Denotiamo con Hn il gruppo di Heisenberg Cn×R≃R2n+1, dove i punti sono indicati con P=[z,t]=[x+iy,t] e la legge di moltiplicazione edefinita nel modo seguente: se $Q = [ζ, τ]$ e un altro punto di Hn, allora P⋅Q=[z+ζ,t+τ+2Im(z⋅ζˉ​)]. Il gruppo di Heisenberg puo essere dotato di una metrica canonica invariante a sinistra, detta metrica di Carnot–Caratheodory. Sottolineiamo qui esplicitamente che la dimensione di Hausdorff intrinseca (dimensione omogenea) di Hn come spazio metrico e$Q = 2n + 2$. Lo scopo di questo seminario e quello di presentare alcuni problemi sulla geometria del gruppo di $H^n$ e di descrivere le ricerche in corso in collaborazione con Raul Serapioni e Francesco Serra Cassano sul problema di una corretta nozione di varieta k-dimensionale in $H^n$, in modo che le varieta abbiano dimensione di Hausdorff intrinseca naturale. Se la nozione di naturale deve essere connessa alla metrica intrinseca di Carnot–Caratheodory, allora e naturale guardare a H come spazio metrico e invocare la nozione di introdotta da Federer: se (X,d) euno spazio metrico, $E ⊂ X$ si dice m-varieta Lipschitz se esiste una funzione Lipschitz (rispetto a d) da un aperto limitato di $R^m$ su $E$. Questa definizione e coeren- te per curve: definita in questo modo una varieta Lipschitz di dimensione 1, questa ha dimensione di Hausdorff intrinseca 1. Sfortunatamente pero la definizione non epiu applicabile quando la dimensione sale, come provato da Ambrosio e Kirchheim. Una alternativa alla definizione di Federer in dimensione alta (piu preci- samente in codimensione 1 in $H^n$, ma lo stesso argomento si applica in codimensione 1 in ogni gruppo di Carnot) e quella proposta da Franchi, Serapioni & Serra Cassano che vede una varieta di codimensione uno come luogo di zeri di una funzione sufficientemente regolare il senso intrinseco. Si definisce in questo modo una ipersuperficie CH1​, e si prova che, se S euna ipersuperficie $C^1_H$, la dimensione di Hausdorff intrinseca di S rispetto alla distanza di Carnot–Caratheodory e Q−1, coerentemente al fatto che la dimensione metrica di tutto lo spazio e$Q$. Da questi risultati si potrebbe formulare il seguente quadro i)Le varieta intrinsiche di dimensione bassa sono immagine Lipschitz di aperti Euclidei, mentre quelle di dimensione alta sono luoghi di zeri di funzioni regolari in senso intrinseco; ii) Le varieta intrinsiche di dimensione bassa hanno dimensione di Hausdorff intrinseca uguale alla dimensione topologica, mentre per quelle di dimensione alta la dimensione di Hausdorff intrinseca eccede di uno la dimensione topologica. In questo seminario cerchiamo di dare una risposta almeno parziale ai seguenti problemi iii) Dare una una spiegazione non puramente descrittiva del fenomeno descritto nel punto i) sopra. In particolare, si puo dare un significato preciso alle parole “bassa” e “alta”? Si puo spiegare il salto che a un certo punto si verifica tra la dimensione metrica e quella topologica? iv) Si puo dare una definizione di variet`a intrinseca di dimensione intermedia tra 1 e $Q − 1$?