Matematica terzo corso
Corsi di Laurea in Statistica, Economia e Società,
Statistica Gestionale.
Anno accademico 2010-2011
Docente: Prof. Paolo Papi
Numero di crediti formativi: 6
Orario delle lezioni: Martedì
12.30-14.30;
Giovedì 10.30-12.30 e 15-17.
Tutte le lezioni si terranno in aula III.
Orario di
ricevimento: Per appuntamento.
Esami di profitto: L'esame di profitto del corso consiste in
una prova scritta (o due prove scritte parziali d'esonero)
e una orale. Per sostenere una prova orale occorre aver superato una
prova scritta (o entrambe le prove scritte parziali).
Una prova scritta (o l'insieme delle due prove scritte parziali)
può essere però utilizzata per sostenere solamente
una prova orale, preferibilmente (ma non necessariamente) quella
immediatamente successiva.
Testi
consigliati:
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2 ,
ZANICHELLI
Enrico Schlesinger ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA, ZANICHELLI
(per la parte iniziale sulla classificazione metrica delle coniche
nel piano)
Avvisi: La prova orale del 26 pv avrà luogo nell'aula
dei professori di matematica a Statistica (piano terra), alle
ore 9.30
Lo spazio vettoriale R^n. Prodotto scalare, norma, metrica in R^n e
loro proprietà. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Coniche nel
piano.
Elementi di topologia: intorni, punti interni, esterni, di frontiera
e di accumulazione. Complementare e frontiera di un insieme. Insiemi
aperti, chiusi, limitati, connessi, convessi e loro
proprietà.
Teoria elementare delle curve in R^n.
Funzioni definite in R^n. Dominio, immagine, grafico, linee o curve
di livello.
Definizione di limite per funzioni di più variabili.
Operazioni sui limiti. Continuità in un punto. Operazioni tra
funzioni continue. Forme indeterminate nel calcolo dei limiti.
Definizione e proprietà delle coordinate polari. Teorema di
unicità del limite*. Teorema di locale limitatezza e della
permanenza del segno. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue:
teorema di Weierstrass e teoremi dei valori intermedi.
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili.
Derivate parziali; vettore gradiente e derivate direzionali.
Funzioni differenziabili. Differenziale di una funzione in un punto.
Relazioni tra continuità e esistenza delle derivate parziali
o direzionali, tra continuità e differenziabilità, tra
esistenza delle derivate parziali o direzionali e
differenziabilità. Teorema che esprime il legame tra
differenziale e derivate direzionali (formula del gradiente).
Significato geometrico del vettore gradiente. Iperpiano tangente.
Criterio di differenziabilità. Derivate successive; matrice
hessiana; teorema di Schwartz. Funzioni di classe C^k . Derivazione
delle funzioni composte. Formula di Taylor del secondo ordine.
Punti di massimo e minimo relativo; punti stazionari o critici.
Relazione tra punti stazionari e punti di massimo e minimo
relativo(teorema di Fermat). Condizioni necessarie e condizioni
sufficienti del secondo ordine affinchè un punto sia di
massimo o di minimo relativo.
Funzioni definite implicitamente e teorema di Dini.
Derivabilità della funzione implicita e calcolo della
derivata seconda. Punti stazionari vincolati per funzioni di
più variabili; proprietà geometriche di tali punti;
metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Teoria dell'integrazione in R^n. Definizione. Domini normali.
Integrali su domini normali; integrabilità delle funzioni
continue. Metodo di riduzione per il calcolo degli integrali
multipli. Funzioni di più variabili a valori vettoriali,
matrice jacobiana. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e
trasformazione dell'elemento d'area; coordinate polari. Misura di
Peano-Jordan per insiemi limitati. Esempi notevoli di integrali
impropri.
Esoneri
Risultati finali delle prove di esonero
ESAMI
L'appello straordinario avrà luogo il 2
novembre alle ore 9 (prova scritta; orale nel
pomeriggio in aula C, dipartimento di matematica.
Importante: regole sulla prenotazione.Gli studenti
dovranno effettuare la prenotazione, entro il sabato
precedente la prova scritta la prenotazione alla prova orale
via web accedendo al sito INFOSTUD.
Lo svolgimento delle prove orali, in particolare la
possibilità di sostenere la prova orale in una data
posteriore a quella prevista dal calendario, sarà
discusso all'inizio dell'appello