduale di uno spazio vettoriale.

Lezione 18. L'area orientata come applicazione bilineare antisimmetrica R²×R²&rarr R. Il volume orientato come applicazione trilineare antisimmetrica R³×R³×R³&rarr R. Forme multilineari antisimmetriche di grado n su uno spazio vettoriale di dimensione n e loro .

Lezione 19. Lo spazio vettoriale delle forme multilineari antisimmetriche di grado n su uno spazio vettoriale di dimensione n. Il determinante di un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Calcolo esplicito dei determinanti. La formula di Laplace (prima parte).

Lezione 20. La formula di Laplace (seconda parte) In uno spazio vettoriale di dimensione n, n vettori sono linearmente indipendenti se e solo se il determinante della matrice delle coordinate di questi vettori rispetto ad una base fissata è diverso da zero. La formula di Cramer per la soluzione di sistemi n×n con matrice dei coefficienti invertibile. Cenni al calcolo della matrice inversa mediante la formula di Cramer. (appunti).

Lezione 21.IL teorema degli orlati (calcolo del rango di una matrice mediante il calcolo dei determinanti dei suoi minori quadrati) e sue applicazioni allo studio dei sistemi lineari dipendenti da parametri. Il problema di trovare (se esiste) una retta preservata da un endomorfismo del piano.

Lezione 22. Autovalori e spettro di un endomorfismo. Autovettori ed autospazi. Il polinomio caratteristico di un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita. I coefficienti del polinomio caratteristico. La somma degli autospazi è diretta. Il determinante di Vandermonde. La molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori (prima parte).

Lezione 23. Richiami su autovalori, autovettori, autospazi e polinomio caratteristico di un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita. La molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili in termini di molteplicità algebrica e geometrica dei loro autovalori. Esempi.

Lezione 24. Spazi vettoriali quoziente. L'isomorfismo V/ker f → Imf, con f: V → W applicazione lineare. Applicazione lineare indotta tra V/U e W/Z da un'applicazione lineare f: V → W con f(U)⊆ Z. Esistenza di basi in cui un'applicazione lineare è rappresentata da una matrie triangolare superiore.

Lezione 25. Il teorema di Cayley-Hamilton (enunciato). Decomposizione di uno spazio vettoriale in autospazi generalizzati indotta da un endomorfismo (appunti). Matrici nilpotenti. La decomposizione di Jordan.

Lezione 26. Filtrazioni e bandiere. Di nuovo le matrici triangolari. Il teorema di Cayley-Hamilton (dimostrazione). Il polinomio minimo. Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo e queste hanno tutte molteplicità algebrica 1.

Lezione 27. Esercizi. Calcolo delle potenze di un endomorfismo. Successioni definite da una ricorrenza lineare. Ogni autovalore è radice del polinomio minimo. Endomorfismi con polinomio minimo (o caratteristico) assegnati.

Lezione 28. La restrizione di un endomorfismo diagonalizzabile ad un sottospazio stabile è diagonalizzabile. Endomorfismi diagonalizzabli che commutano sono simultaneamnte diagonalizzabili. Endomorfismi con polinomio minimo (o caratteristico) assegnati. Esercizi.