Orario lezioni: giovedì ore 9-11
Aula G
Ricevimento studenti: giovedì ore 11.30-13 nello Studio N. 8 del Dipartimento di Matematica e per appuntamento
AVVISO: Le Prove d’Esame, relative alla II Parte del
Corso, avranno luogo, nella Stanza N. 8 di Matematica, nelle seguenti date:
Venerdì 20-6-2014 Ore 14.30; Martedì 8-7-2014 Ore 9; Martedì 9-9-2014 Ore 9;
Lunedì 22-9-2014 Ore 9; Lunedì 19-1-2015 Ore 14. Gli studenti interessati,
oltre a prenotarsi su infostud per l’Esame di
matematiche elementari da un punto di vista superiore, sono tenuti ad inviare
una mail al Professore Renzo Mazzocco entro il terzo giorno feriale antecedente
la data d’esame.
AVVISO: Martedì 27 maggio dalle ore 16.30 precise alle
ore
AVVISO: Le Lezioni della II Parte avranno inizio giovedì 13 marzo
2014.
Norme d'esame per l'anno accademico 2013-2014
Programma
per l'anno accademico 2013-2014
Il 13 marzo 2014:
Definizione
di numero complesso. Unità immaginaria. Parte reale, parte immaginaria e
coefficiente dell’unità immaginaria di un numero complesso. Numeri complessi
reali e numeri complessi puramente immaginari. Coniugato di un numero
complesso. Caratterizzazione dei numeri complessi reali. Caratterizzazione dei
numeri complessi puramente immaginari. Uguaglianza di due numeri complessi.
Definizione di somma e prodotto di due numeri complessi. Struttura di campo
dell’insieme C dei numeri
complessi. Coniugato della somma, della differenza, del prodotto e del
quoziente di due numeri complessi. Espressione della parte reale, della parte
immaginaria e del coefficiente dell’unità immaginaria di un numero complesso in
termini del numero stesso e del suo coniugato. Il campo reale R come sottocampo del campo C. Cenni sul corpo H dei quaternioni.
Il 20 marzo 2014:
Digressione
sulle relazioni d’ordine. Non esistenza di relazioni d’ordine nel campo
complesso C. Risoluzione di
equazioni lineari e di sistemi di equazioni lineari a coefficienti complessi.
Radici quadrate di un numero complesso. Risoluzione delle equazioni algebriche
di secondo grado a coefficienti complessi. Teorema fondamentale dell’algebra
(soltanto enunciato). Molteplicità di una soluzione di un’equazione algebrica. Soluzioni di un’equazione algebrica a coefficienti complessi
reali; il caso delle equazioni di grado dispari.
Il 27 marzo 2014:
Il campo
C dei numeri complessi come
spazio vettoriale complesso di dimensione (complessa) 1 e sua base canonica. Il
campo C dei numeri complessi
come spazio vettoriale reale di dimensione (reale) 2 e sua base canonica.
Digressione sui prodotti scalari di uno spazio vettoriale reale. Prodotto
scalare standard dello spazio vettoriale reale C e sue espressioni. Modulo e norma di un numero complesso.
Proprietà del modulo di un numero complesso. Modulo del coniugato di un numero
complesso. Modulo dell’inverso di un numero complesso. Modulo del prodotto di
due numeri complessi. Modulo del quoziente di due numeri complessi. Numeri
complessi unitari. Gruppo unitario d’ordine 1. Disuguaglianza di Cauchy Schwarz e disuguaglianza triangolare per i numeri
complessi.
Il 3 aprile 2014:
Ancora
sulla disuguaglianza triangolare. Rappresentazione geometrica o di Argand Gauss dei numeri complessi. Affissa di un punto del
piano. Punto immagine del coniugato di un numero complesso. Punto immagine
dell’opposto di un numero complesso. Punto immagine dell’opposto del coniugato
di un numero complesso. Significato geometrico della somma e della differenza
di due numeri complessi. Significato geometrico del prodotto scalare di due
numeri complessi. Significato geometrico del modulo di un numero complesso.
Distanza di due punti del piano come modulo della differenza delle affisse.
Circonferenza unitaria e sua equazione complessa. Argomento o fase di un numero
complesso non nullo. Argomento principale di un numero complesso. Forma
trigonometrica o polare di un numero complesso non nullo. Uguaglianza di due
numeri complessi in forma trigonometrica. Richiami sulle coordinate polari nel
piano. Significato geometrico dell’argomento di un numero complesso. Argomento
del coniugato di un numero complesso. Argomento dell’opposto del coniugato di
un numero complesso.
Il 10 aprile
2014:
Argomento
dell’inverso di un numero complesso non nullo. Forma trigonometrica del
prodotto e del quoziente di due numeri complessi non nulli. Formula di de Moivre. Formule di triplicazione. Significato geometrico
del prodotto di due numeri complessi. Radici n-esime dell’unità e loro
proprietà. Equazione ciclotomica. Poligono regolare di n lati associato alle radici
n-esime dell’unità. Struttura di gruppo ciclico d’ordine n dell’insieme delle
radici n-esime dell’unità. Radici n-esime di un numero complesso non nullo e loro proprietà. Formula di Eulero. Relazione di
Eulero tra i numeri fondamentali 0, 1, e, π, i.
Forma esponenziale di un numero complesso non nullo. Forma esponenziale delle
radici n-esime di un numero complesso non nullo.
Il
8 maggio 2014:
Digressione
sul metodo sintetico e sul metodo delle coordinate nello studio della
geometria. Introduzione allo studio della geometria del piano con l’uso dei
numeri complessi. Affissa del punto medio di due punti. Affissa del baricentro
geometrico, o centroide, di n punti. Equazione
parametrica, in termini di numeri complessi, della retta passante per due punti
e del segmento individuato da due punti. Digressione sulla risoluzione dei
sistemi lineari omogenei di n equazioni in n-1 incognite di rango massimo.
Equazione parametrica, in termini di numeri complessi, dell’asse di un segmento
individuato da due punti. Richiami sul significato geometrico dei coefficienti
a e b delle incognite dell’equazione cartesiana ax+by+c=0 di una retta.
Equazione, in termini di numeri complessi, di una retta.
Il 15 maggio
2014:
Condizione
affinché una retta, rappresentata da una equazione in
termini di numeri complessi, sia perpendicolare all’asse x. Richiami sul
significato geometrico dei coefficienti a e b nell’equazione cartesiana x2+y2+ax+by+c=0
di una circonferenza. Equazione, in termini di numeri complessi, di una
circonferenza. Circonferenze generalizzate. Condizione affinché una
circonferenza, rappresentata da una equazione in
termini di numeri complessi, sia perpendicolare all’asse x. Trasformazioni di
un insieme qualunque. Sostituzioni di un insieme finito. Gruppo delle trasformazioni
di un insieme qualunque. Gruppo delle sostituzioni di un insieme finito. Gruppo
alterno. Trasformazioni geometriche del piano. Trasformazioni affini o affinità
del piano. Equazioni cartesiane di un’affinità. Gruppo Aff(E) delle
affinità del piano. Affinità dirette e affinità inverse. Gruppo Aff+(E) delle affinità dirette del piano.
Traslazioni del piano e loro equazioni cartesiane e proprietà. Omotetie del
piano e loro equazioni cartesiane e proprietà. Omotetie dirette ed omotetie
inverse.
Il 22 maggio
2014:
Simmetria
rispetto ad un punto. Figure affinemente equivalenti.
Invarianti affini di una figura. La geometria affine come studio degli
invarianti affini delle figure. La geometria di Klein di un insieme rispetto ad
un gruppo di trasformazioni dell’insieme. Similitudini del piano. Similitudini
dirette e similitudini inverse. Equazioni cartesiane di una similitudine.
Esempi notevoli di similitudini. Gruppo Simil(E) delle
similitudini del piano. Gruppo Simil+(E) delle
similitudini dirette del piano. Isometrie del piano. Isometrie dirette o
congruenze dirette o movimenti del piano. Isometrie inverse o congruenze
inverse del piano. Equazioni cartesiane di una isometria.
Rotazione attorno ad un punto e sue equazioni cartesiane. Simmetria ortogonale
rispetto ad una retta. Simmetria ortogonale rispetto ad una retta con
scorrimento o glissoriflessione. Gruppo Isom(E) delle isometrie del piano. Gruppo Isom+(E) delle
isometrie dirette del piano. La geometria euclidea del piano come geometria di
Klein del piano rispetto al gruppo Isom(E).
Il 27 maggio
2014:
Descrizione
complessa delle similitudini dirette del piano. Digressione sugli spazi affini
associati a spazi vettoriali. Spazi affini vettoriali. Spazi affini numerici.
Affinità di uno spazio affine. Identificazione di Simil+(E) con il
gruppo Aff1(C)
delle affinità della retta affine numerica complessa C. Studio delle similitudini dirette del piano a partire dalla
loro equazione complessa. Descrizione complessa delle similitudini inverse del
piano. Cenni sullo studio delle similitudini inverse a partire dalla loro
equazione complessa.
Il 29 maggio
2014:
Rapporto
semplice di tre punti del piano. Significato geometrico del modulo di un
rapporto semplice. Condizione necessaria e sufficiente, in termini di rapporto
semplice, affinché un triangolo sia isoscele. Significato geometrico
dell’argomento di un rapporto semplice. Condizione necessaria e sufficiente, in
termini di rapporto semplice, affinché tre punti siano allineati. Condizione
necessaria e sufficiente, in termini di rapporto semplice, affinché un
triangolo sia rettangolo. Triangoli simili. Triangoli direttamente simili.
Triangoli inversamente simili. Condizione necessaria e sufficiente, in termini
di rapporti semplici, affinché due triangoli siano direttamente simili. Forma
di un triangolo. Condizioni necessarie e sufficienti affinché un triangolo sia
equilatero. Teorema di Napoleone.
Il 5 giugno 2014:
Teorema
di Tolomeo-Eulero e suo corollario (teorema di Pitagora). Inversione
(circolare) o simmetria rispetto ad una circonferenza. Proprietà immediate
dell’inversione circolare. Costruzione geometrica del corrispondente di un
punto nell’inversione rispetto ad una circonferenza. Equazioni cartesiane
dell’inversione rispetto ad una circonferenza. Equazione complessa
dell’inversione rispetto ad una circonferenza. Immagine di una retta passante
per il centro d’inversione. Immagine di una retta non passante per il centro
d’inversione. Immagine di una circonferenza passante per il centro d’inversione.
Immagine di una circonferenza non passante per il centro d’inversione.
Principio di simmetria per la simmetria ortogonale rispetto ad una retta.
Principio di simmetria per l’inversione rispetto ad una circonferenza (soltanto
enunciato).
Il 12 giugno
2014:
Circonferenza generalizzata passante per tre punti distinti.
Circonferenza generalizzata passante per due punti distinti e
perpendicolare ad una circonferenza assegnata. Digressione sui postulati di
Euclide e sulle geometrie non euclidee. Modello conforme di piano iperbolico
del disco (aperto) di Poincaré. Punti all’infinito di
una retta nel modello del disco di Poincaré. Rette
ultraparallele. Modello di piano ellittico della sfera con i punti
diametralmente opposti identificati. Somma degli angoli interni dei triangoli
del piano euclideo, dei triangoli del piano iperbolico e dei triangoli del
piano ellittico. Modello conforme di piano iperbolico del semipiano (aperto) di
Poincaré. Cenni sulla proiezione stereografica di una
sfera. Cenni sulla rappresentazione dei numeri complessi sulla sfera unitaria
privata del polo Nord.
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