Do you know the cool? Quando si studiano equazioni differenziali complicate, la speranza di avere un forma esplicita della soluzione è quasi sempre vana. Tuttavia spesso ci si può accontentare di conoscere il comportamento delle traiettorie relative al sistema differenziale per tempi lunghi, e in particolare riuscire a confinare la dinamica in insiemi compatti, detti attrattori. Nel caso di EDO, questi oggetti matematici vivono in uno spazio delle fasi finito-dimensionale (solitamente un sottoinsieme di $R^n$ e possono assumere forme familiari quali curve cicliche o punti, oppure geometrie più esotiche come per esempio il famoso attrattore di Lorenz, relativo a una dinamica di tipo caotico e dall’aspetto simile a una farfalla. In questo seminario illustrerò come estendere la nozione di attrattore per dinamiche associate a soluzioni di EDP in cui è necessario lavorare con spazi delle fasi infinito-dimensionali (spazi di Banach o di Hilbert). Vedremo inoltre i concetti di dimensione frattale e di Hausdorff e mostrerò sotto quali ipotesi l’attrattore possiede dimensione finita. Infine applicheremo questi risultati a un modello semplificato delle equazioni di Navier-Stokes in 2 dimensioni, dando una stima esplicita del raggio e della dimensione dell’attrattore.