Parlerò del mio ultimo lavoro, in collaborazione con G. Besson, G. Courtois e S. Gallot, che coniuga due dei miei principali campi di interesse: la teoria geometrica dei gruppi e la geometria riemanniana. Il risultato principale del lavoro è: il numero di gruppi delta-iperbolici secondo Gromov senza torsione di entropia < E e' finito. Racconterò l'origine e le motivazioni di questo risultato, le cui radici sono in alcuni celebri teoremi di finitezza in geometria riemanniana, declinandolo in vari modi e contesti differenti. Tempo permettendo, spiegherò almeno l'idea nuova alla base di tale risultato, anche essa mutuata dalla geometria riemanniana, cioè una versione gruppale del noto teorema di paragone Bishop-Gromov a curvatura di Ricci minorata.