1.1. Definizione di omologia singolare.
1.2. Primi esempi. Proprieta' funtoriali. Omologia di un convesso di R^n.

2.1. Operatore di omotopia. L'omologia singolare e' un funtore omotopico
Retratti. Retratti di deformazione.
2.2. Successione esatta lunga associata ad una successione esatta corta di complessi.
Teorema dei piccoli simplessi. Successione di Mayer-Vietoris.

3.1. Calcolo della omologia di S^n. Prime applicazioni dell'omologia:
- sfere di dimensione diversa non sono omotopicamente equivalenti;
- teorema del punto fisso di Brower;
- ogni campo di vettori in S^n, n=2k, si annulla in almeno un punto.
3.2. Sketch della dimostrazione del teorema dei piccoli simplessi.
Omologia relativa. Teorema di escissione.

4.1. Spazi ottenuti per incollamento. Spazio ottenuto incollando una n-cella.
Esempi notevoli: sfera, spazio proiettivo reale di dimensione n, spazio
proiettivo complesso di dimensione n.
4.2. CW-complessi finiti. Proprieta' omologiche: enunciato dei risultati. Omologia cellulare.
L'omologia cellulare e' isomorfa all'omologia singolare. Proprieta' omologiche dei CW-complessi finiti: dimostrazioni
(retratti di deformazioni forti, teorema dell'omeomorfismo relativo, calcolo di H_j (X^k,X^{k-1})).

5.1. Ulteriori proprieta' dei CW-complessi:
sottocomplessi; un sottocomplesso e' un retratto di deformazione forte di un suo intorno chiuso; l'omologia
singolare di una coppia di CW-complessi (X,A) e' un gruppo abeliano finitamente generato; prodotto di due CW-complessi finiti.
Caratteristica di Eulero-Poincare' e suo calcolo cellulare. Calcolo della omologia cellulare di RP^n.
5.2. Vacanza (1 Novembre).

6.1. Tor( , ). Omologia a coefficienti in un gruppo abeliano G. Esempio: omologia di RP^n a coefficienti in Z_2.
Teorema dei coefficienti universali (vedere anche Bredon Cap V, sezione 7). Assiomi di Eilenberg-Steenrod.
Teorema di esistenza e unicita' di Eilenberg-Steenrod.
6.2. Complessi di cocatene. Duale di un complesso di catene. Coomologia di un complesso di cocatene.
Omomorfismi di complessi di cocatene. Omomorfismi di complessi di cocatene che sono "cochain homotopic".
Esempi: la coomologia singolare a valori in G; la coomologia di de Rham. Il Lemma di Poincare' per a coomologia di de Rham.
Successione esatta lunga associata ad una successione esatta corta di complessi di cocatene.
Esempio: Mayer-Vietoris per la coomologia di de Rham.
Ext( , ). Proprieta' di base. Omorfismo di Kronecker. Teorema dei coefficienti universali in coomologia.
Conseguenze (Bredon, Corollari 7.8 e 7.9 Cap. V). Escissione.

Referenze per le prime 6 settimane.
Vick, "Homology theory. An introduction to Algebraic Topology".
Capitolo 1 fino a pagina 29 (Corollario 1.26 incluso).
Enunciati del teorema di Jordan-Brouwer e del teorema di Brouwer sull'invarianza del dominio.
Capitolo 2: tutto (ma abbiamo saltato qualche dimostrazione di topologia generale).
Capitolo 3: tutto (ma abbiamo saltato le dimostrazioni dei teoremi dei coefficienti universali).
Per il teorema dei coefficienti universali e sue conseguenze consultare anche Bredon,
"Topology and Geometry", Cap. V, Sezione 7.
Nozioni di coomologia di de Rham che saranno date come acquisite:
- definizione di coomologia di de Rham e coomologia di de Rham a supporto compatto; Mayer-Vietoris per
H^* e per H^*_c ; orientabilita', integrazione e teorema di Stokes ; Lemmi di Poincare'
(per H^* e H^*_c) ; la coomologia di de Rham e' un funtore omotopico ;
Ricoprimenti buoni e finitezza della coomologia di de Rham ; Dualita' di Poincare'.
Referenze: Bott-Tu, "Differential forms in Algebraic Topology" pag. 13 ----> pag. 47.

7.1+ 7.2. Sospensione dell'attivita' didattica (settimana degli esoneri).

8.1. Teorema di de Rham
Referenze: Bredon "Topology and Geometry", cap V, sezione 9.
Per la formula di Stokes sulle p-catene consultare Warner "Foundations of differentiable manifolds and Lie groups", pagine 141-->145.
Per la dimostrazione del teorema di de Rham potete anche consultare le seguenti note di Marco Perez.
8.2. Teorema di Hodge-de Rham: operatore * di Hodge, aggiunto formale di d, Laplaciano di Hodge-de Rham,
enunciato del teorema di decomposizione di Hodge, isomorfismo di Hodge-de Rham, dualita' di Poincare'

9.1. Varieta' complesse, forme di tipo (p,q), coomologia di Dolbeault;
varieta' hermitiane, forma di Kaehler, operatore * di Hodge sulle forme (p,q);
enunciato del teorema di decomposizione di Hodge per l'operatore \overline{\partial};
isomorfismo di Hodge-Dolbeault, teorema di Kunneth.
Enunciato del teorema di Dolbeault; sketch della dimostrazione (utilizzando
il teorema sulle risoluzioni acicliche di un fascio); dualita' di Kodaira-Serre.
Per approfondimenti e referenze cliccate qui.
9.2. Prodotti in coomologia: cross-product; teorema di Eilenberg-Zilber.
Referenze: Bredon "Topology and Geometry", cap IV, sezione 16;
cap VI, sezione 1 fino al Corollario 1.4 compreso

10.1. Teorema di Kunneth algebrico. Teorema di Kunneth. Cross-product
in coomologia. cup-product.
Teorema: H^* (X,R) e' una R-algebra graduata commutativa unitaria.
10.2. Approssimazioni dell'identita'. Approssimazione di Alexander-Whitney.
Cap product.
Richiami sui fibrati vettoriali: funzioni di transizione, orientabilita',
operazioni sui fibrati, pull-back.
Referenze: Vick, capito 5 fino al Corollario 5.2 compreso. Poi ripartire con il
Teorema 5.5. (Eilenberg-Zilber l'abbiamo fatto la scorsa settimana,
seguendo il Bredon), fino all'esempio del toro a pagina 134.
Per il cap product consultare pagina 140 e seguenti.

11.1. Richiami sulla coomologia a supporto compatto: Mayer-Vietoris e Lemma di Poincare'.
Coomologia a supporto compatto verticale in un fibrato E. Integrazione lungo le fibre. Formula di proiezione.
11.2. Theorema di Thom. Forma di Thom. Dualita' di Poincare' e forma di Thom.
Referenze: Bott-Tu: pp 37,38,39, 40 fino alla riga 6. da pag. 60 a pag. 69.

12.1. 6 Gennaio: Epifania.
12.2. Il semigruppo Vect (X). Teorema di omotopia. Incollamento di fibrati. Morfismi di fibrati.
Ogni fibrato e' un sommando diretto di un fibrato banale. Teorema di classificazione.

13.1. Gruppo di Grothendieck associato ad un semiruppo. K-teoria di uno spazio compatto.
K-teoria ridotta. Equivalenza stabile. Sospensioni e incollamenti.
13.2. Teorema di Atiyah-Janich. Teorema di periodicita' di Bott.
13.3. Teorema di Thom. Cenni al teorema dell'indice di Atiyah-Singer.

Referenze: per la parte sui fibrati vettoriali e la K-teoria potete consultare i seguenti
Appunti di K-Teoria.