Orario lezioni: martedì ore 9-11
Aula G
Ricevimento studenti: martedì ore 11.30-13 nello Studio n. 8 del Dipartimento di Matematica e per appuntamento.
AVVISO: Le Prove d’Esame, relative alla II Parte del
Corso, avranno luogo, nella Stanza N. 8 di Matematica, nelle seguenti date:
Martedì 9-6-2015, Ore 9;
Lunedì 22-6-2015, Ore 9; Martedì 7-7-2015, Ore 15; Venerdì
11-9-2015, Ore 9; Venerdì 18-9-2015, Ore 9. Gli studenti interessati, oltre a
prenotarsi su infostud per l’Esame di Matematiche
elementari da un punto di vista superiore, sono tenuti ad inviare una mail al
Professore Renzo Mazzocco entro il terzo giorno feriale antecedente la data
d’esame.
AVVISO: Martedì 21 aprile dalle ore 9 alle ore
AVVISO: Le Lezioni della II Parte del Corso avranno inizio martedì
3 marzo 2015.
Programma
per l'anno accademico 2014-2015
Il 3 marzo 2015:
Definizione
di numero complesso. Unità immaginaria. Parte reale, parte immaginaria e
coefficiente dell’unità immaginaria di un numero complesso. Numeri complessi
reali e numeri complessi puramente immaginari. Coniugato di un numero
complesso. Caratterizzazione dei numeri complessi reali. Caratterizzazione dei
numeri complessi puramente immaginari. Uguaglianza di due numeri complessi.
Definizione di somma e prodotto di due numeri complessi. Struttura di campo
dell’insieme C dei numeri
complessi. Coniugato della somma, della differenza, del prodotto e del
quoziente di due numeri complessi. Espressione della parte reale, della parte
immaginaria e del coefficiente dell’unità immaginaria di un numero complesso in
termini del numero stesso e del suo coniugato. Il campo reale R come sottocampo del campo C. Cenni sul corpo H dei quaternioni.
Il 10 marzo 2015:
Digressione
sulle relazioni d’ordine. Campi ordinati. Non esistenza di strutture di campo
ordinato nel campo complesso C.
Risoluzione di equazioni lineari e di sistemi di equazioni lineari a
coefficienti complessi. Radici quadrate di un numero complesso. Risoluzione
delle equazioni algebriche di secondo grado a coefficienti complessi. Teorema
fondamentale dell’algebra (soltanto enunciato). Molteplicità di una soluzione
di un’equazione algebrica. Soluzioni di un’equazione
algebrica a coefficienti complessi reali; il caso delle equazioni di
grado dispari. Il campo C dei
numeri complessi come spazio vettoriale complesso di dimensione (complessa) 1 e
sua base canonica. Il campo C
dei numeri complessi come spazio vettoriale reale di dimensione (reale) 2 e sua
base canonica. Digressione sui prodotti scalari di uno spazio vettoriale reale.
Prodotto scalare standard su C
pensato come spazio vettoriale reale.
Il 17 marzo 2015:
Modulo e
norma di un numero complesso. Proprietà del modulo di un numero complesso.
Modulo del coniugato di un numero complesso. Modulo dell’inverso di un numero
complesso. Modulo del prodotto di due numeri complessi. Modulo del quoziente di
due numeri complessi. Numeri complessi unitari. Gruppo unitario d’ordine 1.
Disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare per i
numeri complessi. Rappresentazione geometrica o di Argand-Gauss
dei numeri complessi. Affissa di un punto del piano. Punto immagine del
coniugato di un numero complesso. Punto immagine dell’opposto di un numero
complesso. Punto immagine dell’opposto del coniugato di un numero complesso.
Significato geometrico della somma e della differenza di due numeri complessi.
Significato geometrico del prodotto scalare di due numeri complessi.
Significato geometrico del modulo di un numero complesso. Significato
geometrico del modulo della differenza di due numeri complessi. Circonferenza
unitaria e sua equazione complessa.
Il 24 marzo 2015:
Argomento
o fase di un numero complesso non nullo. Argomento principale di un numero
complesso. Forma trigonometrica o polare di un numero complesso non nullo.
Uguaglianza di due numeri complessi in forma trigonometrica. Richiami sulle
coordinate polari nel piano. Significato geometrico dell’argomento di un numero
complesso. Argomento del coniugato di un numero complesso. Argomento
dell’opposto del coniugato di un numero complesso. Argomento dell’inverso di un
numero complesso non nullo. Forma trigonometrica del prodotto e del quoziente
di due numeri complessi non nulli. Formula di de Moivre.
Formule di triplicazione. Significato geometrico del prodotto di due numeri
complessi.
Il 31 marzo 2015:
Radici
n-esime dell’unità e loro proprietà. Equazione ciclotomica. Poligono regolare
di n lati associato alle radici n-esime dell’unità. Struttura di gruppo ciclico
d’ordine n dell’insieme delle radici n-esime dell’unità. Radici n-esime di un
numero complesso non nullo e loro proprietà. Formula
di Eulero. Relazione di Eulero tra i numeri fondamentali 0,
1, e, π, i. Forma esponenziale di un numero complesso non nullo. Forma
esponenziale delle radici n-esime di un numero complesso non nullo. Digressione
sul metodo sintetico e sul metodo delle coordinate nello studio della
geometria. Introduzione allo studio della geometria del piano con l’uso dei
numeri complessi. Affissa del punto medio di due punti. Affissa del baricentro
geometrico, o centroide, di n punti. Equazione
parametrica, in termini di numeri complessi, della retta passante per due punti
e del segmento individuato da due punti. Equazione parametrica, in termini di
numeri complessi, dell’asse di un segmento individuato da due punti. Richiami
sul significato geometrico dei coefficienti a e b delle incognite
dell’equazione cartesiana ax+by+c=0 di una retta. Equazione, in termini di
numeri complessi, di una retta. Condizione affinché una retta, rappresentata da
una equazione in termini di numeri complessi, sia
perpendicolare all’asse x.
Il 14 aprile
2015:
Richiami
sul significato geometrico dei coefficienti a e b nell’equazione cartesiana x2+y2+ax+by+c=0
di una circonferenza. Equazione, in termini di numeri complessi, di una circonferenza.
Circonferenze generalizzate. Condizione affinché una circonferenza,
rappresentata da una equazione in termini di numeri
complessi, sia perpendicolare all’asse x. Trasformazioni di un insieme
qualunque. Sostituzioni di un insieme finito. Gruppo delle trasformazioni di un
insieme qualunque. Gruppo delle sostituzioni di un insieme finito. Gruppo
alterno. Trasformazioni geometriche del piano. Trasformazioni affini o affinità
del piano. Equazioni cartesiane di un’affinità. Affinità dirette e affinità
inverse o indirette. Traslazioni del piano e loro equazioni cartesiane e
proprietà. Omotetie del piano e loro equazioni cartesiane e proprietà. Omotetie
dirette ed omotetie inverse. Simmetria rispetto ad un punto.
Il 21 aprile 2015
Gruppo Aff(E) delle affinità del piano. Gruppo Aff+(E) delle
affinità dirette del piano. Figure affinemente
equivalenti. Invarianti affini di una figura. La geometria affine come studio
degli invarianti affini delle figure. La geometria di Klein di un insieme
rispetto ad un gruppo di trasformazioni dell’insieme. Similitudini del piano.
Equazioni cartesiane di una similitudine. Similitudini dirette e similitudini
inverse o indirette. Esempi notevoli di
similitudini. Gruppo Simil(E) delle similitudini del piano.
Gruppo Simil+(E) delle similitudini dirette del
piano. Isometrie del piano. Equazioni cartesiane di una isometria.
Isometrie dirette o congruenze dirette o movimenti del piano. Isometrie inverse
o isometrie indirette o congruenze inverse o congruenze indirette del piano.
Rotazione attorno ad un punto e sue equazioni cartesiane. Simmetria ortogonale
rispetto ad una retta. Simmetria ortogonale, con scorrimento, rispetto ad una
retta o glissoriflessione. Gruppo Isom(E) delle
isometrie del piano. Gruppo Isom+(E) delle
isometrie dirette o dei movimenti del piano. La geometria euclidea del piano
come geometria di Klein del piano rispetto al gruppo Isom(E).
Descrizione complessa delle similitudini dirette del piano. Digressione sugli
spazi affini associati a spazi vettoriali.
Il 28 aprile
2015:
Spazi
affini vettoriali. Spazi affini numerici. Coordinate affini di punto. Affinità
di uno spazio affine. Identificazione di Simil+(E) con il
gruppo Aff1(C)
delle affinità della retta affine numerica complessa C. Studio delle similitudini dirette del piano a partire dalla
loro equazione complessa. Descrizione complessa delle similitudini inverse o
indirette del piano. Cenni sullo studio delle similitudini inverse o indirette
a partire dalla loro equazione complessa. Rapporto semplice di tre punti del
piano. Significato geometrico del modulo di un rapporto semplice. Condizione
necessaria e sufficiente, in termini di rapporti semplici, affinché un
triangolo sia isoscele. Significato geometrico dell’argomento di un rapporto
semplice. Condizione necessaria e sufficiente, in termini di rapporti semplici,
affinché tre punti siano allineati. Condizione necessaria e sufficiente, in
termini di rapporti semplici, affinché un triangolo sia rettangolo. Triangoli
simili. Triangoli direttamente simili. Triangoli inversamente simili.
Condizione necessaria e sufficiente, in termini di rapporti semplici, affinché
due triangoli siano direttamente simili. Forma di un triangolo.
Il 5 maggio 2015:
Forma
dei triangoli equilateri. Condizioni necessarie e sufficienti affinché un
triangolo sia equilatero. Teorema di Napoleone. Enunciato del Teorema di
Tolomeo-Eulero e considerazioni di tipo storico su tale teorema.
Il 12 maggio
2015:
Dimostrazione
del Teorema di Tolomeo-Eulero e suo Corollario (Teorema di Pitagora). Numero
aureo, o numero di Fidia, φ come rapporto della diagonale e del lato di un
pentagono regolare. Calcolo del numero aureo φ con l’uso del Teorema di
Tolomeo-Eulero. Sezione aurea di un segmento. Uso del Teorema di Tolomeo-Eulero
per verificare che il lato di un decagono regolare coincide con la sezione
aurea del raggio della circonferenza in cui il decagono regolare è inscritto.
Il 19 maggio
2015:
Inversione
(circolare) o simmetria rispetto ad una circonferenza o inversione per raggi
vettori reciproci di polo un punto assegnato e fattore k. Centro d’inversione.
Digressione sulle trasformazioni involutorie e sui punti fissi o uniti di una
trasformazione di un insieme. Proprietà immediate dell’inversione circolare.
Costruzione geometrica del corrispondente di un punto nell’inversione rispetto
ad una circonferenza. Equazioni cartesiane dell’inversione rispetto ad una
circonferenza. Equazione complessa dell’inversione rispetto ad una
circonferenza. Immagine di una retta passante per il centro d’inversione.
Immagine di una retta non passante per il centro d’inversione. Immagine di una
circonferenza passante per il centro d’inversione. Immagine di una
circonferenza non passante per il centro d’inversione. Condizione necessaria e
sufficiente affinché una retta passante per un punto sia perpendicolare ad
un’altra retta non passante per il punto. Circonferenze perpendicolari.
Condizione necessaria e sufficiente affinché una circonferenza passante per un
punto sia perpendicolare ad un’altra circonferenza non passante per il punto
(facoltativa la dimostrazione della condizione sufficiente).
Il 26 maggio
2015:
Circonferenza
generalizzata passante per tre punti di cui almeno due distinti. Circonferenza
generalizzata passante per due punti distinti e
perpendicolare ad una circonferenza assegnata. Digressione sui postulati
di Euclide. Formulazione di Playfair del V postulato
di Euclide. Geometria assoluta. Geometria euclidea. Geometria ellittica.
Geometria iperbolica. Modello di piano ellittico della sfera con i punti diametralmente
opposti identificati. Rette ed angoli di due curve nel modello di piano
ellittico della sfera con i punti diametralmente opposti identificati. Modello
di piano iperbolico del disco (aperto) di Klein. Rette nel modello del disco di
Klein. Punti all’infinito di una retta e rette parallele nel modello del disco
di Klein. Modello conforme di piano iperbolico del disco (aperto) di Poincaré. Rette nel modello del disco di Poincaré. Punti all’infinito di una retta nel modello del
disco di Poincaré. Rette parallele nel modello del
disco di Poincaré. Rette asintoticamente equivalenti
e rette ultraparallele o iperparallele nel modello
del disco di Poincaré. Distanza di due punti e sue
proprietà nel modello del disco di Poincaré. Angolo
di due curve nel modello del disco di Poincaré.
Triangoli nel piano euclideo, nel piano ellittico e nel piano iperbolico.
Triangoli asintotici. Somma degli angoli interni di un triangolo nel piano
euclideo, nel piano ellittico e nel piano iperbolico.