Corso di dottorato di didattica congiunta, 2023-2024

Algebre di Hecke

Martina Lanini, Guido Pezzini

1. B. Elias, S. Makisumi, U. Thiel, G. Williamson, Introduction to Soergel bimodules.
2. J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups.
3. D. Bump, Hecke algebras, appunti disponibili online.
4. Björner, Brenti, Combinatorics of Coxeter groups.

Exercises for the first part of the course.

1) 7.3.2024 ore 16-18, Sapienza, Aula 5. Informazioni generali sul corso. Introduzione con richiami sul gruppo simmetrico e sul gruppo delle trecce. Algebra gruppo. Esempio con GL(n,q) e il sottogruppo B delle matrici triangolari superiori: sottoalgebra delle funzioni costanti sulle classi bilatere rispetto a B, studio della loro convoluzione nel caso n=2 e primo esempio di algebra di Hecke. (Referenza per GL(n,q): Bump, capitolo 8.)

2) 11.3.2024 ore 16-18, Sapienza, Aula 4. Gruppi di Coxeter. Definizione, prime osservazioni ed esempi, caso del gruppo simmetrico. Lunghezza di un elemento. La rappresentazione geometrica: definizione di V, B e σ_s per ogni s in S, esempi. (Referenze: Humphreys, capitoli 5.1, 5.2, 5.3.)

3) 13.3.2024 ore 10-12, Sapienza, Aula E. Proposizione sull'omomorfismo σ:W→GL(V) che estende s→σ_s. Esempi. Il sistema di radici Φ di (W,S), radici positive. Teorema: se l(ws)>l(w) allora w(α_s)>0 e se l(ws)< l(w) allora w(α_s)< 0. (Referenze: Humphreys, capitoli 5.3, 5.4.)

4) 20.3.2024 ore 10-12, Sapienza, Aula E. La rappresentazione geometrica è fedele. Radici positive e negative. Interpretazione geometrica della lunghezza in termini di radici positive che cambiano segno. Riflessioni e loro proprietà. (Referenze: Humphreys, capitoli 5.6, 5.7.)

5) 21.3.2024 ore 16-18, Sapienza, Aula Picone. Proprietà forte di scambio. Ordine di Bruhat e sottoespressioni. (Referenze: Humphreys, capitoli 5.8, 5.9, 5.10.)

6) 25.3.2024 ore 16-18, Sapienza, Aula 4. Cenni su gruppi di Coxeter finiti, cristallografici, affini. Algebre di Hecke, teorema su esistenza e unicità (solo enunciato). Due lemmi. (Referenze: Elias-Makisumi-Thiel-Williamson, capitoli 1.1.7, 1.1.8, 2.1, 2.2, 2.3. Humphreys, capitoli 7.1, 7.2.)

7) 27.3.2024 ore 10-12, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo". Dimostrazione del teorema della lezione scorsa. Definizione dell'algebra di Hecke con scelta degli elementi a_s e b_s. Invertibilità degli elementi T_w e proposizione sui polinomi R_x,w (senza dimostrazione). (Referenze: Humphreys, capitoli 7.3, 7.4.)

8) 3.4.2024 ore 10-12, Sapienza, aula E. Dimostrazione dell'esistenza dei polinomi R_x,w. Definizione dell'involuzione ι:H→H. (Referenze: Humphreys, capitoli 7.4, 7.7.)

9) 4.4.2024 ore 15-17, Sapienza, aula 5. Fine della dimostrazione che ι è un omomorfismo di anelli. Definizione dei polinomi di Kazhdan-Lusztig, teorema di esistenza e unicità degli elementi C_w. (Referenze: Humphreys, capitoli 7.7, 7.9, 7.10, 7.11.)

10) 5.4.2024 ore 11-13, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo". Recap on KL-polynomials, computations of KL polynomials for dihedral groups, discussion of relevance of KL-polynomials in algebraic combinatorics, representation theory and geometry, idea of categorical lifting of the Hecke algebra (via Grothendick groups of various categories). NOTES.

11) 12.4.2024 ore 10-12, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo".

12) 15.4.2024 ore 14-16, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo".

13) 16.4.2024 ore 11-13, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo".

14) 17.4.2024 ore 11-13, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo".

15) 30.4.2024 ore 11-13, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo".

16) 3.5.2024 ore 11-13, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo".

17) 7.5.2024 ore 11-13, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo".

18) 8.5.2024 ore 10-12, Sapienza, aula E.

19) 10.5.2024 ore 11-13, Tor Vergata, stanza 1201 "R. Dal Passo".