Orario: Lunedi' e Mercoledi' dalle 9 alle 11 e Giovedi' dalle 10 alle 11. Aula G.

Programma svolto.
Parte I. Omologia e coomologia singolare.
p-simplessi di R^n (proprieta' elementari), p-simplessi singolari in uno spazio topologico X, catene, operatore di bordo,
cicli, bordi, omologia singolare, complessi di catene, chain-maps, chain-map indotta da un'applicazione continua, omologia del punto,
H_0 (X) con X connesso per archi, l'omologia di uno spazio e' la somma diretta dell'omologia delle sue componenti connesse per archi, invarianza topologica,
invarianza omotopica (via l'esitenza di una chain homotopy). Retratto, retratto di deformazione.
Successione esatta corta di complessi di catene, omomorfismo di collegamento, successione esatta lunga.
Teorema dei piccoli simplessi, successione di Mayer-Vietoris, omologia della sfera, sketch della dimostrazione del teorema dei piccoli simplessi. Applicazioni (teorema del punto fisso di Brouwer, le sfere di dimensione pari non ammettono campi di vettori mai nulli). Omologia relativa. Teorema di escissione.
Quozienti, teorema dell'omomorfismo relativo, spazi ottenuti attaccando celle, CW complessi, omologia cellulare e suo isomorfismo con l'omologia singolare,
omologia dello spazio proiettivo, l'omologia singolare di un CW-complesso finito e' finitamente generata, caratteristica di Eulero. (Prop. 2.18 e Th. 2.19: solo enunciati.) Omologia con coefficienti, Tor( , ), teorema dei coefficienti universali, assiomi di Eilenberg-Steenrod, esistenza ed unicita' per coppie di CW complessi finiti. Complessi di cocatene, coomologia, Ext( , ), teorema dei coefficienti universali in coomologia. (Solo enunciati per Tor( , ) e Ext( , ).)
Parte II. Coomologia di de Rham.
Complesso di de Rham. Coomologia di de Rham. La successione di Mayer-Vietoris. Coomologia a supporto compatto. Integrazione.
Teorema di Stokes. Lemmi di Poincare'. Invarianza omotopica. Lemma di Poincare' per la coomologia a supporto
compatto. Ricoprimenti buoni. Dimensione finita della coomologia di de Rham. Dualita' di Poincare'. Formula di Kunneth. Teorema di de Rham.
Duale di Poincare' di una sottovarieta'. Fibrati vettoriali. Pull-back. Proprieta' di omotopia. Coomologia a supporto compatto nelle fibre. Isomorfismo di Thom.
Isomorfismo di Thom e dualita' di Poincare'.

Referenze bibliografiche.
Parte I: James Vick "Homology theory", Second edition, Graduate Texts in Mathematics, Vol 145, Springer. pp 1-29, 44-64, Appendice 1, 65-84.
Parte II: Bott-Tu, "Differential forms in algebraic topology, Graduate Texts in Mathematics, Vol 82. pp 13-69

Esercizi di preparazione all'esame.

Primo foglio di esercizi. (per gli esercizi del Warner cliccate qui).

Secondo foglio di esercizi. (per la definizione di somma connessa cliccate qui).

Terzo foglio di esercizi.

Compito scritto del 21 Luglio.

Compito scritto del 29 Settembre.

Prossimo appello: 30/1/2012 ore 14.30 Aula L (scritto). 31/1/2012: orale.