Abstract: Una varietà complessa compatta X è iperbolica nel senso di Kobayashi se e solo se ogni applicazione olomorfa intera dal piano complesso verso X è costante.

Trattasi di una proprietà squisitamente analitica della varietà. Nel caso in cui X sia oltretutto proiettiva algebrica, cioè tagliata da un numero finito di equazioni polinomiali omogenee in uno spazio proiettivo, un vasto programma tuttora largamente congetturale (Demailly, Green-Griffiths, Kobayashi, Lang, Vojta…) predice che si possa caratterizzare tale proprietà in termini puramente algebrici, cioè che X sia di tipo generale assieme con tutte le sue sottovarietà. Essere di tipo generale è una proprietà che a sua volta è traducibile in termini di negatività (in senso appropriato) della curvatura di Ricci.

Daremo una panoramica accessibile di questo impianto congetturale, e presenteremo due contributi: la dimostrazione di una versione debole di una congettura di Kobayashi (1970) sull’iperbolicità di una ipersuperficie generica di grado elevato (con Merker e Rousseau, 2010), e la dimostrazione di una congettura di Yau (1970 circa) che concerne l’esistenza di metriche a curvatura di Ricci negativa su varietà Kähler compatte a curvatura sezionale (olomorfa) non positiva e strettamente negativa in un punto (con Trapani, 2019).