Consideriamo problemi di Cauchy di tipo discontinuo; in particolare supponiamo che il campo vettoriale sia regolare a tratti e che le discontinuità si concentrino su un certo numero di varietà lisce. Siamo interessati al caso in cui la soluzione del problema di Cauchy sia forzata a raggiungere le varietà dove il campo è discontinuo e in questo modo termini la sua esistenza. Al fine di definire una soluzione in senso debole analizziamo una possibile regolarizzazione del problema che per ogni valore positivo del parametro epsilon di regolarizzazione consenta di ottenere una soluzione classica. Dopodiché studiamo il comportamento di queste soluzioni per epsilon che tende a zero. Nel caso di una singola varietà di codimensione 1 la regolarizzazione converge alla classica soluzione nel senso di Filippov, che definisce una dinamica di scivolamento (sliding mode) sulla varietà. Nel caso invece di più varietà la cui intersezione abbia una codimensione superiore la definizione di una soluzione nel senso di Filippov è genericamente non univoca. Alcuni risultati preliminari indicano che la regolarizzazione considerata in generale non ammette limite, se non per sottosuccessioni, mantenendo quindi la non univocità (cosa che non accade invece per altre regolarizzazioni). Verrà infine considerata una applicazione ad equazioni con ritardo di tipo state-dependent. Il seminario si basa su lavori in collaborazione con Giorgio Fusco (L'Aquila) e Luca Dieci (Georgia Tech.).