Calcolo Differenziale (primo canale)

Corso di Laurea in Informatica

Orario delle lezioni Lun 10,45-12,15, 12,30-13,15; Ven 8,45-10,15.

Orario di ricevimento VEN 14-16, (nello studio locali ex-falegnameria).

E' attivo un google group chiamato Calcolo differenziale 13/14 dove potete trovare informazioni sul corso. Chi fosse interessato puo' provare ad aggiungersi. In ogni caso mandando una mail all'indirizzo si potra' pubblicare un post sul forum. Ovviamente tutte le informazioni del corso passeranno comunque per questa pagina web.

Testo di riferimento : R. Adams, Calcolo Differenziale I, Casa Editrice Ambrosiana

APPUNTI DEL CORSO dei Proff. Lamberti, Mascia, Nesi Prima Parte, Seconda Parte, Terza Parte

ARGOMENTI DELLE LEZIONI
  • Lun, 30-9: Richiami di teoria degli insiemi e di logica. Numeri naturali, interi e razionali. Concetto di distanza per numeri razionali. Scrittura decimale dei numeri razionali. Rappresentazione sulla retta dei numeri razionali. Densita' dei razionali. Numeri reali e rappresentazione decimale di essi.
  • Ven 4-10: Dimostrazione che radice di 2 non e' razionale. Esistenza delle radici di ordine n nel campo dei reali. Equazioni e disequazioni di grado 1, 2 con il modulo e disequazioni irrazionali.
  • Lun, 7-10: Piano cartesiano. Distanza nel piano. Luoghi geometrici sul piano: rette, parabole, circonferenze, ellissi, iperboli. Traslazioni. Funzioni. Dominio, codominio, immagine. Funzioni iniettive. Funzione inversa. Grafico di una funzione, interpretazione. Funzioni pari, dispari. Riflessioni e traslazioni di grafici di funzione.
  • Ven, 11-10: Esempi di funzioni inverse. Ulteriori simmetrie nel piano cartesiano partendo da grafici noti. Funzioni polinomiali, funzioni razionali. Divisione tra polinomi. Operazioni tra funzioni. Composizione di funzioni: esempi ed esercizi.
  • Lun, 14-10: Definizione informale di limite. Motivazione ed esempi. Unicita' del limite e proprieta' sulla somma prodotto e quoziente di limiti (senza dimostrazione). Limiti di polinomi e funzioni razionali. Richiami di trigonometria. Funzioni sen(x), cos(x), tan(x) e loro grafici approssimativi. Formule per il sen e cos della somma e differenza tra 2 angoli.
  • Ven, 18-10: Definizione rigorosa di limite. Esempi di verifica del limite usando la definizione. Limiti per x che tende a + o - infinito. Limiti che valgono infinito. Proprieta' di somma e prodotto di funzioni che hanno limite nel caso generale. Forme indeterminate.

  • Lun, 21-10: Confronto tra infiniti. Caso del limite all'infinito del rapporto tra 2 polinomi.Teorema sul confronto tra limiti (con dimostrazione). Disuguaglianze con il modulo. Legame tra il limite del modulo di una funzione e l'eventuale modulo del limite. Limiti con funzioni trigonometriche. Limite notevole sin(x)/x quando x tende a zero. Svolgimento del Test 1

  • Ven, 25-10: Limiti destri e sinistri. Funzioni continue in un punto. Funzioni continue in un intervallo. Discontinuita' eliminabili. Discontinuita' di prima specie. Somma, prodotto e rapporto di funzioni continue. Composizione di funzioni continue. Composizione di una funzione continua con una che ammette limite nel dominio di definizione dell' altra.

  • Lun, 21-10: Teorema dell'esistenza degli zeri (senza dimostrazione), esempi e controesempi. Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione). Teorema che nel caso di funzione continua su un intervallo assicura che la funzione e' invertibile se e solo se la funzione e' strettamente monotona (crescente o decrescente) (cenno della dimostrazione). Teorema che assicura che una funzione continua definita su un intervallo e invertibile ha inversa continua (senza dimostrazione). Esempi in cui si riesce a determinare l'immagine di una funzione continua usando i teoremi di sopra. Definizione di sup ed inf per sottoinsiemi di R. Svolgimento del Test 2

  • Lun, 4-11: Teorema di Weierstrass, esempi e controesempi. Immagine di una funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato. Funzioni inverse di sen(x), cos(x), tan(x), cotg(x) e loro utilizzo per la risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche. Svolgimento del Test 3

  • Ven, 8-11: Primi cenni al concetto di derivata di una funzione in un punto e in un intervallo. Esempi di funzioni derivabili e non derivabili. Svolgimento del Test 4
  • Lun, 18-11: Derivata della funzione x^n. Derivata della funzioni sin(x) e cos(x). Derivata della somma e del prodotto di funzioni derivabili. Derivata del reciproco. Derivata del rapporto. Derivata di funzione composta. Esempi e applicazioni.
  • Ven 22-11: Derivata della funzione inversa. Esempi e applicazioni. Risultati di permanenza del segno nei limiti. Funzioni crescenti e derivabili hanno derivata non negativa. Teorema di Lagrange (valor medio) interpretazione geometrica. Applicazioni del teorema di Lagrange. Funzioni con derivata non negativa (positiva) definite su un intervallo sono crescenti (strettamente crescenti). Funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti. Due funzioni che hanno la stessa derivata su un intervallo sono uguali a meno di una costante.
  • Lun, 25-11: Definizione della funzione esponenziale a partire dal logaritmo naturale (vedi Adams pag 173). Proprieta' delle funzioni esponenziali e logaritmiche. Derivate di funzioni del tipo f(x)^(g(x)). Esempi di equazioni e disequazioni studiate tramite la crescenza e decrescenza di funzioni.
  • Ven, 29-11: Velocita' di crescita' del logaritmo e dell'esponenziale. Punti di minimo e massimo relativo e loro proprieta'. Ricerca di massimi e minimi assoluti per una funzione continua e derivabile definita su un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Rolle con dimostrazione. Teorema di Lagrange con dimostrazione.
  • Lun, 2-12: Ricerca di massimi e minimi relativi tramite lo studio della derivata prima. Primo studio del grafico di una funzione. Derivate di ordine successivo. Definizione di convessita' e concavita' per funzioni derivabili. Legame tra concavita' e convessita' e stretta monotonia della derivata prima (senza dimostrazione)
  • Ven, 6-12: Punti di flesso. Ricerca di massimi e minimi relativi tramite il test della derivata seconda. Esercizi sulla ricerca di flessi e punti di massimo o minimo relativo. Asintoti orizzontali. Grafici di funzione.
  • Lun, 9-12: Asintoti verticali e obliqui. Metodo per determinare eventuali asintoti obliqui. Studio del grafico di una funzione. Esercizi.
  • Ven, 13-12: Teorema di Cauchy (generalizzazione del Teorema di Lagrange). Applicazioni. Derivate destra e sinistra. Derivate di funzioni definite a tratti. Approssimazioni lineari di una funzione. Stima dell'errore.
  • Lun, 17-12: Polinomi di Tyalor. Sviluppo di Taylor con resto in forma di Lagrange (senza dimostrazione). Applicazione per l'approssimazione di valori di funzioni trascendenti. Sviluppi di Taylor delle funzioni sin(x), cos(x), exp(x). Definizione di o piccolo o in finitesimo di ordine superiore. uso degli sviluppi di Taylor per il calcolo di limiti. Teorema di de l'Hopital con dimostrazione nel caso 0/0 e limite al finito. Svolgimento del test 5
  • Ven, 20-12: Teorema di de l'Hopital nelle varie forme (senza dimostrazione) e applicazioni. Successioni: limiti di successione e studio della monotonia.
  • Ven, 10-01: Limiti di successioni. Successioni monotone ammettono limite (senza dim) Esercizi su limiti di successione. Limite notevole a^n/n!
  • Lun, 13-01: Successioni definite per ricorrenza. Metodo di Newton per la ricerca di radici di soluzioni. Caso in cui f'>0 e f e' convessa. Svolgimento degli esercizi.

    • Foglio 1, Foglio 2, Foglio 3.

    terracin@mat.uniroma1.it