In questo seminario presenterò alcuni risultati relativi a una classe di problemi ellittici semilineari. In particolare mi concentrerò sull'analisi asintotica di soluzioni (quando un parametro tende ad una soglia critica) e sull'indice di Morse delle soluzioni, mostrando poi come dalla conoscenza di tale indice si possano ottenere in alcuni casi risultati di unicità e in altri casi risultati di molteplicità.