Docente:
Prof. Paolo Papi
Numero di crediti formativi:
9
Orario delle lezioni:
Si veda
l'orario della facoltà.
Tutte le lezioni si terranno
in Aula 13.
Orario di ricevimento:
Sino al termine del corso:
al termine di ciascuna lezione
e per appuntamento.
Esami di profitto:
L'esame di profitto del corso consiste in una prova scritta
(o due prove scritte parziali d'esonero)
e una orale.
Per sostenere una prova orale occorre aver superato una prova scritta (o entrambe le prove scritte parziali).
Una prova scritta (o l'insieme delle due prove scritte parziali)
può essere però utilizzata per sostenere solamente una prova orale,
preferibilmente (ma non necessariamente) quella immediatamente successiva.
La prove scritte parziali si svolgeranno rispettivamente
nella seconda metà del mese di novembre 2008 e nel mese di gennaio 2009.
Sono poi previste
due prove scritte e quattro orali nella sessione d'esame di gennaio-febbraio 2009,
due prove scritte e due orali nella sessione d'esame di giugno-luglio 2009,
una prova scritta e due orali nella sessione di settembre 2009.
Testo consigliato:
M. Abate, C. de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw-Hill Editrice.
Eserciziario consigliato:
M. Abate, C. de Fabritiis, Esercizi di geometria, McGraw-Hill Editrice.
Avvisi (6 ottobre 2008):
- Gli studenti immatricolati negli anni passati
possono sostenere gli esami di Matematica 1 o 2 del vecchio ordinamento (da 8 crediti ciascuno)
unicamente con il docente di Matematica 2o o 1o Corso rispettivamente (si noti lo scambio tra 1 e 2)
che compete per iniziale del cognome nell'anno accademico in corso.
Programma
1. GEOMETRIA DEGLI SPAZI AFFINI
Rette, piani, vettori. Proprieta'
degli spazi affini. Vettori applicati linearmente indipendenti (definizione geometrica). Sistemi di riferimento e coordinate (in particolare, continuita' della retta). Equazioni vettoriali e
cartesiane di rette e piani, vettori direttori, giacitura. Studio della posizione di rette e piani in
uno spazio affine tridimensionale.
2. GEOMETRIA DEGLI SPAZI EUCLIDEI
Proprieta' affini e proprieta'
metriche degli oggetti geometrici. Ortogonalita'. Proiezioni ortogonali. Problemi metrici
nello studio di rette e piani. Norma dei vettori. Prodotto scalare e sue proprieta'.
Applicazioni: calcolo dei coefficienti di Fourier. Basi ortonormali ed
espressione del prodotto scalare in coordinate ortonormali. Calcolo di distanze.
3. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
Sistemi omogenei, non omogenei,
consistenti e inconsistenti. Matrici. Operazioni con le matrici e loro struttura di spazio
vettoriale. Soluzione dei sistemi mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan. Rango di una matrice. Struttura
dell'insieme delle soluzioni di un sistema.
4. SPAZI VETTORIALI
Campi. Numeri complessi. Spazi e sottospazi
vettoriali. Esempi (in particolare: soluzioni di un sistema lineare omogeneo, matrici simmetriche, antisimmetriche, a traccia nulla, polinomi di grado minore di n). Generatori, basi, dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Esistenza di
una base. Dimensione. Teorema di Rouche'- Capelli. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann (senza dimostrazione). Somma diretta
di sottospazi.
5. APPLICAZIONI LINEARI
Definizioni di base. Condizioni
per l'esistenza e l'unicita' di
un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Spazio vettoriale delle applicazioni
lineari. Nucleo e immagine; relazione fra le loro dimensioni. Matrice associata a un'applicazione lineare e a una coppia di
basi. Costruzione di applicazioni lineari con condizioni assegnate. Matrici nonsingolari e
matrici di transizione. Inversa di una matrice nonsingolare. Algoritmo per il calcolo
della matrice inversa. Matrici simili.
6. DETERMINANTI
Sviluppo di Laplace del determinante di una
matrice. Unicita' del determinante (senza dimostrazione). Proprieta' dei determinanti (senza dimostrazione) e relazione con l'algoritmo di Gauss-Jordan.
Legame con l'invertibilita' e il rango di una matrice (senza dimostrazione).
7. AUTOVALORI E AUTOVETTORI
Operatori e matrici diagonalizzabili.
Polinomio caratteristico e calcolo degli
autovalori e degli autovettori. Esempi di operatori diagonalizzabili e non. Autospazi,
molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Condizioni necessarie e sufficienti
per la diagonabilizzabilita' di matrici e operatori.
8. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI
Prodotto scalare
definito positivo in uno spazio vettoriale reale. Ortogonalita'. Insiemi ortogonali di
vettori. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Coefficiente di Fourier. Basi ortogonali
e loro costruzione: procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complementare
ortogonale di un sottospazio.
Basi ortonormali. Prodotti hermitiani.
Matrici ortogonali.
9. FORME BILINEARI E FORME QUADRATICHE
Matrice associata a una forma
bilineare e a una base. Matrici congruenti. Forme bilineari e simmetriche. Forme
quadratiche. Forma polare di una forma quadratica e identita' di polarizzazione.
Ortogonalita' rispetto a una forma. Basi ortogonali. Forme definite. Forme degeneri.
Nucleo e nullita' di una forma. Vettori isotropi. Classi di congruenza di matrici
simmetriche e loro classificazione (cenni). Teorema di Sylvester e indice di positivita' (cenni).
10. OPERATORI AUTOAGGIUNTI
Matrici autoaggiunte e operatori autoaggiunti
in uno spazio euclideo reale o complesso. Proprieta' degli autovalori e degli autovettori
degli operatori autoaggiunti. Diagonalizzazione delle matrici reali e simmetriche e delle matrici hermitiane. Teorema spettrale per operatori simmetrici (senza dimostrazione). Applicazione al calcolo dell'indice di
positivita' di una forma bilineare e simmetrica. Cenni suglu operatori normali
11. ARGOMENTI VARI
Induzione, binomio di Newton. Intorni sferici nello spazio euclideo. Topologia nello spazio euclideo
(cenni).
ESAMI
Risultati finali delle prove in itinere
La prova scritta del 26 Gennaio si svolgerà alle 14.30
Prova del 26-1
Risultati
Prova del 9-2
Risultati
Il Calendario degli esami è reperibile in Presidenza o nelle bacheche ufficiali.
Indicazioni sulle aule in cui si svolge l'esame sono reperibili al quarto piano, lo stesso giorno dell'esame.
Importante: regole sulla prenotazione.Gli studenti dovranno effettuare, entro il giorno precedente la prova scritta la prenotazione via web accedendo al sito
INFOSTUD.
La prenotazione via web richiede che gli studenti,
1) si colleghino al seguente sito web:
http://www.infostud.uniroma1.it/
2) utilizzino il link ACCEDI,
3) utilizzino il link ACCEDI AL SISTEMA,
4) inseriscano "numero utente/matricola" e "password",
5) procedano alla prenotazione.
"Numero utente/matricola" e "password" sono stati comunicati agli
studenti al momento dell'immatricolazione. Qualora non più disponibili,
possono essere richiesti al CIAO, Centro Informazioni Accoglienza
Orientamento (ciao@uniroma1.it, Tel 064991020).