Abstract: In questo seminario si intende presentare l'approccio metrico allo studio di equazioni di Hamilton-Jacobi di tipo eikonale in collegamento con problemi di omogeneizzazione. Tali tecniche sono state recentemente applicate allo studio dell'equazione critica associata ad una Hamiltoniana periodica e hanno portato ad una definizione equivalente di insieme di Aubry, indipendente dalla dinamica Hamiltoniana (Fathi-Siconolfi). L'idea è quella di introdurre una sorta di semidistanza intrinsecamente associata alla Hamiltoniana, attraverso la quale una famiglia fondamentale di sottosoluzioni di viscosità dell'equazione corrispondente può essere definita. Eventuali degenerazioni di tale distanza si riflettono sull'equazione in termini di esistenza o meno di sottosoluzioni strette in certe regioni e di validità di risultati di confronto. Partendo da questi risultati, si vuole quindi illustrare come tali metodi, opportunamente adattati, possano essere proficuamente applicati al caso stazionario ergodico per fornire indicazioni relativamente all'esistenza di soluzioni esatte o approssimate della corrispondente equazione critica.
Bibliografia di base
[1] P.-L. Lions, G. Papanicolaou, S.R.S. Varadhan. Homogenization of Hamilton-Jacobi equations. Unpublished preprint (1987).
[2] A. Fathi, A. Siconolfi. PDE aspects of Aubry-Mather theory for quasi-convex Hamiltonians, Calc. Var. Partial Differential Equations 22 (2005), no. 2.